Достаточные статистики

Обобщите Пример 6.2 на случай, когда $X_{1}, \ldots , X_{r}$ независимо распределены с распределениями Пуассона $P\left(\lambda_{i}\right)$, где $\lambda_{i}=a_{i} \lambda \left(a_{i}>0 \text{, известно}\right)$.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимые одинаково распределённые согласно распределению $F$ и плотности вероятности $f$. Покажите, что условное распределение, при условии $X_{(i)}=a$, значений в количестве $i-1$, лежащих слева от $a$, и значений в количестве $n-i$, лежащих справа от $a$, совпадает с распределением $i-1$ переменных, независимо распределённых с плотностью вероятности $f(x) / F(a)$, и $n-i$ переменных, независимо распределённых с плотностью $f(x) /[1-F(a)]$, соответственно, причём эти два набора (условно) независимы друг от друга.

Пусть $f$ — положительная интегрируемая функция на $(0, \infty )$, и пусть $p_{\theta }(x)$ — плотность на $(0, \theta )$, определённая как $p_{\theta }(x)=c(\theta ) f(x)$, если $0<x<\theta$, и 0 в противном случае. Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимые одинаково распределённые с плотностью $p_{\theta }$, покажите, что $X_{(n)}$ достаточна для $\theta$.

Пусть $f$ — положительная интегрируемая функция, определённая на $(-\infty , \infty )$, и пусть $p_{\xi , \eta }(x)$ — плотность вероятности, определённая как $p_{\xi , \eta }(x)=c(\xi , \eta ) f(x)$, если $\xi <x<\eta$, и 0 в противном случае. Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимые одинаково распределённые с плотностью $p_{\xi , \eta }$, покажите, что $\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)$ достаточна для $(\xi , n)$.

Покажите, что каждая из статистик $T_{1}-T_{4}$ Примера 6.11 является достаточной.

Теорема 6.5 (критерий факторизации) утверждает: необходимым и достаточным условием того, что статистика $T$ достаточна для семейства $\mathcal{P}=\left\{ P_{\theta }, \theta \in \Omega \right\}$ распределений $X$, доминируемого $\sigma$-конечной мерой $\mu$, является существование неотрицательных функций $g_{\theta }$ и $h$, таких что плотности $p_{\theta }$ распределений $P_{\theta }$ удовлетворяют $p_{\theta }(x)=g_{\theta }[T(x)] h(x)$ (п.в. $\mu$).

Следствие 6.13 утверждает: в условиях Теоремы 6.5 необходимым и достаточным условием достаточности статистики $U$ является то, что для любых фиксированных $\theta$ и $\theta_{0}$ отношение $p_{\theta }(x) / p_{\theta_{0}}(x)$ является функцией только от $U(x)$.

Докажите Следствие 6.13.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{m}$ и $Y_{1}, \ldots , Y_{n}$ независимо распределены согласно $N\left(\xi , \sigma^{2}\right)$ и $N\left(\eta , \tau^{2}\right)$ соответственно. Найдите минимальные достаточные статистики для следующих случаев:

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимые одинаково распределённые согласно $N\left(\sigma , \sigma^{2}\right), 0<\sigma$. Найдите минимальный набор достаточных статистик.

Покажите, что порядковые статистики являются минимальными достаточными для семейства сдвига (6.7), когда $f$ — плотность

Докажите следующее обобщение Теоремы 6.12 на семейства без общего носителя.

Теорема 9.1. Пусть $\mathcal{P}$ — конечное семейство с плотностями $p_{i}, i=0, \ldots , k$, и для любого $x$ пусть $S(x)$ — множество пар индексов $(i, j)$, для которых $p_{i}(x)+p_{j}(x)>0$. Тогда статистика

является минимальной достаточной. Здесь $p_{j}(x) / p_{i}(x)=\infty$, если $p_{i}(x)=0$ и $p_{j}(x)>0$.

В Задаче 6.11 недостаточно заменить $p_{i}(X)$ на $p_{0}(X)$. Чтобы убедиться в этом, положим $k=2$ и $p_{0}=U(-1,0), p_{1}=U(0,1)$, и $p_{2}(x)=2 x, 0<x<1$.

Пусть $k=1$ и $P_{i}=U(i, i+1), i=0,1$.

В Лемме 6.14 покажите, что предположение об общем носителе можно заменить более слабым предположением о том, что каждое $\mathcal{P}_{0}$-нулевое множество также является $\mathcal{P}$-нулевым множеством, так что (п.в. $\mathcal{P}_{0}$) эквивалентно (п.в. $\mathcal{P}$).

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимые одинаково распределённые согласно распределению из $\mathcal{P}=\left\{ U(0, \theta ), \theta >0\right\}$, и пусть $\mathcal{P}_{0}$ — подсемейство $\mathcal{P}$, для которого $\theta$ рационально. Покажите, что каждое $\mathcal{P}_{0}$-нулевое множество в выборочном пространстве также является $\mathcal{P}$-нулевым множеством.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимые одинаково распределённые согласно распределению из семейства $\mathcal{P}$. Покажите, что $T$ является минимальной достаточной в следующих случаях:

Решите предыдущую задачу для следующих случаев:

Покажите, что статистики $X_{(1)}$ и $\Sigma \left[X_{i}-X_{(1)}\right]$ из Задачи 6.17(c) независимо распределены как $E(a, b / n)$ и $b$ Gamma $(n-2,1)$ соответственно.

Покажите, что достаточные статистики

1. Задачи 6.3 и

2. Задачи 6.4

являются минимальными достаточными.

Для ситуации из Примера 6.25(ii) найдите несмещённую оценку $\xi$, основанную на $\sum X_{i}$, и ещё одну, основанную на $\sum X_{i}^{2}$; отсюда сделайте вывод, что $T=\left(\sum X_{i}, \sum X_{i}^{2}\right)$ не является полной.

Для ситуации из Примера 6.26 покажите, что $\mathbf{X}$ является минимальной достаточной и полной.

Для ситуации из Примера 6.27:

Покажите, что для общей модели «доза-эффект»

статистика $\mathbf{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{m}\right)$ является минимальной достаточной, если существуют векторы $\left.\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots , \theta_{m}\right)$, такие что матрица размера $m \times m$

обратима. (Указание: Теорема 6.12.)

Пусть $\left(X_{i}, Y_{i}\right), i=1, \ldots , n$, независимые одинаково распределённые согласно равномерному распределению на множестве $R$ на плоскости $(x, y)$, и пусть $\mathcal{P}$ — семейство распределений, получаемое при изменении $R$ в некотором классе $\mathcal{R}$ множеств $R$. Найдите минимальную достаточную статистику для следующих случаев:

Решите предыдущую задачу, если

Сформулируйте общий результат, частными случаями которого являются Задачи 6.25(a) и 6.26(a).

Если $Y$ распределена как $E(\eta , 1)$, то распределение $X=e^{-Y}$ есть $U\left(0, e^{-\eta }\right)$. (Этот результат полезен при компьютерной генерации случайных величин; см. Задачу 4.4.14.)

Если минимальная достаточная статистика существует, то необходимым условием полноты достаточной статистики является её минимальность.

Покажите, что минимальные достаточные статистики $T=\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)$ из Задачи 6.16(b) полны. [Указание: Используйте подход Примера 6.24.]

Для каждой из следующих задач определите, является ли минимальная достаточная статистика полной:

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимые одинаково распределённые, каждая с плотностью $f(x)$ (относительно меры Лебега), которая неизвестна. Покажите, что порядковые статистики полны.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимая одинаково распределённая выборка из семейства сдвига-масштаба с функцией распределения $F((x-a) / b)$.

Используя теорему Басу, докажите независимость следующих пар статистик:

В условиях Теоремы 6.5 пусть $A$ — произвольное фиксированное множество в выборочном пространстве, $P_{\theta }^{*}$ — распределение $P_{\theta }$, усечённое на $A$, и $\mathcal{P}^{*}=\left\{ P_{\theta }^{*}, \theta \in \Omega \right\}$. Тогда докажите

Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимые одинаково распределённые как $B(a, b)$,