Модели конечной совокупности

Если $Y_{1}, \ldots , Y_{n}$ — выборочные значения, полученные в простой случайной выборке размера $n$ из конечной генеральной совокупности (7.2), то

Проверьте уравнения

Для ситуации Примера 7.4:

Случайные величины $X_{1}, \ldots , X_{n}$ называются обмениваемыми, если любая перестановка $X_{1}, \ldots , X_{n}$ имеет то же самое распределение.

Для ситуации Примера 7.4, предполагая, что (a) и (b) выполняются:

В простой случайной выборке, при отброшенных метках, покажите, что необходимым условием $U$-оцениваемости $h\left(a_{1}, \ldots , a_{N}\right)$ является то, что $h$ симметрична по своим $N$ аргументам.

Рассмотрим стратифицированную выборку: пусть $Y_{ij}$ $(j=1,\ldots ,n_i)$, упорядоченные отдельно для каждого страта $i$, обозначаются через $Y_{i(1)}<\cdots <Y_{i(n_i)}$.

Теорема 7.7 утверждает: на основе $Y_{ij}$ (т.е. без меток), эти упорядоченные выборочные значения являются достаточными. Они также полны, если параметрическое пространство $\Omega_i$ для $\theta_i$ имеет вид $V_i \times \cdots \times V_i$ ($N_i$ множителей), а общее параметрическое пространство равно $\Omega =\Omega_1 \times \cdots \times \Omega_s$. (Заметим, что множества значений $V_i$ могут быть различными для разных страт.)

Докажите Теорему 7.7.

Покажите, что приближённая дисперсия (7.16) для стратифицированной выборки с $n_{i}=n N_{i} / N$ (пропорциональное размещение) никогда не превышает соответствующую приближённую дисперсию $\tau^{2} / n$ для простой случайной выборки с тем же общим объёмом выборки.

Пусть $V_{p}$ — точная дисперсия (7.15), а $V_{r}$ — соответствующая дисперсия для простой случайной выборки, задаваемая (7.6) с $n=\Sigma n_{i}, N=\Sigma N_{i}, n_{i} / n=N_{i} / N$ и $\tau^{2}= \Sigma \Sigma \left(a_{i j}-a. .\right)^{2} / N$.

Приближённая дисперсия (7.16) для стратифицированной выборки с общим объёмом выборки $n=n_{1}+\cdots +n_{s}$ минимизируется, когда $n_{i}$ пропорционально $N_{i} \tau_{i}$.

Для планов выборки, в которых известны вероятности включения $\pi_{i}=\sum_{s: i \in s} \mathbb {P}\left(s\right)$ $i$-го выборочного значения $Y_{i}$, часто используемой оценкой суммарного значения по генеральной совокупности является оценка Хорвица—Томпсона (1952) $\delta_{H T}=\sum_{i} Y_{i} / \pi_{i}$.

Предположим, что для каждого элемента генеральной совокупности (7.2) доступна вспомогательная переменная, так что $\theta =\left\{ \left(1, a_{1}, b_{1}\right), \ldots ,\left(N, a_{N}, b_{N}\right)\right\}$. Если $Y_{1}, \ldots , Y_{n}$ и $Z_{1}, \ldots , Z_{n}$ обозначают значения $a$ и $b$, наблюдаемые в простой случайной выборке размера $n$, а $\bar{Y}$ и $\bar{Z}$ обозначают их средние, то

В условиях Задачи 7.13, если $B=b_{1}+\cdots +b_{N}$ известно, альтернативной несмещённой оценкой $\bar{a}$ является

В связи с кластерной выборкой рассмотрим множество $W$ векторов $\left(a_{1}, \ldots , a_{M}\right)$ и совокупность $G$ преобразований, переводящих $\left(a_{1}, \ldots , a_{M}\right)$ в $\left(a_{1}^{\prime }, \ldots , a_{M}^{\prime }\right)$ такие, что $\left(a_{1}^{\prime }, \ldots , a_{M}^{\prime }\right) \in W$ и $\Sigma a_{i}^{\prime }=\Sigma a_{i}$. Приведите примеры $W$, такие что для любого действительного числа $a_{1}$ существуют $a_{2}, \ldots , a_{M}$ с $\left(a_{1}, \ldots , a_{M}\right) \in W$, и такие что

Для кластерной выборки с неравными размерами кластеров $M_{i}$ Задача 7.14 даёт альтернативную оценку $\bar{a}$ с $M_{i}$ вместо $b_{i}$. Покажите, что эта оценка сводится к $\bar{Y}$, если $b_{1}=\ldots =b_{N}$, и, следовательно, когда $M_{i}$ равны.

Покажите, что (7.17) выполняется тогда и только тогда, когда $\delta$ зависит только от $X^{\prime \prime }$, определённой в (7.18).