Линейные операторы и линейные функционалы

Пусть $\left(X,\left\| .\right\|_{1}\right)$ и $\left(Y,\left\| .\right\|_{2}\right)$ — нормированные пространства, и $T \in \mathcal{B}(X, Y)$. Определим $\left\| T\right\|$ как

Пусть $H = \ell^{2}$ — хорошо известное гильбертово пространство. Рассмотрим левый сдвиг, определённый как

Пусть $X = C[0,1]$ с max-нормой (равномерной нормой). Определим интегральный оператор

Покажите, что $K$ ограничен. Найдите $\left\| K\right\|$.

Пусть $X = L^{2}[0,1]$ с нормой $\left\| .\right\|_{2}$. Определим интегральный оператор

Покажите, что $A$ ограничен. Найдите $\left\| A\right\|$.

Пусть $a, b$ — вещественные числа такие, что $a < b$. Рассмотрим гильбертово пространство $L^{2}[a, b]$ над $\mathbb {R}$ и оператор $T: L^{2}[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, определённый как

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства и $T \in \mathcal{B}(X, Y)$. Рассмотрим следующее утверждение:

Согласны ли вы с ним? Почему?

Определим $T: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$ как

Пусть $1 < p < \infty$ и $q$ — сопряжённый показатель. Для $f \in L^{p}(0, \infty )$ положим

Покажите, что

Пусть $\left(c_{j}\right)_{j = 1}^{\infty }$ — последовательность комплексных чисел. Определим оператор $D$ на $\ell^{2}$ как

Докажите, что $D$ ограничен тогда и только тогда, когда $\left(c_{j}\right)_{j = 1}^{\infty }$ ограничена, и в этом случае $\left\| D\right\| = \sup_{j}\left|c_{j}\right|$.

Докажите, что $\mathcal{B}(\mathbb {F}, Y)$ не является банаховым пространством, если $Y$ не полно. Указание: возьмите фундаментальную последовательность $\left(y_{n}\right)$ в $Y$, которая не сходится, и рассмотрите последовательность операторов $(B_{n})$, определённую как:

Пусть $T_{1}, T_{2}, \ldots$ — следующие ограниченные линейные операторы $\ell^{1} \rightarrow \ell^{\infty }$:

Докажите, что последовательность $(T_{n})$ сильно операторно сходится. Также докажите, что $\left(T_{n}\right)$ не сходится равномерно операторно.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — два гильбертовых пространства. Пусть $\left\{ a_{1}, \ldots , a_{n}\right\}$ — ортонормированная система в $H_{1}$, а $\left\{ b_{1}, \ldots , n\right\}$ — ортонормированная система в $H_{2}$, и $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n} \in \mathbb {K}$. Рассмотрим оператор

Вычислите $\left\| U\right\|$.

Сопряжённое пространство к $\ell^{1}$ — это $\ell^{\infty }$, то есть $\left(\ell^{1}\right)^{*} = \ell^{\infty }$.

Сопряжённое пространство к $\ell^{p}$ — это $\ell^{q}$, то есть $\left(\ell^{p}\right)^{*} = \ell^{q}$, здесь $1 < p < \infty$ и $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$.

Сопряжённое пространство к $c_{0}$ — это $\ell^{1}$, то есть $\left(c_{0}\right)^{*} = \ell^{1}$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $f, g$ — ненулевые линейные функционалы на $X$. Покажите, что

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $f$ — ненулевой линейный функционал на $X$. Покажите, что $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker}(f)$ замкнуто.

Пусть $Z$ — подпространство нормированного пространства $X$, и $y \in X$. Пусть $d = d(y, Z)$. Докажите, что существует $\Lambda \in X^{*}$ такой, что $\left\| \Lambda \right\| \leq 1, \Lambda (y) = d$ и $\Lambda (z) = 0$ для всех $z \in Z$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $\left(x_{n}\right)$ — последовательность в $X$. Положим $V: = \operatorname {Span}\left\{ x_{1}, x_{2}, \ldots \right\}$. Пусть $W$ — множество всех непрерывных $f \in X^{*}$ таких, что $f\left(x_{n}\right) = 0, \forall n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть $X$ — нормированное пространство и $\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\} \subset X$ — линейно независимая система. Докажите, что для любых $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} \in \mathbb {K}$ существует $x^{*} \in X^{*}$ такой, что

Пусть $X$ — нормированное пространство и $Y \subset X$ — линейное подпространство. Для $x_{0} \in X \backslash Y$ определим