8

Ограниченные операторы в банаховых пространствах и их спектры

[14/100%]
Показать
LaTeX
Задача 108

Пусть XX — банахово пространство. Предположим, что A∈B(X)A \in \mathcal{B}(X) — обратимый оператор. Покажите, что

σ(A−1)={λ−1:λ≠0,λ∈σ(A)}. \sigma \left(A^{-1}\right) = \left\{ \lambda ^{-1}: \lambda \neq 0, \lambda \in \sigma (A)\right\} .
?
Задача 109

Пусть XX — банахово пространство, A∈B(X)A \in \mathcal{B}(X) и λ∈C\lambda \in \mathbb {C}. Предположим, что существует последовательность (xn)(x_{n}) в XX, такая что

∥xn∥=1,∀n∈N и Axn−λxn→0 при n→∞. \left\| x_{n}\right\| = 1, \forall n \in \mathbb {N} \text{ и } A x_{n}-\lambda x_{n} \rightarrow 0 \text{ при } n \rightarrow \infty .

Докажите, что λ∈σ(A)\lambda \in \sigma (A).

?
Задача 110

Пусть (an)(a_{n}) и (bn)(b_{n}) — комплексные последовательности, такие что

∣an−1∣>∣an∣→(n→∞)0 и ∣bn−1∣>∣bn∣→(n→∞)0. \left|a_{n-1}\right| > \left|a_{n}\right| \xrightarrow {(n \rightarrow \infty )} 0 \text{ и }\left|b_{n-1}\right| > \left|b_{n}\right| \xrightarrow {(n \rightarrow \infty )} 0.

Рассмотрим оператор T:ℓ2→ℓ2T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}, определённый формулой

Tx=(a1x1,a2x2+b1x1,a3x3+b2x2,…),x=(xj)∈ℓ2. T x = \left(a_{1} x_{1}, a_{2} x_{2}+b_{1} x_{1}, a_{3} x_{3}+b_{2} x_{2}, \ldots \right), \quad x = \left(x_{j}\right) \in \ell ^{2}.
?
(a)

Покажите, что TT компактен.

(b)

Найдите все собственные значения и собственные векторы TT.

Задача 111

Пусть XX — банахово пространство и A∈B(X)A \in \mathcal{B}(X), такой что An=0A^{n} = 0 при некотором n∈Nn \in \mathbb {N} (AA нильпотентен). Найдите σ(A)\sigma (A).

?
Задача 112

Пусть P∈B(X)P \in \mathcal{B}(X) — проекция, т.е. линейный оператор на XX, такой что P2=PP^{2} = P. Постройте резольвенту R(P;λ)R(P ; \lambda ) оператора PP

?
Задача 113

Пусть CRC_{\mathbb {R}} — пространство всех непрерывных и ограниченных функций x(t)x(t) на R\mathbb {R} с нормой ∥x∥=sup⁡R∣x(t)∣\left\| x\right\| = \sup_{\mathbb {R}}\left|x(t)\right|. На пространстве CRC_{\mathbb {R}} определим оператор AA формулой

(Ax)(t)=x(t+c) (A x)(t) = x(t+c)

где c∈Rc \in \mathbb {R} — константа. Докажите, что

σ(A)={λ∈C:∣λ∣=1} \sigma (A) = \left\{ \lambda \in \mathbb {C}:\left|\lambda \right| = 1\right\}
?
Задача 114
?
(a)

Пусть HH — гильбертово пространство и a,b∈Ha, b \in H. Рассмотрим оператор ранга один

U:H→H,U(x)=⟨x,a⟩b,x∈H. U: H \rightarrow H, \quad U(x) = \langle x, a\rangle b, x \in H.

Вычислите ∥U∥\left\| U\right\| и спектральный радиус r(U)r(U). Покажите, что

r(U)=∥U∥⇔a,b линейно независимы.  r(U) = \left\| U\right\| \Leftrightarrow a, b \text{ линейно независимы. }
(b)

Пусть XX — банахово пространство, x∗∈X∗x^{*} \in X^{*} и y∈Xy \in X. Рассмотрим оператор ранга один

V:X→X,V(x)=x∗(x)y,x∈X. V: X \rightarrow X, \quad V(x) = x^{*}(x) y, x \in X.

Вычислите ∥V∥\left\| V\right\| и спектральный радиус r(V)r(V). Покажите, что

r(V)=∥V∥⇔∣x∗(y)∣=∥x∗∥∥y∥. r(V) = \left\| V\right\| \Leftrightarrow \left|x^{*}(y)\right| = \left\| x^{*}\right\| \left\| y\right\| .
Задача 115

Пусть k∈C([0,1]×[0,1])k \in C([0,1] \times [0,1]) — заданная функция. Рассмотрим оператор

B∈B(C[0,1]) заданный формулой (Bu)(s)=∫0sk(s,t)u(t)dt B \in \mathcal{B}(C[0,1]) \quad \text{ заданный формулой }(B u)(s) = \int _{0}^{s} k(s, t) u(t) d t

Найдите σ(B)\sigma (B) и r(B)r(B).

?
Задача 116

Пусть XX — банахово пространство и A,B∈B(X)A, B \in \mathcal{B}(X). Предположим, что AB=BAA B = B A. Докажите, что

r(A+B)≤r(A)+r(B), r(A+B) \leq r(A)+r(B),

где r(T)r(T) — спектральный радиус оператора T∈B(X)T \in \mathcal{B}(X).

?
Задача 117

Пусть K⊂CK \subset \mathbb {C} — произвольное непустое компактное множество. Постройте оператор B∈B(ℓp),1≤p≤∞B \in \mathcal{B}\left(\ell^{p}\right), 1 \leq p \leq \infty, такой что σ(B)=K\sigma (B) = K.

?
Задача 118

Пусть g∈C[0,1]g \in C[0,1] — фиксированная функция, а A∈B(C[0,1])A \in \mathcal{B}(C[0,1]) определён формулой

(Af)(t)=g(t)f(t),t∈[0,1]. (A f)(t) = g(t) f(t), t \in [0,1].

Найдите σ(A)\sigma (A) и эффективно постройте резольвенту R(A;λ)R(A ; \lambda ). Найдите собственные значения и собственные векторы AA.

?
Задача 119

Пусть XX — банахово пространство и A,B∈B(X)A, B \in \mathcal{B}(X). Покажите, что для любого λ∈ρ(A)∩ρ(B)\lambda \in \rho (A) \cap \rho (B)

R(B;λ)−R(A;λ)=R(B;λ)(A−B)R(A;λ) R(B ; \lambda )-R(A ; \lambda ) = R(B ; \lambda )(A-B) R(A ; \lambda )
?
Задача 120

Пусть k∈C([0,1]×[0,1])k \in C([0,1] \times [0,1]) задана. Рассмотрим оператор B∈B(C[0,1])B \in \mathcal{B}(C[0,1]), определённый формулой

(Bu)(s)=∫0sk(s,t)u(t)dt (B u)(s) = \int _{0}^{s} k(s, t) u(t) d t

Найдите спектральный радиус BB. Каков спектр BB? (Указание: докажите по индукции, что

∣(Bnu)(s)∣≤Mnn!sn∥u∥∞,∀n∈N, \left|\left(B^{n} u\right)(s)\right| \leq \frac{M^{n}}{n!} s^{n}\left\| u\right\| _{\infty }, \forall n \in \mathbb {N},

для некоторой константы M>0M > 0).

?
Задача 121

Определите спектры операторов левого и правого сдвига на ℓ2\ell^{2}:

R(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,…)L(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…). \begin{aligned} & R\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right) = \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \\ & L\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right) = \left(x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots \right). \end{aligned}

Классифицируйте их по точечному, непрерывному и остаточному спектру.

?