Первые примеры

Докажите части Теоремы 1.4, относящиеся к

В модели (1.9) предположим, что $n=2$ и что $f$ удовлетворяет $f\left(-x_{1},-x_{2}\right)=f\left(x_{2}, x_{1}\right)$. Покажите, что распределение $\left(X_{1}+X_{2}\right) / 2$ при условии $X_{2}-X_{1}=y$ симметрично относительно 0. Заметим, что если $X_{1}$ и $X_{2}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением, симметричным относительно 0, то указанное равенство выполняется.

Если $X_{1}$ и $X_{2}$ распределены согласно (1.9) с $n=2$ и $f$, удовлетворяющей условиям Задачи 1.2, и если $\rho$ выпукла и чётна, то MRE-оценкой $\xi$ является $\left(X_{1}+X_{2}\right) / 2$.

При условиях Примера 1.18 покажите, что

Для каждой из трёх функций потерь из Примера 1.18 сравните риск MRE-оценки с риском UMVU-оценки.

Если $T$ — достаточная статистика для семейства (1.9), покажите, что оценка (1.28) является функцией только от $T$.

Пусть $X_{i}(i=1,2,3)$ независимо распределены с плотностью $f\left(x_{i}-\xi \right)$, и пусть $\delta =X_{1}$, если $X_{3}>0$, и $\delta =X_{2}$, если $X_{3} \leq 0$. Покажите, что оценка $\delta$ параметра $\xi$ имеет постоянный риск для любой инвариантной функции потерь, но $\delta$ не является эквивариантной относительно сдвига.

Рассмотрим семейство сдвига: $X$ имеет плотность $f(x-\xi )$, где $\xi$ — параметр сдвига, подлежащий оцениванию, а функция потерь равна $\rho (d-\xi )$ для общей неотрицательной функции потерь $\rho$, не предполагаемой выпуклой. MRE-оценка (эквивариантная оценка минимального риска) — это оценка, минимизирующая риск среди всех оценок, эквивариантных относительно сдвигов; это соответствует постановке Примера 1.13, которая показывает, что когда $X$ симметрична относительно $\xi$, а $\rho$ выпукла и чётна, сама $X$ является MRE-оценкой.

Следствие 1.14 утверждает: предположим, что $0 \leq \rho (t) \leq M$ при всех значениях $t$, что $\rho (t) \rightarrow M$ при $t \rightarrow \pm \infty$, и что плотность $f$ величины $X$ непрерывна п.в. Тогда MRE-оценка $\xi$ существует.

Докажите Следствие 1.14.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ распределены так же, как в Примере 1.19, и пусть функция потерь такая же, как в Примере 1.15. Найдите совокупность всех MRE-оценок и покажите, что полусумма крайних членов (midrange) является одной из них.

Рассмотрим функцию потерь

Если $X$ — случайная величина с плотностью $f$ и функцией распределения $F$, покажите, что $\mathbb {E}\left[\rho (X-v)\right]$ минимизируется при любом $v$, удовлетворяющем $F(v)=B /(A+B)$.

В Примере 1.16 найдите MRE-оценку $\xi$, когда функция потерь задана в Задаче 1.10.

Покажите, что оценка $\delta (X)$ величины $g(\theta )$ риск-несмещённа относительно функции потерь из Задачи 1.10, если $F_{\theta }[g(\theta )]=B /(A+B)$, где $F_{\theta }$ — функция распределения $\delta (X)$ при параметре $\theta$.

Предположим, что $X_{1}, \ldots , X_{m}$ и $Y_{1}, \ldots , Y_{n}$ имеют совместную плотность $f\left(x_{1}-\xi , \ldots , x_{m}-\xi ; y_{1}-\eta , \ldots , y_{n}-\eta \right)$, и рассмотрим задачу оценивания $\Delta =\eta -\xi$. Объясните, почему желательно, чтобы функция потерь $L(\xi , \eta ; d)$ имела вид $\rho (d-\Delta )$, а оценка $\delta$ величины $\Delta$ удовлетворяла $\delta (\mathbf{x}+a, \mathbf{y}+b)=\delta (\mathbf{x}, \mathbf{y})+(b-a)$.

При условиях предыдущей задачи докажите аналоги Теорем 1.4–1.17 и Следствий 1.11–1.14 для оценок, удовлетворяющих этому ограничению.

В Задаче 1.13 найдите совокупность всех оценок, удовлетворяющих ограничению, при $m=n=1$.

В Задаче 1.13 предположим, что $X$ и $Y$ независимо нормально распределены с известными дисперсиями $\sigma^{2}$ и $\tau^{2}$. Найдите условия на $\rho$, при которых MRE-оценкой является $\bar{Y}-\bar{X}$.

В Задаче 1.13 предположим, что $X$ и $Y$ независимо распределены как $E(\xi , 1)$ и $E(\eta , t)$ соответственно, и что $m=n$. Найдите условия на $\rho$, при которых MRE-оценкой $\Delta$ является $Y_{(1)}-X_{(1)}$.

В Задаче 1.13 предположим, что X и Y независимы и что функция потерь квадратична. Если $\hat{\xi }$ и $\hat{\eta }$ — MRE-оценки $\xi$ и $\eta$ соответственно, то MRE-оценкой $\Delta$ является $\hat{\eta }-\hat{\xi }$.

Предположим, что $X$ и $Y$ распределены так же, как в Задаче 1.17, но с $m \neq n$. Найдите MRE-оценку $\Delta$, когда функция потерь квадратична.

Для произвольной плотности $f$ величины $\mathbf{X}=\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$ вероятность множества $A=\left\{ \mathbf{x}: 0< \int_{-\infty }^{\infty } f(\mathbf{x}-u) d u<\infty \right\}$ равна 1.

При условиях Теоремы 1.10, если существует эквивариантная оценка $\delta_{0}$ параметра $\xi$ с конечной средней квадратичной ошибкой, покажите, что

Пусть $\delta_{0}$ эквивариантна относительно сдвига, и пусть $\mathcal{U}$ — класс всех функций $u$, удовлетворяющих (1.20) и таких, что $u(X)$ является несмещённой оценкой нуля. Тогда $\delta_{0}$ является MRE тогда и только тогда, когда $\operatorname {cov}\left[\delta_{0}, u(X)\right]=0$ для всех $u \in \mathcal{U}.^{2}$ (Заметим аналогию с Теоремой 2.1.7.)

${ }^{2}$ Сообщено P. Bickel.