Асимптотическая эффективность

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением $N(0,1)$. Рассмотрим две оценки

где $S_{n}=\Sigma \left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, \mathbb {P}\left(S_{n}>a_{n}\right)=1 / n$, и $T_{n}^{\prime }=\left(X_{1}+\cdots +X_{k_{n}}\right) / k_{n}$ с $k_{n}$ — наибольшим целым числом $\leq \sqrt{n}$.

Если $k_{n}\left[\delta_{n}-g(\theta )\right] \xrightarrow {\mathcal{L}} H$ для некоторой последовательности $k_{n}$, покажите, что тот же результат верен, если $k_{n}$ заменить на $k_{n}^{\prime }$, где $k_{n} / k_{n}^{\prime } \rightarrow 1$.

Предположим, что распределение $Y_{n}=\sqrt{n}\left(\delta_{n}-g(\theta )\right)$ сходится к распределению со средним 0 и дисперсией $v(\theta )$. Используя лемму Фату (Лемма 1.2.6), установите, что $\operatorname {Var}_{\theta }\left[\delta_{n}\right] \rightarrow 0$ для всех $\theta$.

Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — выборка из однопараметрического экспоненциального семейства (1.5.2), то $\Sigma T\left(X_{i}\right)$ является минимальной достаточной статистикой, и $\mathbb {E}\left[(1 / n) \Sigma T\left(X_{i}\right)\right]=(\partial / \partial \eta ) A(\eta )=\tau$. Покажите, что для любой функции $g(\cdot )$, для которой верна Теорема 1.8.12, $g\left((1 / n) \Sigma T\left(X_{i}\right)\right)$ асимптотически несмещена для $g(\tau )$.

Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением $n\left(\mu , \sigma^{2}\right)$, покажите, что $S^{r}=\left[1 /(n-1) \Sigma \left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\right]^{r / 2}$ является асимптотически несмещённой оценкой $\sigma^{r}$.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением $U(0, \theta )$. Согласно Примеру 2.1.14, $\delta_{n}=(n+1) X_{(n)} / n$ является UMVU-оценкой $\theta$, тогда как MLE есть $X_{(n)}$. Определите предельное распределение

Для ситуации Задачи 2.6:

Проверьте асимптотическое распределение, заявленное для $\delta_{n}$ в Примере 2.5.

Пусть $\delta_{n}$ — произвольная оценка, удовлетворяющая (2.2) с $g(\theta )=\theta$. Постройте последовательность $\delta_{n}^{\prime }$, такую что $\sqrt{n}\left(\delta_{n}^{\prime }-\theta \right) \xrightarrow {\mathcal{L}} N\left[0, w^{2}(\theta )\right]$ с $w(\theta )=v(\theta )$ при $\theta \neq \theta_{0}$ и $w\left(\theta_{0}\right)=0$.

В предыдущей задаче постройте $\delta_{n}^{\prime }$, такую что $w(\theta )=v(\theta )$ для всех $\theta \neq \theta_{0}$ и $\theta_{1}$, и $<v(\theta )$ при $\theta =\theta_{0}$ и $\theta_{1}$.

Постройте последовательность $\left\{ \delta_{n}\right\}$, удовлетворяющую (2.2), но для которой смещение $b_{n}(\theta )$ не стремится к нулю.

В Примере 2.7 с $R_{n}(\theta )$, заданной формулой (2.11), покажите, что $R_{n}(\theta ) \rightarrow 1$ при $\theta \neq 0$ и что $R_{n}(0) \rightarrow a^{2}$.

Пусть $b_{n}(\theta )=\mathbb {E}_{\theta }\left[\delta_{n}\right]-\theta$ — смещение оценки $\delta_{n}$ из Примера 2.5.

В Примере 2.7 покажите, что если $\theta_{n}=c / \sqrt{n}$, то $R_{n}\left(\theta_{n}\right) \rightarrow a^{2}+c^{2}(1-a)^{2}$.