Банк задач по математике

Задача 24

(a)(b)

Пусть $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ . Докажите, что:

?

(a)

$\left(M^{\perp }\right)^{\perp } = M$ .

(b)

если $\operatorname {codim} M: = \operatorname {dim} H / M = 1$ , то $\operatorname {dim} M^{\perp } = 1$ .

Задача 25

Пусть $T: H_{1} \rightarrow H_{2}$ — изометрия двух гильбертовых пространств $H_{1}$ и $H_{2}$ , т.е. $\left\| T x\right\| = \left\| x\right\|$ для каждого $x \in H_{1}$ . Докажите, что

\langle T x, T y\rangle = \langle x, y\rangle \quad \text{ для каждого } x, y \in H_{1}.

?

Задача 26

Пусть $C$ — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве $H$ . Покажите, что $C$ содержит единственный элемент минимальной нормы.

?

Задача 27

Пусть $1 \leq p < \infty$ . Докажите, что $\ell^{p}$ является гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда $p = 2$ .

?

Задача 28

(a)(b)

Рассмотрим гильбертово пространство $H = L^{2}[-1,1]$ с обычным скалярным произведением:

\langle x, y\rangle = \int _{-1}^{1} \overline{x(t)} y(t) d t, \quad x, y \in H

Пусть $M = \left\{ x \in H: \int_{-1}^{1} x(t) d t = 0\right\}$ .

?

(a)

Покажите, что $M$ замкнуто в $H$ . Найдите $M^{\perp }$ .

(b)

Вычислите расстояние от $y$ до $M$ для $y(t) = t^{2}$ .

Задача 29

(a)(b)

Рассмотрим гильбертово пространство $H = L^{2}[-1,1]$ с обычным скалярным произведением:

\langle f, g\rangle = \int _{-1}^{1} \overline{f(t)} g(t) d t, \quad f, g \in H.

Пусть $E = \left\{ x \in H: f(-t) = f(t), \quad t \in [-1,1]\right\}$ .

?

(a)

Покажите, что $E$ замкнуто в $H$ . Найдите $E^{\perp }$ .

(b)

Вычислите расстояние от $h$ до $E$ для $h(t) = e^{t}$ .

Задача 30

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а $M$ — замкнутое подпространство $H$ . Обозначив через $P: H \rightarrow M$ ортогональную проекцию $H$ на $M$ , докажите, что для любых $x, y \in H$

\langle P x, y\rangle = \langle x, P y\rangle .

(Это означает, что $P$ самосопряжён).

?

Задача 31

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $A \subset H$ — непустое замкнутое выпуклое множество. Докажите, что $P_{A}: H \rightarrow H$ нерастягивающее, т.е.

\left\| P_{A}(x)-P_{A}(y)\right\| \leq \left\| x-y\right\| , \quad \forall x, y \in H.

( $P_{A}$ — ортогональная проекция на $A$ ).

?

Задача 32

(a)(b)

Пусть $X$ — гильбертово пространство, и пусть $G_{1} \subset G_{2} \subset \ldots \subset G_{n} \subset \ldots$ — последовательность замкнутых линейных подпространств $X$ . Пусть

G = \overline{\operatorname {Span}\left(\bigcup _{n \in \mathbb {N}} G_{n}\right)}.

?

(a)

Докажите, что $d(x, G) = \lim_{n \rightarrow \infty } d\left(x, G_{n}\right), \forall x \in X$ .

(b)

Докажите, что $P_{G}(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } P_{G_{n}}(x), \forall x \in X$ . Замечание: $P_{G}$ — ортогональная проекция $X$ на $G$ .

Задача 33

(a)(b)

Пусть $H$ — гильбертово пространство.

?

(a)

докажите, что для любых двух подпространств $M, N$ пространства $H$ имеем

(M+N)^{\perp } = M^{\perp } \cap N^{\perp }

(b)

докажите, что для любых двух замкнутых подпространств $E, F$ пространства $H$ имеем

(E \cap F)^{\perp } = \overline{E^{\perp }+F^{\perp }}

Примечание.

?

Почему в вопросе (b) $E$ и $F$ должны быть замкнутыми?

Задача 34

Система $\left\{ x_{i}\right\}_{i \in \mathbb {N}}$ в нормированном пространстве $X$ называется полной системой, если $\operatorname {Span}\left\{ \sum_{i = 1}^{n} \alpha_{i} x_{i}: \quad \forall n \in \mathbb {N}, \alpha_{i} \in \mathbb {F}\right\}$ плотно в $X$ . Если $\left\{ x_{i}\right\}_{i \in \mathbb {N}}$ — полная система в гильбертовом пространстве $H$ и $x \perp x_{i}$ для каждого $i$ , покажите, что $x = 0$ .

?

Задача 35

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $\left\{ \varphi_{i}\right\}_{i = 1}^{\infty }$ — ортонормированная система в $H$ . Покажите, что

\left\| \varphi _{n}-\varphi _{m}\right\| = \sqrt{2} \text{ для } m \neq n.

?

Задача 36

Пусть $\left\{ e_{i}\right\}_{i \in \mathbb {N}}$ — ортонормированное множество в гильбертовом пространстве H. Докажите, что

\sum _{i = 1}^{\infty }\left| \left\langle x, e_{i} \right\rangle \left\langle y, e_{i} \right\rangle \right| \leq \left\| x\right\| \left\| y\right\| , \quad \forall x, y \in H

?

Задача 37

(a)(b)(c)(d)

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а $A$ и $B$ — произвольные подмножества $H$ . Покажите, что

?

(a)

$A^{\perp }$ является замкнутым подпространством $H$ .

(b)

$A \subset \left(A^{\perp }\right)^{\perp }: = A^{\perp \perp }$ .

(c)

$A \subset B \Rightarrow B^{\perp } \subset A^{\perp }$ .

(d)

$A^{\perp } = \bar{A}^{\perp } = \overline{A^{\perp }}$ .

Задача 38

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $M: = \left\{ x = \left(x_{n}\right) \in \ell^{2}: x_{2 n} = 0, \forall n \in \mathbb {N}\right\}$ является замкнутым подпространством гильбертова пространства $\ell^{2}$ .

(b)

Найдите $M^{\perp }$ .

Задача 39

(a)(b)

Пусть $V$ — подпространство гильбертова пространства.

?

(a)

Покажите, что $\bar{V}^{\perp } = V^{\perp }$ .

(b)

Покажите, что $V$ плотно в $H$ тогда и только тогда, когда $V^{\perp } = \left\{ 0\right\}$ .

Задача 40

Докажите, что в любом конечномерном векторном пространстве сильная сходимость и слабая сходимость эквивалентны.

?

Задача 41

Покажите, что если последовательность $(x_{n})$ в нормированном пространстве $X$ слабо сходится к $x_{0} \in X$ , то

\liminf _{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\| \geq \left\| x_{0}\right\| .

?

Задача 42

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\left(x_{n}\right)$ — последовательность в $X$ . Покажите, что если $x_{n} \xrightarrow {w} x$ , то $T x_{n} \xrightarrow {w} T x$

?

Задача 43

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $\left(x_{n}\right)$ — последовательность в $H$ . Предположим, что $x_{n} \xrightarrow {w} x$ . Покажите, что

\lim _{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}-x\right\| = 0 \Longleftrightarrow \left\| x\right\| \geq \limsup _{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\| \tag {1}

?

Гильбертовы пространства