Теория меры и интегрирование

Если $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — элементы $\sigma$-алгебры $\mathcal{A}$ (множества $A$ не обязательно непересекающиеся), то их объединение и пересечение также принадлежат $\mathcal{A}$.

Для любых $a<b$ следующие множества являются борелевскими

В условиях Задачи 2.1 пусть

Тогда $\underline{A}$ и $\bar{A}$ принадлежат $\mathcal{A}$.

Покажите, что

Для любой последовательности действительных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$ покажите, что множество всех предельных точек подпоследовательностей замкнуто. Наименьшая и наибольшая из таких предельных точек (которые могут быть бесконечными) обозначаются через $\liminf a_{k}$ и $\limsup a_{k}$ соответственно.

В условиях Задач 2.1 и 2.3 покажите, что

где $I_{A}(x)$ обозначает индикатор множества $A$.

Пусть $(\mathcal{X}, \mathcal{A}, \mu )$ — пространство с мерой, и пусть $\mathcal{B}$ — класс всех множеств $A \cup C$, где $A \in \mathcal{A}$, а $C$ — подмножество некоторого множества $A^{\prime } \in \mathcal{A}$ с $\mu \left(A^{\prime }\right)=0$. Покажите, что $\mathcal{B}$ является $\sigma$-алгеброй.

Если $f$ и $g$ — измеримые функции, то измеримыми являются и

1. $f+g$, и

2. $\max (f, g)$.

Если $f$ интегрируема относительно $\mu$, то и $\left|f\right|$ интегрируема, причём $\left|\int f d \mu \right| \leq \int \left|f\right| d \mu$. [Указание: Выразите $\left|f\right|$ через $f^{+}$ и $f^{-}$.]

Пусть $\mathcal{X}=\left\{ x_{1}, x_{2}, \ldots \right\} , \mu =$ считающая мера на $\mathcal{X}$, и $f$ интегрируема. Тогда $\int f d \mu = \Sigma f\left(x_{i}\right)$. [Указание: Предположим сначала, что $f \geq 0$, и пусть $s_{n}(x)$ — простая функция, равная $f(x)$ при $x=x_{1}, \ldots , x_{n}$, и 0 в остальных случаях.]

Пусть $f(x)=1$ или 0 в зависимости от того, рационально $x$ или иррационально. Покажите, что интеграл Римана от $f$ не существует.