Банк задач по математике

Задача 2.6.1

Для произвольных случайных величин $\left(\psi_{1}, \ldots , \psi_{s}\right)$ покажите, что матрицы $\left\| E \psi_{i} \psi_{j}\right\|$ и $C= \left\| \operatorname {cov}\left(\psi_{i}, \psi_{j}\right)\right\|$ положительно полуопределены.

?

Задача 2.6.2

В этой задаче мы установим некоторые факты о собственных значениях и собственных векторах квадратных матриц. (Более общее изложение см., например, Marshall and Olkin 1979, глава 20.) Мы используем тот факт, что скаляр $\lambda >0$ является собственным значением симметричной матрицы $A$ размера $n \times n$ , если существует вектор $p$ размера $n \times 1$ — соответствующий собственный вектор, — удовлетворяющий $A p=\lambda p$ . Если $A$ невырождена, существует $n$ собственных значений с соответствующими линейно независимыми собственными векторами.

?

(a)

Покажите, что $A=P^{\prime } D_{\lambda } P$ , где $D_{\lambda }$ — диагональная матрица собственных значений $A$ , а $P$ — матрица размера $n \times n$ , строками которой являются соответствующие собственные значения, удовлетворяющая $P^{\prime } P=P P^{\prime }=I$ , где $I$ — единичная матрица.

(b)

Покажите, что $\max_{x} \frac{x^{\prime } A x}{x^{\prime } x}=$ наибольшему собственному значению $A$ .

(c)

Если $B$ — невырожденная симметричная матрица с представлением через собственные векторы и значения $B=Q^{\prime } D_{\beta } Q$ , то $\max_{x} \frac{x^{\prime } A x}{x^{\prime } B x}=$ наибольшему собственному значению $A^{*}$ , где $A^{*}= D_{\beta }^{-1 / 2} Q A Q^{\prime } D_{\beta }^{-1 / 2}$ , а $D_{\beta }^{-1 / 2}$ — диагональная матрица, элементы которой являются обратными величинами квадратных корней из собственных значений $B$ .

(d)

Для произвольных квадратных матриц $C$ и $D$ покажите, что собственные значения матрицы $C D$ совпадают с собственными значениями матрицы $D C$ , и, следовательно, $\max_{x} \frac{x^{\prime } A x}{x^{\prime } B x}=$ наибольшему собственному значению $A B^{-1}$ .

(e)

Если $A=a a^{\prime }$ , где $a$ — вектор размера $n \times 1$ ( $A$ — таким образом, матрица ранга 1), то $\max_{x} \frac{x^{\prime } a a^{\prime } x}{x^{\prime } B x}= a^{\prime } B^{-1} a$ .

Задача 2.6.3

Альтернативное доказательство Теоремы 6.1 использует метод множителей Лагранжа (или неопределённых множителей). Покажите, что при фиксированном $\gamma$ максимальное значение $a^{\prime } \gamma$ при ограничении $a^{\prime } C a=1$ достигается на решениях уравнения

\frac{\partial }{\partial a_{i}}\left\{ a^{\prime } \gamma -\frac{1}{2} \lambda \left[a^{\prime } C a-1\right]\right\} =0,

где $\lambda$ — неопределённый множитель. (Решение: $a= \pm C^{-1} \gamma / \sqrt{\gamma^{\prime } C^{-1} \gamma }$ .)

?

Задача 2.6.4

Докажите (6.11) при условиях, указанных в тексте.

?

Задача 2.6.5

(a)(b)

Проверьте

?

(a)

информационные матрицы из Таблицы 6.1 и

(b)

формулы (6.15) и (6.16).

Задача 2.6.6

Если $p(x)=(1-\varepsilon ) \phi (x-\xi )+(\varepsilon / \tau ) \phi [(x-\xi ) / \tau ]$ , где $\phi$ — стандартная нормальная плотность, найдите $I(\varepsilon , \xi , \tau )$ .

?

Задача 2.6.7

Проверьте выражения (6.20) и (6.21).

?

Задача 2.6.8

Пусть $A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ — блочная матрица, где $A_{22}$ квадратная и невырожденная, и пусть

B=\left(\begin{array}{cc} I-A_{12} A_{22}^{-1} 0 & I \end{array}\right).

Покажите, что $\left|A\right|=\left|A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21}\right| \cdot \left|A_{22}\right|$ .

?

Задача 2.6.9

(a)(b)

?

(a)

Пусть

A=\left(\begin{array}{ll} a & b^{\prime } \\ b & C \\ \end{array}\right)

где $a$ — скаляр, а $b$ — матрица-столбец, и предположим, что $A$ положительно определена. Покажите, что $\left|A\right| \leq a\left|C\right|$ , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $b=0$ .

(b)

В более общем случае, если матрица $A$ из Задачи 6.8 положительно определена, покажите, что $\left|A\right| \leq \left|A_{11}\right| \cdot \left|A_{22}\right|$ , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $A_{12}=0$ .

Задача 2.6.10

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что если матрица $A$ невырождена, то для произвольного вектора $x$ выполняется $\left(x^{\prime } A x\right)\left(x^{\prime } A^{-1} x\right)> \left(x^{\prime } x\right)^{2}$ .

(b)

Покажите, что в обозначениях Теоремы 6.6 и последующего изложения

\frac{\left[\frac{\partial }{\partial \theta _{i}} \mathbb {E}_{\theta }\left[\delta \right]\right]^{2}}{I_{i i}(\theta )}=\frac{\left(\varepsilon _{i}^{\prime } \alpha \right)^{2}}{\varepsilon _{i}^{\prime } I(\theta ) \varepsilon _{i}},

и что если $\alpha =\left(0, \ldots , 0, \alpha_{i}, 0, \ldots 0\right)$ , то $\alpha^{\prime } I(\theta )^{-1} \alpha =\left(\varepsilon_{i}^{\prime } \alpha \right)^{2} \varepsilon_{i}^{\prime } I(\theta )^{-1} \varepsilon_{i}$ , и, следовательно, установите (6.25).

Задача 2.6.11

Докажите, что (6.26) необходимо для равенства в (6.25).

?

Задача 2.6.12

Докажите неравенство Бхаттачарьи (6.29) и покажите, что условие равенства таково, как указано.

?

Многопараметрический случай и другие обобщения