Компактные операторы

Пусть $X$ — банахово пространство. Докажите, что если $T \in \mathcal{B}(X)$ произволен, а $A \in \mathcal{B}_0(X)$, то $AT$ и $TA$ — компактные операторы. (Это называется свойством двустороннего идеала для компактных операторов).

Пусть $H$ и $K$ — гильбертовы пространства и $A \in \mathcal{B}(H, K)$. Покажите, что $A$ компактен тогда и только тогда, когда $A^{*} A$ компактен.

Пусть $X$ — это $c_{0}$ или $\ell^{p}, 1 \leq p \leq \infty$. Рассмотрим оператор

Докажите, что $U$ не компактен, но $U^{2}$ компактен.

Пусть $1 \leq p < \infty$, и $\lambda = \left(\lambda_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}} \subset \mathbb {K}$ с $\sup_{n \in \mathbb {N}}\left|\lambda_{n}\right| < \infty$. Определим оператор умножения

Докажите, что:

Рассмотрим линейный оператор, определённый по формуле

Покажите, что $T$ компактен.

Пусть $\left(c_{j}\right)_{j = 1}^{\infty }$ — последовательность комплексных чисел. Определим оператор $D$ на $\ell^{2}$ по формуле

Докажите, что $D$ компактен тогда и только тогда, когда $\lim_{j \rightarrow \infty } c_{j} = 0$.

Пусть $g \in C[0,1]$ — фиксированная функция. Рассмотрим оператор $A \in \mathcal{B}(C[0,1])$, определённый по формуле

то есть оператор умножения на $g$. Является ли этот оператор компактным?

Пусть $k \in L^{2}([0,1] \times [0,1])$. Определим оператор $A: L^{2}([0,1]) \rightarrow L^{2}([0,1])$ по формуле

Часть I

Рассмотрим оператор

и последовательность операторов

Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| U_{n}-U\right\| = 0$.

Часть II

1. Пусть $M$ — множество $C^{1}$-функций $f$ на $[0,1]$. Докажите, что $M$ относительно компактно в $C[0,1]$, если $f$ удовлетворяет следующим условиям

   $$\left|f(0)\right| \leq k_{1} \quad \text{ и } \quad \int _{0}^{1}\left|f^{\prime }(x)\right|^{2} d x \leq k_{2}$$

   где $k_{1}, k_{2}$ — положительные константы. (Указание: используйте теорему Арцела-Асколи).

2. Покажите, что оператор $U$ из части I компактен.