1

Нормированные и предгильбертовы пространства

[14/100%]
Показать
LaTeX
Задача 1

Докажите, что любой шар в нормированном пространстве XX является выпуклым.

?
Задача 2

Рассмотрим линейное пространство C[0,1]C[0,1] с нормой

∥f∥1=∫01∣f(x)∣dx. \left\| f\right\| _{1} = \int _{0}^{1}\left|f(x)\right| d x.

Докажите, что на C[0,1]C[0,1] не существует скалярного произведения, согласованного с этой нормой.

?
Задача 3

Рассмотрим линейное пространство C[0,1]C[0,1] с нормой

∥f∥=max⁡t∈[0,1]∣f(t)∣. \left\| f\right\| = \max _{t \in [0,1]}\left|f(t)\right|.

Докажите, что на C[0,1]C[0,1] не существует скалярного произведения, согласованного с этой нормой.

?
Задача 4

Докажите, что: если единичная сфера нормированного пространства XX содержит отрезок [x,y][x, y], где x,y∈Xx, y \in X и x≠yx \neq y, то xx и yy линейно независимы и ∥x+y∥=∥x∥+∥y∥\left\| x+y\right\| = \left\| x\right\| +\left\| y\right\|.

?
Задача 5

Докажите, что любые две нормы в конечномерном пространстве XX эквивалентны.

?
Задача 6

Пусть XX — нормированное пространство.

?
(a)

Найдите все подпространства XX, содержащиеся в некотором шаре B(a;r)B(a ; r) пространства XX.

(b)

Найдите все подпространства XX, содержащие некоторый шар B(x0;ρ)B\left(x_{0} ; \rho \right) пространства XX.

Задача 7

Докажите, что любое конечномерное нормированное пространство:

?
(a)

полно (является банаховым пространством),

(b)

рефлексивно.

Задача 8
?
(a)

Докажите, что скалярное произведение в нормированном пространстве XX может быть восстановлено по поляризационному тождеству:

⟨x,y⟩=14[(∥x+y∥2−∥x−y∥2)−i(∥x+iy∥2−∥x−iy∥2)]. \langle x, y\rangle = \frac{1}{4}\left[\left(\left\| x+y\right\| ^{2}-\left\| x-y\right\| ^{2}\right)-i\left(\left\| x+i y\right\| ^{2}-\left\| x-i y\right\| ^{2}\right)\right].
(b)

Докажите, что нормированное пространство является пространством со скалярным произведением тогда и только тогда, когда норма удовлетворяет тождеству параллелограмма:

∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2) \left\| x+y\right\| ^{2}+\left\| x-y\right\| ^{2} = 2\left(\left\| x\right\| ^{2}+\left\| y\right\| ^{2}\right)
Задача 9

Пусть XX — пространство со скалярным произведением, и пусть {x1,…,xN}\left\{ x_{1}, \ldots , x_{N}\right\} — ортонормированное множество. Докажите, что

∥x−∑n=1Ncnxn∥ \left\| x-\sum _{n = 1}^{N} c_{n} x_{n}\right\|

минимизируется при выборе cn=⟨xn,x⟩c_{n} = \left\langle x_{n}, x \right\rangle.

?
Задача 10

Пусть XX — нормированное пространство, а MM — замкнутое подпространство XX. Пусть π:X→X/M\pi : X \rightarrow X / M — каноническое отображение. Покажите, что топология, индуцированная стандартной нормой на X/MX / M, совпадает с обычной фактор-топологией, т.е. что O⊂X/MO \subset X / M открыто в X/MX / M тогда и только тогда, когда π−1(O)\pi^{-1}(O) открыто в XX.

?
Задача 11

Пусть X=C[0,1],M={f∈C[0,1]:f(0)=0}X = C[0,1], M = \left\{ f \in C[0,1]: f(0) = 0\right\}. Покажите, что X/M=CX / M = \mathbb {C}.

?
Задача 12

Если 0<p<10 < p < 1, то ℓp\ell^{p} является векторным пространством, но ∥x∥p=(∑n∣xn∣p)1/p\left\| x\right\|_{p} = \left(\sum_{n}\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p} не является нормой на ℓp\ell^{p}.

?
Задача 13

Предположим, что XX — линейное пространство со скалярным произведением ⟨.,\langle .,.⟩.Ifxn→x\rangle . If x_{n} \rightarrow x и yn→yy_{n} \rightarrow y при n→∞n \rightarrow \infty, докажите, что

⟨xn,yn⟩→⟨x,y⟩ при n→∞. \left\langle x_{n}, y_{n} \right\rangle \rightarrow \langle x, y\rangle \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty .
?
Задача 14

Докажите, что если MM — замкнутое подпространство, а NN — конечномерное подпространство нормированного пространства XX, то M+N:={m+n:m∈M,n∈N}M+N: = \left\{ m+n: m \in M, n \in N\right\} замкнуто.

?