Банк задач по математике

Задача 86

Пусть $P$ — ортогональная проекция, определённая на гильбертовом пространстве $H$ . Покажите, что $\left\| P\right\| = 1$ .

?

Задача 87

Пусть задана функция $\phi : [0,1] \rightarrow \mathbb {C}$ ; рассмотрим оператор

P: L^{2}[0,1] \rightarrow L^{2}[0,1] \text{ определён по формуле } P f(x) = \phi (x) f(x).

Найдите необходимые и достаточные условия на функцию $\phi$ , при которых $P$ является ортогональной проекцией.

?

Задача 88

S: \ell ^{2} \rightarrow \ell ^{2}, \quad S\left(\alpha _{1}, \alpha _{2}, \ldots \right) = \left(0, \alpha _{1}, \alpha _{2}, \ldots \right)

Найдите его сопряжённый оператор.

?

Задача 89

A x = A\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right) = \left(0,0, x_{3}, x_{4}, \ldots \right).

Докажите, что $A$ линеен, непрерывен, самосопряжён и положителен. Найдите $\sqrt{A}$ .

?

Задача 90

(a)(b)(c)

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$ -конечное пространство с мерой. Рассмотрим гильбертово пространство $H = L^{2}(X, \Omega , \mu ) = : L^{2}(\mu )$ . Если $\phi \in L^{\infty }(\mu )$ , определим

M_{\phi }: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu ) \quad \text{ по формуле } \quad M_{\phi } f = \phi f.

?

(a)

Покажите, что

M_{\phi } \in \mathcal{B}(H) \text{ и }\left\| M_{\phi }\right\| = \left\| \phi \right\| _{\infty }.

Здесь $\left\| \phi \right\|_{\infty }$ — это $\mu$ -существенная норма супремума.

(b)

Покажите, что $M_{\phi }^{*} = M_{\bar{\phi }}$ .

(c)

Покажите, что $M_{\phi }$ нормален. Когда $M_{\phi }$ самосопряжён? унитарен?

Задача 91

(a)(b)

?

(a)

$\overline{\operatorname {Image} A} = \left(\operatorname {ker} A^{*}\right)^{\perp }$ .

(b)

$\operatorname {ker} A = \left(\operatorname {Image} A^{*}\right)^{\perp }$ .

Задача 92

(a)(b)

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой. Пусть $k: X \times X \rightarrow \mathbb {F}$ — $\Omega \times \Omega$ -измеримая функция, для которой существуют константы $c_{1}$ и $c_{2}$ , такие что

\begin{aligned} & \int _{X}\left|k(x, y)\right| d \mu (y) \leq c_{1} \quad \text{ п.в. }[\mu ], \\ & \int _{X}\left|k(x, y)\right| d \mu (x) \leq c_{2} \quad \text{ п.в. }[\mu ]. \end{aligned}

Рассмотрим оператор $K: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )$ , определённый по формуле

(K f)(x) = \int k(x, y) f(y) d \mu (y)

Функция $k$ называется ядром оператора $K$ .

?

(a)

Покажите, что $K$ — ограниченный линейный оператор и $\left\| K\right\| \leq \sqrt{c_{1} c_{2}}$ .

(b)

Покажите, что $K^{*}$ является интегральным оператором с ядром $k^{*}(x, y) = \overline{k(x, y)}$ .

Задача 93

Пусть $\mathcal{H} = H \oplus H$ , где $H$ — гильбертово пространство. Пусть $A \in \mathcal{B}(H)$ , и пусть $B$ — оператор, определённый на $\mathcal{H}$ по формуле

B = \left[\begin{smallmatrix} 0 & i A \\ -i A^{*} & 0 \end{smallmatrix}\right]

Докажите, что $\left\| A\right\| = \left\| B\right\|$ и что $B$ самосопряжён.

?

Задача 94

\left\| T\right\| = \sup _{\left\| x\right\| = 1}\left|\langle T x, x\rangle \right|

?

Задача 95

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $A$ — положительный самосопряжённый оператор на $H$ . Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

$A(H)$ плотно в $H$ .
$\operatorname {Ker} A = \left\{ 0\right\}$ .
$A$ положительно определён, то есть $\langle A x, x\rangle > 0, \forall x \in H \backslash \left\{ 0\right\}$ .

?

Задача 96

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Если $A, B: H \rightarrow H$ — самосопряжённые операторы с $0 \leq A \leq B$ и $B$ компактен, докажите, что $A$ компактен.

?

Линейные операторы в гильбертовых пространствах