Модели со случайными и смешанными эффектами

В Примере 5.1:

Пусть $A=\left(a_{i j}\right)$ — невырожденная матрица размера $n \times n$ с $a_{i i}=a$ и $a_{i j}=b$ для всех $i \neq j$. Определите элементы $A^{-1}$.

Проверьте UMVU-оценку $\sigma_{A}^{2} / \sigma^{2}$, приведённую в Примере 5.1.

Получите совместную плотность $X_{i j}$ в Примере 5.1 в несбалансированном случае, когда $j=1, \ldots , n_{i}$, причём $n_{i}$ не все равны, и определите минимальный набор достаточных статистик (который зависит от числа различных значений $n_{i}$).

В сбалансированной однофакторной схеме из Примера 5.1 определите $\lim \mathbb {P}\left(\hat{\sigma }_{A}^{2}<0\right)$ при $n \rightarrow \infty$ для $\sigma_{A}^{2} / \sigma^{2}=0,0.2,0.5,1$ и $s=3,4,5,6$.

В предыдущей задаче вычислите значения $\mathbb {P}\left(\hat{\sigma }_{A}^{2}<0\right)$ для конечного $n$. Когда следует ожидать, что отрицательные оценки станут проблемой?

Следующая задача показывает, что в Примерах 5.1–5.3 каждая несмещённая оценка компонент дисперсии (кроме $\sigma^{2}$) принимает отрицательные значения. (Некоторые связанные результаты см. в Pukelsheim 1981.) Пусть $X$ имеет распределение $P \in \mathcal{P}$, и предположим, что $T$ — полная достаточная статистика для $\mathcal{P}$. Если $g(P)$ — произвольная $U$-оцениваемая функция, определённая на $\mathcal{P}$, и её UMVU-оценка $\eta (T)$ принимает отрицательные значения с вероятностью $>0$, то покажите, что это верно для каждой несмещённой оценки $g(P)$.

Модифицируйте иллюстрацию с автомобилями из Примера 5.1 так, чтобы она иллюстрировала (5.5).

В Примере 5.2 определите линейное преобразование $X_{i j k}$, приводящее к совместному распределению $Z_{i j k}$, указанному в связи с (5.6), и проверьте полные достаточные статистики (5.7).

В Примере 5.2 получите UMVU-оценки компонент дисперсии $\sigma_{A}^{2}, \sigma_{B}^{2}$ и $\sigma^{2}$, когда $\sigma_{C}^{2}=0$, и сравните их с оценками, полученными без этого предположения.

Для $X_{i j k}$, заданных в (5.8), определите преобразование, переводящее их в переменные $Z_{i j k}$ с распределением, указанным в Примере 5.3.

В Примере 5.3 получите UMVU-оценки компонент дисперсии $\sigma_{A}^{2}, \sigma_{B}^{2}$ и $\sigma^{2}$.

В Примере 5.3 получите UMVU-оценки $\sigma_{A}^{2}$ и $\sigma^{2}$, когда $\sigma_{B}^{2}=0$, так что члены $B$ в (5.8) исчезают, и сравните их с оценками из Задачи 5.12.

В Примере 5.4:

Общий класс моделей, содержащий линейные модели Типа I и II, а также смешанные модели как частные случаи, предполагает, что вектор наблюдений $\mathbf{X}$ размера $1 \times n$ нормально распределён со средним $\boldsymbol {\theta } A$, как в (4.13), и с ковариационной матрицей $\Sigma_{i=1}^{m} \gamma_{i} V_{i}$, где $\gamma$ — компоненты дисперсии, а $V_{i}$ — известные симметричные положительно полуопределённые матрицы размера $n \times n$. Покажите, что следующие модели относятся к этому типу, и в каждом случае укажите $\gamma$ и $V$:

Рассмотрим вложенную трёхфакторную схему с

$(i=1, \ldots , I ; j=1, \ldots , J ; k=1, \ldots , K ; l=1, \ldots , n)$ в вариантах

Для ситуации Примера 5.5 ослабьте предположение нормальности, предположив лишь, что $A_{i}$ и $U_{i j}$ имеют нулевые средние и конечные вторые моменты. Покажите, что среди всех линейных оценок (вида $\sum c_{i j} x_{i j}, c_{i j}$ известны) UMVU-оценка $\mu +\alpha_{i}$ (наилучший линейный предиктор) задаётся формулой (5.14).