Банк задач по математике

Задача 1.1

Пусть $A$ и $B$ — события. Найти все события $X$ такие, что $A X = A B$ .

?

Задача 1.2

Найти все события $X$ такие, что

(\overline{X \cup A}) \cup (\overline{X \cup \bar{A}}) = B \text{, }

где $A$ и $B$ — некоторые события.

?

Задача 1.3

(а)(б)

Определить события $A$ и $B$ , если:

?

(а)

$A \cup B = \bar{A}$ ;

(б)

$A B = \bar{A}$ .

Задача 1.4

Доказать, что Для любых событий $A$ и $B$ соотношения $A \subset B$ , $\vec{A} \supset \bar{B}, A \cup B = B, A B = A, A \backslash B = \varnothing$ равносильны.

?

Задача 1.5

При любых $A$ и $B$ сравнить события $(A \cup B)(A \cup \bar{B}) \cup \cup (\bar{A} \cup B)(\bar{A} \cup \bar{B}), \quad (A \cup B)(\bar{A} \cup \bar{B}) \cup (A \cup \bar{B})(\bar{A} \cup B)$ и $(A \cup B)(A \cup \bar{B})(\bar{A} \cup B)(\bar{A} \cup \bar{B})$ .

?

Задача 1.6

Доказать равенства:

?

(а)

$\overline{\bar{A} \bar{B}} = A \cup B$ ;

(б)

$\overline{\bar{A} \cup \bar{B}} = A B$ ;

(в)

$A \cup B = A B \cup (A \triangle B) ;$

(г)

$\overline{A \triangle B} = A B \cup \bar{A} \bar{B}$ ;

(д)

$A \underset {n}{A \triangle B} = (\overline{A \bar{B}}) \triangle (\overline{\bar{A} B})$ ;

(е)

$\bigcup_{i = 1}^{n} A_{i} = \bigcap_{i = 1}^{n} \bar{A}_{i}$ ;

(ж)

$\bigcap_{i = 1}^{n} A_{i} = \bigcup_{i = 1}^{n} \bar{A}_{i}$ .

Задача 1.7

Верны ли следующие равенства:

?

(а)

$A \cup B = A B \triangle (A \triangle B)$ ;

(б)

$\quad A \backslash B = A \triangle (A B)$ ;

(в)

$\bar{A} \backslash \bar{B} = A \backslash B ;$

(г)

$A \backslash (B \backslash C) = (A \backslash B) \backslash C$ ;

(д)

$A \triangle (B \triangle C) = (A \triangle B) \triangle C$ ;

(е)

$(A \cup B) \backslash C = A \cup (B \backslash C)$ ;

(ж)

$\overline{A B \cup C D} = (\bar{A} \cup \bar{B})(\bar{C} \cup \bar{D})$ ;

(з)

$(A \cup B)(A \cup C)(B \cup C) = A B \cup B C \cup A C$ ;

(и)

$A B C \cup A B D \cup A C D \cup B C D = (A \cup B)(A \cup C)(A \cup D)(B \cup C)(B \cup D)(C \cup D)$ ;

(к)

$(A \cup \bar{B}) \triangle (\bar{A} \cup B) = A \triangle B$ .

Задача 1.8

Обязаны ли совпадать события $A$ и $B$ , если:

?

(а)

$\bar{A} = \bar{B}$ ;

(б)

$A \cup C = B \cup C$ ( $C$ — некоторое событие);

(в)

$A C = B C \quad (C$ — некоторое событие $)$ ;

(г)

$A(A \cup B) = B(A \cup B)$ ;

(д)

$A(A \backslash B) = B(B \backslash A)$ ;

(е)

$A(A \backslash B) = B(A \backslash B)$ ;

(ж)

$A \backslash B = \varnothing$ ?

Задача 1.9

(а)(б)

Пусть $A, B, C$ — некоторые события. Доказать, что

?

(а)

$A B \cup B C \cup A C \supset A B C$ ;

(б)

$A B \cup B C \cup A C \subset A \cup B \cup C$ .

Задача 1.10

Двое играют в шахматы. Событие $A$ означает, что выиграл первый игрок, событие $B$ — что выиграл второй игрок. Что означают события:

?

(а)

$A \triangle \bar{B}$ ;

(б)

$\bar{A} \triangle B$ ;

(в)

$\bar{A} \cap \bar{B}$ ;

(г)

$\bar{B} \backslash A$ ;

(д)

$\bar{A} \backslash B$ ?

Задача 1.11

Из урны, содержащей черные и белые шары, извлечены $n$ шаров. Пусть $A_{i}$ — событие, состоящее в том, что $i$ -ый шар белый ( $1 \leqslant i \leqslant n$ ). Выразить через $A_{i}$ следующие события:

?

(а)

все шары белые;

(б)

хотя бы один шар белый;

(в)

ровно один шар белый;

(г)

не более $k$ шаров белые ( $1 \leqslant k \leqslant n$ );

(д)

по крайней мере $k$ шаров белые;

(е)

ровно $k$ шаров белые;

(ж)

все $n$ шаров одного цвета.

Задача 1.12

(а)(б)

Эксперимент состоит в выборе одной из возможных перестановок чисел $1,2, \ldots , n$ . Пусть событие $A_{i j}$ состоит в том, что в выбранной перёстановке число $i$ стоит на $j$ -ом месте $(i, j = 1,2, \ldots , n$ ). Выразить с помощью $A_{i j}$ следующие события:

?

(а)

число 1 стоит левее числа 2 ;

(б)

число 1 стоит не далее $j$ -го места.

Задача 1.13

Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами $R_{1} < R_{2} < \ldots < R_{10}$ . Событие $A_{h}$ означает попадание в круг радиуса $R_{k}$ . Что означают события

\begin{gathered} B = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{6} ; \quad C = A_{2} A_{4} A_{6} A_{8} ; \\ D = \left(A_{1} \cup A_{3}\right) A_{6} ? \end{gathered}

?

Задача 1.14

Пусть $A_{1}, \ldots , A_{n}$ — любые события и $A = \bigcup_{i = 1}^{n} A_{i}$ . Представить событие $A$ в виде объединения $n$ несовместных событий.

?

Задача 1.15

(а)(б)

Является ли операция симметрической разности

?

(а)

коммутативной;

(б)

ассоциативной?

Задача 1.16

Доказать, что если $A \triangle B = C \triangle D$ , то $A \triangle C = B \triangle D$ .

?

Задача 1.17

Доказать, что события $A$ и $B$ совместны тогда и только тогда, когда пересечение трех событий $A \cup B, \bar{A} \cup B$ и $A \cup \bar{B}$ непусто.

?

Задача 1.18

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — события. Доказать, что

\bigcup _{n = 1}^{N} \bigcap _{k = n}^{N} A_{k} = \bigcap _{n = 1}^{N} \bigcup _{k = n}^{N} A_{k} = A_{N} .

?

Задача 1.19

Доказать, что

\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)-\mathbb {P}\left(A B\right) .

?

Задача 1.20

Пусть вероятность каждого из событий $A$ и $B$ равна $1 / 2$ . Доказать, что $\mathbb {P}\left(A B\right) = \mathbb {P}\left(\bar{A} \bar{B}\right)$ .

?

Задача 1.21

Доказать, что

\mathbb {P}\left(A \Delta B\right) = \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)-2 \mathbb {P}\left(A B\right)

?

Задача 1.22

(а)(б)

Пусть $A, B, C$ — события. Доказать, что:

?

(а)

$\mathbb {P}\left(A B\right)+\mathbb {P}\left(A C\right)+\mathbb {P}\left(B C\right) \geqslant \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)+\mathbb {P}\left(C\right)-1$ ;

(б)

$\mathbb {P}\left(A B\right)+\mathbb {P}\left(A C\right)-\mathbb {P}\left(B C\right) \leqslant \mathbb {P}\left(A\right)$ .

Задача 1.23

Доказать, что для любых $A, B, C$

\mathbb {P}\left(A \Delta B\right) \leqslant \mathbb {P}\left(A \Delta C\right)+\mathbb {P}\left(C \Delta B\right) .

?

Задача 1.24

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — события. Доказать, что:

\begin{aligned} & \text{ a) } \mathbb {P}\left(\bigcup _{i = 1}^{n} A_{i}\right) = \sum _{i = 1}^{n} \mathbb {P}\left(A_{i}\right)-\sum _{1 \leqslant i_{1} < i_{2} \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_{i_{1}} A_{i_{2}}\right)+ \\ & +\sum _{1 \leqslant i_{1} < i_{2} < i_{3} \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_{i_{1}} A_{i_{2}} A_{i_{3}}\right)+\ldots +(-1)^{n-1} \mathbb {P}\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right) ; \\ & \text{ б) } \mathbb {P}\left(A_{1} \triangle A_{2} \triangle \ldots \triangle A_{n}\right) = \sum _{i = 1}^{n} \mathbb {P}\left(A_{i}\right)-2 \sum _{1 \leqslant i_{1} < i_{2} \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_{i_{1}} A_{i_{2}}\right)+ \\ & \quad +4 \sum _{1 \leqslant i_{1} < i_{2} < i_{3} \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_{i_{1}} A_{i_{2}} A_{i_{3}}\right)+\ldots +(-2)^{n-1} \mathbb {P}\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right) . \end{aligned}

?

Задача 1.25

Пусть $A_{1}, \ldots , A_{n}$ — некоторые события и $B_{m}$ — событие, заключающееся в том, что осуществится ровно $m$ событий из $A_{1}, \ldots \ldots , A_{n}$ . Доказать, что

\mathbb {P}\left(B_{m}\right) = \sum _{k = 0}^{n-m}(-1)^{k} C_{m+k}^{m} S_{m+k}

где

S_{k} = \sum _{1 \leqslant i_{1} < \ldots < i_{k} \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_{i_{1}} \ldots A_{i_{k}}\right) .

?

Задача 1.26

(урновая схема: выбор с возвращением)Некий сосуд (урна) содержит $N$ различных шаров с номерами $1,2, \ldots , N$ . На каждом шаге из урны «наудачу» извлекается шар и затем возвращается назад, после чего шары в урне перемешиваются. Исход $n$ последовательных извлечений называется выборкой объема $n$ с возвращением. Описать пространство элементарных событий, соответствующих данному эксперименту. Рассмотреть отдельно случай, когда порядок шаров в выборке важен, и случай, когда порядок не учитывается.

?

Задача 1.27

(Продолжение) Рассмотрим случай упорядоченных выборок и предположим, что они все равновозможны. Предположим дополнительно, что все шары с номерами $1,2, \ldots , M(M \leqslant N)$ окрашены в белый цвет, а остальные шары — в черный цвет. Найдите вероятность того, что в выборке объема $n$ окажется ровно $m$ , $0 \leqslant m \leqslant n$ , белых шаров.

?

Задача 1.28

В схеме выбора с возвращением найдите вероятность того, что все шары встретятся в выборке не более одного раза.

?

Задача 1.29

(урновая схема: выбор без возвращения)Пусть урна содержит $N$ различных шаров с номерами $1,2, \ldots , N$ . На каждом шаге из урны «наудачу» извлекается шар и назад в урну не возвращается. Исход $n$ последовательных извлечений называется выборкой объема $n$ без созеращения или бесповторной выборкой.

Описать пространство элементарных событий в двух случаях: когда выборка упорядочена и когда не упорядочена.

?

Задача 1.30

(Продолжение) Рассмотрим случай упорядоченных выборок и предположим, что они равновероятны. Так же как в задаче 1.15, предположим, что шары с первыми $M(M \leqslant N)$ номерами окрашены в белый цвет, а остальные — в черный. Найдите вероятность того, что в выборке объема $n$ окажется ровно $m$ белых шаров.

?

Задача 1.31

(генуэзская лотерея)Из общего числа 90 номеров разыгрываются 5 номеров. Можно заранее сделать ставку на любое число номеров в пределах пяти. Если ставка сделана на $k, k = 1,2,2,4$ , 5 , номеров и именно эти $k$ номеров находятся среди номеров, вышедших в тираж, то соответствующие выигрыши таковы:

\text{ если } \begin{array}{rlr}& k = 1, \text{ то } & 15 \text{ ставок, } \\ & k = 2, \text{ то } & 270 \text{ ставок, } \\ & k = 3, \text{ то } & 5500 \text{ ставок, } \\ & k = 4, \text{ то } & 75000 \text{ ставок, } \\ & k = 5, \text{ то } 1000000 \text{ ставок. } & \end{array}

Подсчитать вероятности выигрышей при ставке на любое число номеров.

?

Задача 1.32

На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа $2,4,6,7,8,11,12$ и 13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.

?

Задача 1.33

Из полного набора 28 костей домино наудачу берутся 5 костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна кость с шестью очками.

?

Задача 1.34

Бросается $n$ игральных костей. Найти вероятность события, состоящего в том, что на всех костях выпало одинаковое число очков.

?

Задача 1.35

Монета подбрасывается $n$ раз. Найти вероятность того, что число появлений герба нечетно.

?

Задача 1.36

(а)(б)(в)

Брошены шесть игральных костей. Найти вероятности следующих событий:

?

(а)

на всех костях выпало разное число очков;

(б)

суммарное число выпавших очков равно 7.

(в)

Задача 1.37

(а)(б)(в)

Игральная кость бросается $n$ раз. Чему равна вероятность того, что:

?

(а)

хотя бы один раз выпадет шестерка?

(б)

шестерка вышадет в точности один раз?

(в)

Задача 1.38

(задача игрока де Мере). Какое событие более вероятно: при четырех бросаниях кости хотя бы раз выпадет шесть очков или при двадцати четырех бросаниях двух костей хотя бы раз одновременно выпадут шесть и шесть очков? Найдите эти вероятности.

?

Задача 1.39

Несколько раз бросается игральная кость. Какое событие более вероятно: сумма выпавших очков четна или сумма выпавших очков нечетна?

?

Задача 1.40

Между двумя игроками проводится $n$ партий, причем каждая партия кончается или выигрышем, или проигрышем, и всевозможные исходы партий равновероятны. Найти вероятность того, что определенный игрок выиграет ровно $m$ партий, $0 \leqslant m \leqslant n$ .

?

Задача 1.41

В зале, насчитывающем $n+k$ мест, случайным образом занимают места $n$ человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные $m \leqslant n$ мест.

?

Задача 1.42

(а)(б)

Для уменьшения общего количества игр $2 n$ команд спортсменов разбиваются на две подгрушпы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся:

?

(а)

в разных подгруппах;

(б)

в одной подгруппе.

Задача 1.43

Сорок участников турнира разбиваются на четыре равные группы. Найти вероятность того, что четыре сильнейших участника окажутся в разных группах.

?

Задача 1.44

Рассмотрим множество из $N$ элементов. Наудачу выбирается одно из непустых подмножеств. Найти вероятность того, что в выбранном подмножестве четное число элементов.

?

Задача 1.45

Из урны, содержащей $2 n$ белых и $2 n$ черных шаров, извлекаются с возвращением $2 n$ шаров. Найти вероятность того, что в выборке будет одинаковое число белых и черных шаров.

?

Задача 1.46

(а)(б)

В урне $a$ белых и $b$ черных шаров ( $a \geqslant 2, b \geqslant 2$ ). Из урны без возвращения извлекаются два шара. Найти вероятность того, что:

?

(а)

шары одного цвета;

(б)

шары разных цветов.

Задача 1.47

В урне находятся 5 шаров различных цветов. Производится выборка с возвращением объема 25. Найти вероятность того, что в выборке будет по 5 шаров каждого цвета.

?

Задача 1.48

В урне $K$ красных, $L$ белых и $M$ черных шаров. Из урны с возвращением (без возвращения) извлекается $n$ шаров. Найти вероятность того, что в выборке будет $k$ красных, $l$ белых и $m$ черных шаров.

?

Задача 1.49

В урне находятся черные и белые шары, которые без возвращения извлекаются из урны. Какое событие более вероятно: первый шар оказался белым или последний шар оказался белым?

?

Задача 1.50

В урне находятся черные и белые шары, причем отношение числа белых шаров к числу черных шаров равно $\alpha$ . Найти вероятность того, что при извлечении всех шаров из урны последним окажется черный шар.

?

Задача 1.51

В урне находятся $a$ белых и $b$ черных шаров. Шары без возвращения извлекаются из урны. Найти вероятность того, что $k$ -й вынутый шар оказался белым.

?

Задача 1.52

Из урны, в которой находятся черные и белые шары, с возвращением извлекаются два шара. Доказать, что вероятность того, что шары одного цвета, не меньше $1 / 2$ .

?

Задача 1.53

В урне содержится $a$ белых и $b$ черных шаров ( $a \neq b$ ). Все шары без возвращения извлекаются из урны. Какое событие более вероятно: в некоторый момент число извлеченных белых шаров равно числу извлеченных черных шаров или в некоторый момент число оставшихся в урне белых шаров равно числу оставшихся черных шаров? Найти эти вероятности.

?

Задача 1.54

$n$ лиц рассаживаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность, что два определенных лица окажутся рядом? Найти соответствующую вероятность, если те же лица садятся за круглый стол.

?

Задача 1.55

$n$ лиц рассаживаются в ряд или за круглый стол в случайном порядке. Найти в том и другом случае вероятность того, что между двумя определенными лицами окажется ровно $s$ человек.

?

Задача 1.56

(размещение шаров по ящикам)Рассмотрим случайный эксперимент, в котором различимые (занумерованные) шары размещаются по нескольким ящикам, так что каждый шар может попасть в ящик с любым помером. Описать множество всех различимых размещений — элементарных исходов данного эксперимента. Считая все элементарные события равновероятными, вычислить соответствующие вероятности.

?

Задача 1.57

(Продолжение) Рассмотрим тот же эксперимент, но на этот раз будем считать шары неразличимыми. Подсчитать число всех различных размещений.

?

Задача 1.58

(Продолжение) Рассмотрим задачу размещения $n$ шаров по $N$ ящикам. Считаем возможными только те размещения, при которых в каждый ящик попадает не более одного шара. Построить пространство элементарных событий в случае различимых и в случае неразличимых шаров.

?

Задача 1.59

30 шаров размещаются по 8 ящикам так, что для каждого шара одинаково возможно попадание в любой ящик. Найти вероятность размещения, при котором будет 3 пустых ящика, 2 ящика — с тремя, 2 ящика — с шестью и 1 ящик — с двенадцатью шарами.

?

Задача 1.60

Найти вероятность того, что при размещении $n$ различимых шаров по $N$ ящикам заданный ящик будет содержать ровно $k$ , $0 \leqslant k \leqslant n$ , шаров (все различимые размещения равновероятны).

?

Задача 1.61

$n$ различимых шаров размещаются по $N$ ящикам. Найти вероятность того, что ящики с номерами $1,2, \ldots , N$ будут содержать $n_{1}, \ldots , n_{N}$ шаров соответственно ( $n_{1}+\ldots +n_{N} = n$ ).

?

Задача 1.62

В $n$ ящиках размещают $n$ шаров так, что для каждого шара равновозможно попадание в любой ящик. Найти вероятность того, что ни один ящик не пуст.

?

Задача 1.63

(Продолжение) В $n$ ящиках размещают $n+2$ шаров. Найти вероятность того, что по крайней мере один ящик будет пустым.

?

Задача 1.64

(Продолжение) В $n$ ящиках размещают $n+1$ шаров. Найти вероятность того, что ровно два ящика окажутся пустыми.

?

Задача 1.65

В $n$ ящиках размещают $2 n$ шаров. Найти вероятность того, что ни один ящик не пуст, если шары неразличимы и все различимые размещения имеют равные вероятности.

?

Задача 1.66

(Продолжение задачи 1.65: в $n$ ящиках размещают $2 n$ шаров, шары неразличимы и все различимые размещения имеют равные вероятности.) Найти вероятность $q_{m}^{(n)}$ того, что заданный ящик содержит ровно $m$ шаров.

?

Задача 1.67

(Продолжение задачи 1.65: в $n$ ящиках размещают $2 n$ шаров, шары неразличимы и все различимые размещения имеют равные вероятности.) Найти предел $q_{m}^{(n)}$ при $n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 1.68

(Продолжение задачи 1.65: в $n$ ящиках размещают $2 n$ шаров, шары неразличимы и все различимые размещения имеют равные вероятности.) Найти вероятность того, что ровно $k$ ящиков останутся пустыми.

?

Задача 1.69

Имеется $2 n$ карточек, на которых написаны числа от 1 до $2 n$ , и $2 n$ конвертов, на которых написаны те же числа. Карточки случайным образом вкладываются в конверты (в каждый конверт по одной карточке). Найти вероятность того, что сумма чисел на любом конверте и лежащей в нем карточке четна.

?

Задача 1.70

Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый свою) монеты. Найти вероятность того, что после $n$ подбрасываний у них будет одно и то же число гербов.

?

Задача 1.71

(а)(б)(в)

Имеется тщательно перетасованная колода из 52 карт (4 масти, по 13 карт в каждой от двойки до туза). Найти вероятность того, что:

?

(а)

первые четыре карты в колоде — тузы;

(б)

первая и последняя карты — тузы;

(в)

между тузами находится одинаковое число карт $l$ .

Задача 1.72

(а)(б)(в)(г)

Колода из 52 карт раздается поровну четверым игрокам. Найти вероятность того, что:

?

(а)

у каждого из игроков окажется по одному тузу;

(б)

у одного из игроков все тринадцать карт будут одной масти;

(в)

у каждого из игроков будут все карты, от двойки до туза;

(г)

у 1-го, 2-го, 3-го и 4-го игроков окажется соответственно $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ карт масти «пик» $\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} = 13\right)$ .

Задача 1.73

(а)(б)

Сравниваются две перетасованные колоды, содержащие по $N$ различных карт. Если карта находится на одном и том же месте в обеих колодах, будем говорить, что имеет место совпадение. Найти вероятность того, что будет:

?

(а)

по крайней мере одно совпадение;

(б)

по крайней мере $k$ совпадений.

Задача 1.74

Две колоды из $N$ различных карт сравниваются между собой и одновременно с такой же третьей колодой. Найти вероятность того, что будет ровно $m$ двойных совпадений.

?

Задача 1.75

Найти вероятность того, что при случайном размещении $r$ шаров по $n$ ящикам ровно в $m$ ящиках окажется по $k$ шаров, если для каждого шара равновозможно попадание в любой ящик.

?

Задача 1.76

Найти вероятность того, что при размещении $r$ шаров по $n$ ящикам ровно $m$ ящиков останутся пустыми, если шары неразличимы и все различные размещения равновероятны.

?

Задача 1.77

Восемь ладей случайным образом расставлены на шахматной доске. Найти вероятность того, что ни одна из них не бьет другую и ни одна не стоит на главной белый диагонали.

?

Задача 1.78

Из колоды, содержащей 52 карты, извлекаются 13 карт. Найти вероятность того, что в выборке содержится ровно $k$ пар «туз — король» одной масти.

?

Задача 1.79

Рассмотрим множество $\mathscr {F}$ кусочно-линейных функций вида

\begin{aligned} & f(0) = 0 \\ & f(x) = f(i)+\alpha _{i}(x-i), \quad i \leqslant x \leqslant i+1, \quad 0 \leqslant i \leqslant n-1, \end{aligned}

где $\alpha_{i}$ — принимает значения 1 или -1. Найти вероятность того, что наудачу выбранная функция из множества $\mathscr {F}$ принимает в точке $n$ значение $k$ .

?

Задача 1.80

(Продолжение) Найти вероятность того, что наудачу выбранная функция из $\mathscr {F}$ имеет в полуинтервале $(0, n] i$ корней.

?

Задача 1.81

(Продолжение) Найти вероятность того, что для случайно выбранной функции $j \in \mathscr {F}$

\int _{\theta }^{n} f(x) d x = 0.

?

Задача 1.82

Пусть $\mathscr {F}_{1} \subset \mathscr {F}$ — множество функций $f$ из $\mathscr {F}$ таких, что $f(n) = 0$ . Найти вероятность того, что наудачу выбранная функция из $\mathscr {F}_{1}$ не имеет нулей в интервале $(0, n)$ .

?

Задача 1.83

(Продолжение) Найти вероятность того, что минимальный корень в интервале $(0, n)$ случайно выбранной функции из $\mathscr {F}_{1}$ равен $i$ .

?

Задача 1.84

Двое условились о встрече между 10 и 11 часами утра, причем договорились ждать друг друга не более 10 минут. Считая, что момент прихода на встречу выбирается каждым «наудачу» в пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча состоится.

?

Задача 1.85

(а)(б)

Содержание предыдущей задачи дополнить третьим лицом при тех же условиях встречи. Найти вероятность того, что:

?

(а)

встреча трех лиц состоится;

(б)

встреча по крайней мере двух лиц состоится.

Задача 1.86

На отрезке длины $l$ наудачу выбираются две точки. Какова вероятность, что из трех отрезков, на которые делится исходный отрезок выбранными точками, можно составить треугольник?

?

Задача 1.87

(задача Бюффона)На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии $a$ , наудачу бросается игла длиною $2 r \quad (2 r < a)$ . Какова вероятность того, что игла пересечет одну из проведенных прямых?

?

Задача 1.88

(Продолжение) На плоскости проведены две взаимно перпендикулярные совокупности параллельных прямых, которые разбивают плоскость на прямоугольники со сторонами $a$ и $b$ . Найти вероятность того, что наудачу брошенная на плоскость игла длиною $2 r \quad \left(2 r < a+b-\sqrt{(a+b)^{2}-\pi a b}\right)$ пересечет хотя бы одну из проведенных прямых.

?

Задача 1.89

(задача Бертрана)На окружности радиуса $r$ наудачу выбираются две точки и соединяются хордой. Найти вероятность того, что длина хорды превысит $\sqrt{3} r$ .

?

Задача 1.90

(Продолжение) На окружности радиуса $r$ выбирается наудачу точка, и через нее проводится диаметр. На диаметре наудачу выбирается точка — середина хорды, перпендикулярной диаметру. Найти вероятность того, что длина полученной хорды превзойдет $\sqrt{3} r$ .

?

Задача 1.91

(Продолжение) Внутри круга радиуса $r$ наудачу выбирается точка. Эта точка служит серединой хорды, перпендикулярной проведенному через нее диаметру. Найти вероятность того, что полученная хорда превзойдет по длине $\sqrt{3} r$ .

?

Задача 1.92

На плоскость нанесены параллельные прямые на одинаковом расстоянии $a$ друг от друга. На плоскость наудачу бросается монета (круг) радиуса $R(R < a / 2)$ . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из прямых.

?

Задача 1.93

Две точки выбираются наудачу из отрезка $[-1,1]$ . Пусть $p$ и $q$ — координаты этих точек. Найти вероятность того, что квадратное уравнение $x^{2}+p x+q = 0$ будет иметь вещественные корни.

?

Задача 1.94

В круг вписан квадрат. Точка наудачу бросается в круг. Найти вероятность того, что она попадет в квадрат.

?

Задача 1.95

На отрезок наудачу бросают три точки, одну за другой. Какова вероятность того, что третья по счету точка упадет между двумя первыми?

?

Задача 1.96

Отрезок длины $a_{1}+a_{2}$ поделен на две части длины $a_{1}$ и $a_{2}$ соответственно. $n$ точек последовательно бросаются наудачу на отрезок. Найти вероятность того, что ровно $m$ из $n$ точек попадут на часть отрезка длины $a_{1}$ .

?

Задача 1.97

(Продолжение) Отрезок длины $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{s}$ поделен на $s$ частей длины $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{s}$ соответственно. Наудачу бросаются $n$ точек. Найти вероятность того, что на части длины $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{s}$ попадет соответственно $m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{s}$ точек ( $m_{1}+\ldots +m_{s} = n$ ).

?

Задача 1.98

В шар радиуса $R$ наудачу бросаются $N$ точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет не меньше $a, 0 < a < R$ .

?

Задача 1.99

(а)(б)(в)

В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что они образуют вершины:

?

(а)

какого-нибудь треугольника;

(б)

правильного треугольника;

(в)

прямоугольного треугольника.

Задача 1.100

В квадрат наудачу брошены две точки $A$ и $B$ . Найти вероятность того, что круг, диаметром которого является отрезок $A B$ , целиком содержится в исходном квадрате.

?

Задача 1.101

В квадрат наудачу брошены две точки $A$ и $B$ . Найти вероятность того, что квадрат, диагональю которого является отрезок $A B$ , целиком содержится в исходном квадрате.

?

Задача 1.102

В единичный квадрат наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка будет удалена от центра квадрата на расстояние меньше, чем $1 / 3$ , если известно, что от каждой из сторон квадрата она удалена больше, чем на $1 / 6$ ?

?

Задача 1.103

На окружности наудачу выбраны три точки $A, B, C$ . Найти вероятность того, что треугольник $A B C$ будет остроугольным.

?

Задача 1.104

Доказать, что

\mathbb {P}\left(A_{1} \ldots A_{n}\right) = \mathbb {P}\left(A_{1}\right) \mathbb {P}\left( A_{2} \mid A_{1} \right) \ldots \mathbb {P}\left( A_{n} \mid A_{1} \ldots A_{n-1} \right),

если все входящие в правую часть условные вероятности определены.

?

Задача 1.105

Доказать, что

\mathbb {P}\left( A_{1} \ldots A_{n} \mid C \right) = \mathbb {P}\left( A_{1} \mid C \right) \mathbb {P}\left( A_{2} \mid A_{1} C \right) \ldots \mathbb {P}\left( A_{n} \mid A_{1} \ldots A_{n-1} C \right)

если все входящие в правую часть условные вероятности определены.

?

Задача 1.106

Доказать формулу полной вероятности

\mathbb {P}\left(A\right) = \sum _{k = 1}^{n} \mathbb {P}\left( A \mid B_{k} \right) \mathbb {P}\left(B_{k}\right)

где $\mathbb {P}\left(B_{i}\right) > 0, B_{i} \cap B_{j} = \varnothing , i \neq j, A \subset \bigcup_{k = 1}^{n} B_{k}$ .

?

Задача 1.107

Доказать формулу Байеса.

?

Задача 1.108

Доказать, что

\mathbb {P}\left( A \mid C \right) = \sum _{k = 1}^{n} \mathbb {P}\left( A \mid B_{k} C \right) \mathbb {P}\left( B_{k} \mid C \right)

где

\mathbb {P}\left(B_{i} C\right) > 0, \quad B_{i} \cap B_{j} = \varnothing , \quad i \neq j, \quad A C \subset \bigcup _{k = 1}^{n} B_{k} .

?

Задача 1.109

Пусть $\mathbb {P}\left( A \mid B \right) > \mathbb {P}\left( B \mid A \right)$ и $\mathbb {P}\left(A\right) > 0, \mathbb {P}\left(B\right) > 0$ . Будет ли $\mathbb {P}\left(A\right) > \mathbb {P}\left(B\right)$ ?

?

Задача 1.110

Верно ли равенство

\mathbb {P}\left( A \mid B \right)+\mathbb {P}\left( A \mid \bar{B} \right) = 1 ?

?

Задача 1.111

(урновая схема Пойа)Урна содержит $a$ белых и $b$ черных шаров. Наудачу извлекается шар. Он возвращается обратно, и, кроме того, добавляется с шаров одного с ним цвета. Производится новое извлечение, и процедура изменения состава урны повторяется и т. д. Доказать, что вероятность того, что при первых $n = n_{1}+n_{2}$ извлечениях появилось $n_{1}$ белых и $n_{2}$ черных шаров, равна

C_{n}^{n_{1}} \frac{a(a+c)(a+2 c) \ldots \left(a+n_{1} c-c\right) b(b+c) \ldots \left(b+n_{2} c-c\right)}{(a+b)(a+b+c)(a+b+2 c) \ldots (a+b+n c-c)} .

?

Задача 1.112

(Продолжение) Доказать, что вероятность извлечения белого шара на $k$ -м шаге равна $a /(a+b)$ .

?

Задача 1.113

(Продолжение) Доказать, что условная вероятность извлечения белого шара на $m-м$ шаге, при условии, что на $k$ -м шаге, $k < m$ , был извлечен белый шар, равна $(a+c) /(a+b+c)$ .

?

Задача 1.114

(Продолжение) Пусть событие $A_{m}$ означает извлечение белого шара на $m$ -м шаге. Доказать, что

\mathbb {P}\left( A_{m} \mid A_{n} \right) = \mathbb {P}\left( A_{n} \mid A_{m} \right)

?

Задача 1.115

Имеются три урны с белыми и черными шарами, причем отношение числа белых шаров к числу черных равно $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ для 1-й, 2-й, 3-й урн соответственно. Наудачу (с вероятностью 1/3) выбирается урна и из нее шар. Какова вероятность того, что он белый?

?

Задача 1.116

(Продолжение) Наудачу выбирается урна и из нее шар. Оказалось, что он белый. Какова вероятность того, что шар был вынут из первой урны?

?

Задача 1.117

Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем в 5 случаях, а второй — в 8 случаях из 10. Перед выстрелом они бросают правильную монету для определения очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, кто в данный момент стреляет. Вот он видит, что стрелок попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый стрелок?

?

Задача 1.118

Урна содержит $N$ шаров, из которых $M$ — белого цвета. Производится выборка объема $n$ . Пусть событие $A_{k}$ состоит в том, что на $k$ -м шаге извлечен шар белого цвета, а событие $B_{m}$ — в том, что в выборке ровно $m$ белых шаров. Доказать, что

\mathbb {P}\left( A_{k} \mid B_{m} \right) = m / n

в случае выбора с возвращением и без возвращения.

?

Задача 1.119

В урне 7 белых и 3 черных шара. Без возвращения извлекаются 3 шара. Известно, что среди них есть черный шар. Какова вероятность того, что другие два шара белые?

?

Задача 1.120

Вероятность того, что в справочное бюро в течение часа обратятся $k$ человек, равна $\lambda^{k} e^{-\lambda } / k!$ при некотором $\lambda > 0$ . Для каждого человека вероятность отказа равна $р$ . Найти вероятность того, что в течение часа $s$ человек не получат ответа на свой вопрос.

?

Задача 1.121

Имеются три урны. В первой урне находится $N_{1}$ белых и $M_{1}$ черных, во второй - $N_{2}$ белых и $M_{2}$ черных, в третьей - $N_{3}$ белых и $M_{3}$ черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн и из нее выбираются без возвращения 2 шара. Один из них доказывается белым, другой — черным. Найти вероятности того, что выбор производился из первой, второй или третьей урны.

?

Задача 1.122

В урне первоначально находилось $N$ белых и $M$ черных шаров. Один шар потерян, и цвет его неизвестен. Из урны без возвращения извлечены 2 шара, и оба оказались белыми. Определить вероятность того, что потерян белый шар.

?

Задача 1.123

В первой урне $N_{1}$ белых и $M_{1}$ черных шаров, во второй $N_{2}$ белых и $M_{2}$ черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают шар. После тщательного перемешивания из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность, что он белый?

?

Задача 1.124

В первой урне $N_{1}$ белых и $M_{1}$ черных шаров, во второй $N_{2}$ белых и $M_{2}$ черных и в третьей - $N_{3}$ белых и $M_{3}$ черных. Из первой урны наудачу извлекают один шар и перекладывают во вторую урну. Затем перекладывают один шар из второй урны в третью и, наконец, из третьей в первую. С какой вероятностью состав шаров в первой урне останется прежним?

?

Задача 1.125

В первой урне $N_{1}$ белых и $M_{1}$ черных шаров, во второй $N_{2}$ белых и $M_{2}$ черных шаров. Из первой урны без возвращения извлекаются $n_{1}$ шаров, а из второй - $n_{2}$ шаров. Все извлеченные шары кладутся в третью урну, из которой наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что он белый?

?

Задача 1.126

В урне $N$ белых и $M$ черных шаров. Без возвращения извлекаются $n \leqslant N$ шаров. Известно, что среди них $m$ белых шаров. Какова вероятность, что остальные $n-m$ шаров также белые?

?

Задача 1.127

Имеется $n$ урн одинакового состава: $N$ белых и $M$ черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.

?

Задача 1.128

Урна содержит один шар, про который известно, что он либо белый, либо черный с одинаковыми вероятностями. В урну кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что оставшийся в урне шар — белый?

?

Задача 1.129

Брошено три игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпала шестерка, если известно, что

?

(а)

на одной кости выпало 6 очков;

(б)

на первой кости выпало 6 очков;

(в)

на двух костях выпали «шестерки»;

(г)

по крайней мере на двух костях выпало одинаковое число очков;

(д)

на всех костях выпало одинаковое число очков;

(е)

по крайней мере на одной кости выпало 6 очков.

Задача 1.130

Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков, при условии, что на всех костях выпали грани с четным числом очков.

?

Задача 1.131

(а)(б)

Группа студентов, сдающая экзамен, состоит из 5 отличников, 10 хороших студентов и 15 слабых студентов; отличник всегда получает оценку «отлично», хороший студент - «отлично» и «хорошо» с равными вероятностями, слабый студент - «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно» с равными вероятностями. Какова вероятность, что наугад вызванный студент получит оценку

?

(а)

«отлично»;

(б)

«хорошо»?

Задача 1.132

В урне находятся белые и черные шары. Пусть имеется $s$ предположений $A_{1}, \ldots , A_{s}$ о том, что доля белых шаров в урне равна соответственно $p_{1}, \ldots , p_{s}$ . Считаем, что эти предположения выполняются с вероятностями $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{s}, \alpha_{1}+\ldots +\alpha_{s} = 1$ . Для проверки произведем выбор шаров с возвращением объема $n_{1}$ . Пусть выборка содержит $m_{1}$ белых шаров (событие $B$ ). Вычислим $\alpha_{i} = \mathbb {P}\left( A_{i} \mid B \right), i = 1, \ldots , s$ , и рассмотрим их как исправленные значения взамен $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{s}$ (для удобства переобозначим и сами исходные предположения: $\widetilde{A}_{1}, \ldots , \widetilde{A}_{s}$ ). Для дополнительной корректировки произведем выбор с возвращением объема $n_{2}$ . Допустим, что число белых шаров в выборке равно $m_{2}$ (событие $C$ ). Находим $\mathbb {P}\left( \widehat{A_{i}} \mid C \right)$ . Пусть, далее, событие $D$ состоит в том, что выборка объема $n_{1}+n_{2}$ содержит $m_{1}+m_{2}$ белых шаров. Доказать, что $\mathbb {P}\left( A_{i} \mid D \right) = \mathbb {P}\left( \widetilde{A}_{i} \mid C \right)$ , $i = 1, \ldots , s$ .

?

Задача 1.133

Доказать, что если $A$ и $B$ независимы, то независимы $A$ и $\bar{B}, \bar{A}$ и $B, \bar{A}$ и $\bar{B}$ .

?

Задача 1.134

Доказать, что если $\mathbb {P}\left( A \mid B \right) = \mathbb {P}\left( A \mid \bar{B} \right)$ , то события $A$ и $B$ независимы.

?

Задача 1.135

Пусть $A$ и $B$ независимы, $\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)$ , $\mathbb {P}\left(A \triangle B\right) = p$ и $\mathbb {P}\left(A \backslash B\right) < p$ . Найти $\mathbb {P}\left(A\right), \mathbb {P}\left(B\right)$ и $\mathbb {P}\left(A \backslash B\right)$ .

?

Задача 1.136

Пусть событие $A$ таково, что оно не зависит от самого себя. Показать, что тогда $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно 0 или 1.

?

Задача 1.137

Пусть событие $A$ таково, что $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно 0 или 1. Показать, что $A$ и любое событие $B$ независимы.

?

Задача 1.138

Пусть $A$ и $B$ — независимые события и $\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = 1$ . Доказать, что либо $A$ , либо $B$ имеет вероятность, равную единице.

?

Задача 1.139

Пусть $A$ и $B$ — независимые события. Доказать, что если $A \cup B$ и $A \cap B$ независимы, то либо $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$ , либо $\mathbb {P}\left(B\right) = 1$ , либо $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ , либо $\mathbb {P}\left(B\right) = 0$ .

?

Задача 1.140

(а)(б)

Подбрасываются три игральные кости. Событие $A$ состоит в том, что одинаковое число очков выпало на первой и второй костях, событие $B$ — одинаковое число очков на второй и третьей костях, $C$ — на первой и третьей. Будут ли события $A, B$ и $C$ :

?

(а)

попарно независимы,

(б)

независимы в совокупности?

Задача 1.141

(а)(б)

Пусть события $A, B$ и $C$ независимы в совокупности, причем каждое из этих событий имеет вероятность, отличную от нуля и единицы. Могут ли события $A B, B C$ и $A C$ быть:

?

(а)

независимыми в совокупности,

(б)

попарно независимыми?

Задача 1.142

(а)(б)

Пусть события $A, B$ и $C$ попарно независимы и каждое из них имеет вероятность, отличную от нуля и единицы. Могут ли события $A B, B C$ и $A C$ быть:

?

(а)

попарно независимыми,

(б)

независимыми в совокупности?

Задача 1.143

Пусть $A$ и $B$ — независимые события, а событие $C$ не зависит от событий $A B$ и $A \cup B$ . Обязаны ли события $A, B$ и $C$ быть попарно независимыми?

?

Задача 1.144

Пусть $A, B, C, D$ — события, причем $A$ и $B$ не зависят от $C$ и $D$ . Доказать, что если $A B = \varnothing$ и $C D = \varnothing$ , то $A \cup B$ не зависит от $C \cup D$ .

?

Задача 1.145

Пусть события $A, B$ и $C$ таковы, что $A$ не зависит от $B C$ и от $B \cup C, B$ не зависит от $A C$ , а $C$ — от $A B$ , причем вероятности $\mathbb {P}\left(A\right), \mathbb {P}\left(B\right), \mathbb {P}\left(C\right)$ положительны. Доказать, что события $A, B$ и $C$ независимы в совокупности.

?

Задача 1.146

Показать, что из попарной независимости $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ не следует их взаимная независимость.

?

Задача 1.147

Показать, что из равенства

\mathbb {P}\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right) = \mathbb {P}\left(A_{1}\right) \mathbb {P}\left(A_{2}\right) \mathbb {P}\left(A_{3}\right)

не следует попарная независимость $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ .

?

Задача 1.148

Пусть $A$ и $B$ независимы и $A$ и $C$ независимы. Показать, что $A$ и $B \cup C$ могут быть зависимы.

?

Задача 1.149

(Продолжение) Доказать, что если, кроме того, $A$ и $B C$ независимы, то $A$ и $B \cup C$ также независимы. Будут ли независимы $A, B, C$ ?

?

Задача 1.150

Из урны, содержащей белые и черные шары, с возвращением извлекаются шары. Пусть событие $A_{k}$ означает, что $k$ -й по счету вынутый шар — белый. Доказать, что события $A_{1}, \ldots , A_{n}$ взаимно независимы.

?

Задача 1.151

(Продолжение) Показать, что если выбор производится без возвращения, то события $A_{1}, \ldots , A_{n}$ зависимы.

?

Задача 1.152

(а)(б)(в)

(Продолжение) Доказать, что в случае выбора без возвращения:

?

(а)

$\mathbb {P}\left(A_{k}\right) = \mathbb {P}\left(A_{1}\right)$ при любом $k$ ;

(б)

$\mathbb {P}\left( A_{k+1} \mid A_{n} \right)$ не зависит от $k$ ;

(в)

$\mathbb {P}\left( A_{h+m} \mid A_{h} \right)$ не зависит от $m$ .

Задача 1.153

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — взаимно независимые события. Доказать, что

\mathbb {P}\left(\bigcup _{i = 1}^{n} A_{i}\right) = 1-\prod _{i = 1}^{n} \mathbb {P}\left(\bar{A}_{i}\right)

?

Задача 1.154

Доказать, что события $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ , заданные на одном вероятностном пространстве независимы тогда и только тогда, когда выполнены $2^{n}$ условия

\begin{gathered} \mathbb {P}\left(A_{1}^{\delta _{1}} \ldots A_{n}^{\delta _{n}}\right) = \mathbb {P}\left(A_{1}^{\delta _{1}}\right) \ldots \mathbb {P}\left(A_{n}^{\delta _{n}}\right), \quad \delta _{i} = 0,1, \quad i = 1,2, \ldots , n, \\ A_{i}^{\delta _{i}} = \begin{cases} A_{i}, & \text{ если } \delta _{i} = 1 \\ \bar{A}_{i}, & \text{ если } \delta _{i} = 0. \end{cases} \end{gathered}

?

Введение в теорию вероятностей