Банк задач по математике

Задача 1.7.1

Проверьте выпуклость функций (i)-(vi) из Примера 7.3.

?

Задача 1.7.2

Покажите, что $x^{p}$ вогнута на $(0, \infty )$ , если $0<p<1$ .

?

Задача 1.7.3

Приведите пример, показывающий, что выпуклая функция не обязательно непрерывна на замкнутом интервале.

?

Задача 1.7.4

Если $\phi$ выпукла на $(a, b)$ , а $\psi$ выпукла и не убывает на области значений $\phi$ , покажите, что функция $\psi [\phi (x)]$ выпукла на $(a, b)$ .

?

Задача 1.7.5

Докажите или опровергните контрпримером каждое из следующих утверждений. Если $\phi$ выпукла на $(a, b)$ , то выпукла и

$e^{\phi (x)}$ и
$\log \phi (x)$ , если $\phi >0$ .

?

Задача 1.7.6

Покажите, что если в (7.1) достигается равенство при некотором $0<\gamma <1$ , то $\phi$ линейна на $[x, y]$ .

?

Задача 1.7.7

Установите следующую лемму, полезную при исследовании функций риска некоторых оценок. (Дальнейшее обсуждение см. в Casella 1990).

Лемма 9.2. Пусть $r:[0, \infty ) \rightarrow [0, \infty )$ вогнута. Тогда,

$r(t)$ не убывает и
$r(t) / t$ не возрастает.

?

Задача 1.7.8

Докажите неравенство Йенсена для случая, когда $X$ принимает значения $x_{1}, \ldots , x_{n}$ с вероятностями $\gamma_{1}, \ldots , \gamma_{n}\left(\Sigma \gamma_{i}=1\right)$ , непосредственно из (7.1) по индукции по $n$ .

?

Задача 1.7.9

(a)(b)(c)

Несколько иная форма теоремы Рао—Блэквелла, применимая только к дисперсии оценки, а не к произвольной выпуклой функции потерь, может быть установлена без неравенства Йенсена.

?

(a)

Для произвольной оценки $\delta (x)$ с $\operatorname {var}[\delta (X)]<\infty$ и произвольной статистики $T$ покажите, что

\operatorname {var}[\delta (X)]=\operatorname {var}[\mathbb {E}\left[\delta (X) \mid T\right]]+\mathbb {E}\left[\operatorname {var}(\delta (X) \mid T)\right].

(b)

Опираясь на тождество из пункта (a), сформулируйте и докажите теорему типа Рао—Блэквелла для дисперсий.

(c)

Тождество из пункта (a) играет важную роль как в теоретической, так и в прикладной статистике. Например, объясните, как уравнение (1.2) можно интерпретировать как частный случай этого тождества.

Задача 1.7.10

(a)(b)

Пусть $U$ равномерно распределена на $(0,1)$ , и пусть $F$ — функция распределения на вещественной прямой.

?

(a)

Если $F$ непрерывна и строго возрастает, покажите, что $F^{-1}(U)$ имеет функцию распределения $F$ .

(b)

Для произвольной $F$ покажите, что $F^{-1}(U)$ по-прежнему имеет функцию распределения $F$ .

Задача 1.7.11

Покажите, что $k$ -мерный шар $\Sigma_{i=1}^{k} x_{1}^{2} \leq c$ выпуклый.

?

Задача 1.7.12

Покажите, что $f(a)=\sqrt{\left|x-a\right|}+\sqrt{\left|y-a\right|}$ минимизируется при $a=x$ и $a=y$ .

?

Задача 1.7.13

(a)(b)(c)

?

(a)

Покажите, что $\phi (\mathbf{x})=e^{\Sigma x_{i}}$ выпукла, показав, что её матрица Гессе положительно полуопределена.

(b)

Покажите, что результат Задачи 7.4 остаётся справедливым, если $\phi$ — выпуклая функция, определённая на открытом выпуклом множестве в $E_{k}$ .

(c)

Используя (b), получите альтернативное доказательство результата из пункта (a).

Задача 1.7.14

(a)(b)(c)

Определите, являются ли следующие функции супер- или субгармоническими:

?

(a)

$\sum_{i=1}^{k} x_{i}^{p}, \quad p<1, x_{i}>0$ .

(b)

$e^{-\sum_{i=1}^{k} x_{i}^{2}}$ .

(c)

$\log \left(\prod_{i=1}^{k} x_{i}\right)$ .

Задача 1.7.15

(a)(b)(c)

Функция называется полунепрерывной снизу в точке $y$ , если $f(y) \leq \liminf_{x \rightarrow y} f(x)$ . Определение супергармоничности можно распространить с непрерывных функций на полунепрерывные снизу.

?

(a)

Покажите, что непрерывная функция полунепрерывна снизу.

(b)

Функция $f(x)=I(a<x<b)$ супергармонична на $(-\infty , \infty )$ .

(c)

Для оценки $d$ параметра $\theta$ покажите, что функция потерь

L(\theta , d)= \begin{cases} 0 & \text{ если }\left|d-\theta \right| \leq k \\ 2 & \text{ если }\left|d-\theta \right|>k\end{cases}

субгармонична.

Задача 1.7.16

(a)(b)(c)

?

(a)

Если $f: \Re^{p} \rightarrow \Re$ супергармонична, то $\varphi (f(\cdot ))$ также супергармонична, где $\varphi : \Re \rightarrow \Re$ — дважды дифференцируемая возрастающая вогнутая функция.

(b)

Если $h$ супергармонична, то $h^{*}(x)=\int g(x-y) h(y) d y$ также супергармонична, где $g(\cdot )$ — плотность.

(c)

Если $h_{\gamma }$ супергармонична, то и $h^{*}(x)=\int h_{\gamma }(x) d G(\gamma )$ супергармонична, где $G(\gamma )$ — функция распределения.

(Предполагается, что все необходимые интегралы существуют и что дифференцирование можно вносить под знак интеграла.)

Задача 1.7.17

Используя выпуклость функции $\phi$ из Задачи 7.13, покажите, что естественное параметрическое пространство экспоненциального семейства (5.2) выпукло.

?

Задача 1.7.18

Покажите, что если $f$ определена и ограничена на $(-\infty , \infty )$ или $(0, \infty )$ , то $f$ не может быть выпуклой (если только она не постоянна).

?

Задача 1.7.19

Покажите, что $\phi (x, y)=-\sqrt{x y}$ выпукла при $x>0, y>0$ .

?

Задача 1.7.20

Если $f$ и $g$ — вещественнозначные функции, такие что $f^{2}, g^{2}$ измеримы относительно $\sigma$ -конечной меры $\mu$ , докажите неравенство Шварца

\left(\int f g d \mu \right)^{2} \leq \int f^{2} d \mu \int g^{2} d \mu

?

Задача 1.7.21

Покажите, что функции потерь (7.24) непрерывно дифференцируемы.

?

Задача 1.7.22

Докажите утверждения, сделанные в Примере 7.20(i) и (ii).

?

Задача 1.7.23

(a)(b)

Пусть $f$ — унимодальная плотность, симметричная относительно 0, и пусть $L(\theta , d)=\rho (d-\theta )$ — функция потерь с $\rho$ , не убывающей на $(0, \infty )$ и симметричной относительно 0.

?

(a)

Функция $\phi (a)=\mathbb {E}\left[\rho (X-a)\right]$ , определённая в Теореме 7.15, принимает минимум при 0.

(b)

Если

S_{a}=\left\{ x:[\rho (x+a)-\rho (x-a)][f(x+a)-f(x-a)] \neq 0\right\} ,

то $\phi (a)$ принимает своё единственное минимальное значение при $a=0$ тогда и только тогда, когда существует $a_{0}$ , такое что $\phi \left(a_{0}\right)<\infty$ , и $\mu \left(S_{a}\right)>0$ для всех $a$ . [Указание: Заметьте, что $\phi (0) \leq 1 / 2[\phi (2 a)+\phi (-2 a)]$ , причём строгое неравенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mu \left(S_{a}\right)>0$ для всех $a$ .]

Задача 1.7.24

(a)(b)

?

(a)

Предположим, что $f$ и $\rho$ удовлетворяют условиям Задачи 7.23 и что $f$ строго убывает на $[0, \infty )$ . Тогда, если $\phi \left(a_{0}\right)<\infty$ для некоторого $a_{0}$ , $\phi (a)$ имеет единственный минимум в нуле, если только не существует $c \leq d$ , такие что

\rho (0)=c \quad \text{ и } \quad \rho (x)=d \text{ для всех } \quad x \neq 0.

(b)

Если $\rho$ симметрична относительно 0, строго возрастает на $[0, \infty )$ , и $\phi \left(a_{0}\right)<\infty$ для некоторого $a_{0}$ , то $\phi (a)$ имеет единственный минимум в (0) для всех симметричных унимодальных $f$ .

[Задачи 7.23 и 7.24 сообщены Dr. W.Y. Loh.]

Задача 1.7.25

Пусть $\rho$ — вещественнозначная функция, удовлетворяющая

0 \leq \rho (t) \leq M<\infty \text{ и } \rho (t) \rightarrow M \text{ при } t \rightarrow \pm \infty ,

и пусть $X$ — случайная величина с непрерывной плотностью вероятности $f$ . Тогда $\phi (a)= \mathbb {E}\left[\rho (X-1)\right]$ достигает своего минимума.

?

Задача 1.7.26

Пусть $\phi$ — строго выпуклая функция, определённая на интервале $I$ (конечном или бесконечном). Если существует значение $a_{0}$ в $I$ , минимизирующее $\phi (a)$ , то $a_{0}$ единственно.

?

Задача 1.7.27

Следствие 7.19 утверждает: в условиях Теоремы 7.15 (пусть $\rho$ — выпуклая функция, определённая на $(-\infty , \infty )$ , а $X$ — случайная величина, такая что $\phi (a)=\mathbb {E}\left[\rho (X-a)\right]$ конечна при некотором $a$ ), предположим, что $\rho$ чётна, а $X$ симметрична относительно $\mu$ . Тогда $\phi (a)$ достигает минимума при $a=\mu$ .

Обобщите Следствие 7.19 на случай, когда $\mathbf{X}$ и $\boldsymbol {\mu }$ являются векторами.

?

Выпуклые функции потерь