Фильтрованные произведения

Доказать, что если $D$ --- фильтр над $I$, то $I \in D$.

Пусть $X \subseteq I$. Доказать, что $\left\{ Y \mid Y \subseteq I \text{ и } X \subseteq Y\right\}$ есть фильтр над $I$.

Пусть $D$ --- фильтр над $I$ и $J \in D$. Показать, что $D_{1} = \left\{ X \cap J \mid X \in D\right\}$ есть фильтр над $J$, а также, что если $D$ --- неглавный фильтр, то $D_{1}$ --- также неглавный фильтр.

Доказать, что если какое-нибудь конечное множество принадлежит фильтру, то этот фильтр главный.

Доказать, что всякий неглавный ультрафильтр содержит все множества, имеющие конечные дополнения.

Доказать, что фильтр $D$ над $I$ есть ультрафильтр тогда и только тогда, когда $D$ является максимальным множеством в множестве всех фильтров над $I$, упорядоченном по включению.

Доказать, что во множестве $\Phi$ всех фильтров над $I$, упорядоченном по включению, $\left\{ I\right\}$ есть наименьший элемент. Показать также, что если $\left|I\right| \geq 2$, то в $\Phi$ нет наибольшего элемента.

Доказать, что для того, чтобы над $I$ существовал фильтр, содержащий множество $S \subseteq \mathcal{P}(I)$, необходимо и достаточно, чтобы пересечение любого конечного числа элементов из $S$ было непусто.

Пусть $I$ --- бесконечное множество мощности $\alpha$ и

Доказать, что $\Phi$ есть фильтр над $I$.

Доказать, что система $\Psi$ подмножеств множества $I$ содержится в некотором фильтре Фреше тогда и только тогда, когда каждое пересечение конечного числа множеств системы $\Psi$ имеет мощность, равную мощности множества $I$.

Показать, что каждый неглавный ультрафильтр над счетным множеством будет фильтром Фреше.

Пусть $F$ --- фильтр над $I$, $A \subseteq I$ и $F_{A} = \left\{ X \cap A \mid X \in F\right\}$. Доказать, что для того, чтобы $F_{A}$ было фильтром над $A$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $X \in F$ было $X \cap A \neq \emptyset$.

Пусть $F$ --- ультрафильтр над $I$, $A \subseteq I$ и $F_{A} = \left\{ X \cap A \mid X \in F\right\}$. Доказать, что для того, чтобы $F_{A}$ было ультрафильтром над $A$, необходимо и достаточно, чтобы $A$ принадлежало $F$.

Показать, что всякий фильтр можно расширить до ультрафильтра.

Доказать, что всякий фильтр является пересечением всех содержащих его ультрафильтров.

Пусть $F$ и $G$ --- фильтры над $I$. Доказать, что

Доказать, что если объединение конечной последовательности $\left\{ A_{i}\right\}_{i \leq n}$ подмножеств множества $I$ принадлежит ультрафильтру $F$, то по крайней мере одно из множеств $A_{i}$ принадлежит $F$.

Пусть $F$ --- ультрафильтр, а $G_{1}, \ldots , G_{n}$ --- фильтры над $I$. Доказать, что если $F \supseteq G_{1} \cap \ldots \cap G_{n}$, то существует такое $i$ ($1 \leq i \leq n$), что $F \supseteq G_{i}$.

Пусть множество $J$ бесконечно. Построить ультрафильтр $F$ и семейство ультрафильтров $\left\{ G_{j}\right\}_{j \in J}$ такие, что $F \supseteq \bigcap_{j \in J} G_{j}$, но $F$ не содержит $G_{j}$ ни для какого $j$.

Доказать, что $\bigcap_{X \in F} X$, где $F$ --- ультрафильтр, содержит не более одной точки.

Пусть $D$ --- фильтр над $I$ и $\sim$ --- некоторое отношение эквивалентности на $I$. Пусть $D^{\sim } = \left\{ B \mid \exists A (A \in D \& B = \left\{ [x]_{\sim } \mid x \in A\right\} )\right\}$. Доказать, что:

Доказать, что фильтр $D$ над $I$ является счетно полным тогда и только тогда, когда не существует убывающей последовательности $X_{0} \supset X_{1} \supset X_{2} \supset \ldots$ элементов $X_{i} \in D$ такой, что $\bigcap_{i \in \mathbb {N}} X_{i} = \emptyset$.

Доказать, что $\sim_{D}$ есть отношение эквивалентности на $\prod_{i \in I} M_{i}$.

Доказать, что если $f_{1} \sim_{D} g_{1}, \ldots , f_{n} \sim_{D} g_{n}$, то:

Доказать, что для любого $I$

где $D = \left\{ I\right\}$.

Доказать, что каноническое отображение $\varphi : \prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} \to \prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D$, где $\varphi (f) = f / D$, является гомоморфизмом $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i}$ на $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D$. Показать, что в общем случае этот гомоморфизм не является сильным гомоморфизмом.

Доказать, что если предложение, не содержащее $\neg$ и $\supset$, истинно на прямом произведении $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i}$, то оно истинно на фильтрованном произведении $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D$ по любому фильтру $D$.

Доказать, что если $D, D_{1}$ --- фильтры над $I$ и $D \subseteq D_{1}$, то отображение $\varphi$, определенное условием $\varphi (f / D) = f / D_{1}$, является гомоморфизмом $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D$ на $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D_{1}$.

Пусть $J \in D$, $D$ --- фильтр над $I$. Показать, что

где $D_{J}$ --- фильтр, образованный пересечениями $J$ с множествами фильтра $D$. В частности, если $D$ --- главный фильтр, состоящий из подмножеств множества $J$, то

Пусть $I$ конечно и $D$ --- фильтр над $I$. Доказать, что $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D$ изоморфно прямому произведению некоторых систем $\mathfrak {M}_{i}$.

Пусть $\left\{ I_{k} \mid k \in K\right\}$ --- разбиение $I$ и пусть над $I_{k}$ заданы фильтры $D_{k}$, а над $K$ --- фильтр $D^{*}$. Показать, что

есть фильтр над $I$ и для любых $\mathfrak {M}_{i}$ ($i \in I$)

(ассоциативный закон для фильтрованных произведений).

Доказать, что если пересечение $J$ всех множеств фильтра $D$ над $I$ непусто и не принадлежит $D$, то

где $J' = I \backslash J$ и $D_{J'}$ --- фильтр над $J'$, образованный пересечениями $J'$ со всеми множествами фильтра $D$.

Пусть $\varphi_{i}: M_{i} \to N_{i}$ --- гомоморфизмы, $\varphi (f / D) = (\varphi '(f)) / D$, где $(\varphi '(f))(j) = \varphi_{j}(f(j))$ для $f \in \prod_{i \in I} M_{i}$, $j \in J$. Доказать, что тогда $\varphi$ есть гомоморфизм $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D$ в $\prod_{i \in I} \mathfrak {N}_{i} / D$. Доказать, что если $\varphi_{i}$ --- сильные гомоморфизмы (изоморфизмы), то таким же является и $\varphi$.

Пусть $\varphi$ есть взаимно однозначное соответствие между $I$ и $J$, $D$ --- фильтр над $I$, $D_{1} = \left\{ \varphi (X) \mid X \in D\right\}$. Доказать, что

Пусть $\left\{ C_{i} \mid i \in I\right\}$ --- семейство множеств, на $I$ задано отношение эквивалентности $\sim$ такое, что $i \sim j \Rightarrow C_{i} = C_{j}$. Доказать, что для любого ультрафильтра $D$ над $I$ существует изоморфное вложение $\prod_{\alpha \in I / {\sim }} C_{\alpha } / D^{\sim }$ в $\prod_{i \in I} C_{i} / D$, где $D^{\sim }$ строится, как в задаче II.8.21, а $C_{\alpha } = C_{i}$ для $\alpha \in I / {\sim }$ и $i \in \alpha$.

Пусть $\left\{ I_{k}\right\}_{k \in K}$ --- семейство всех конечных непустых подмножеств $I$, $\left\{ \mathfrak {M}_{i}\right\}_{i \in I}$ --- семейство алгебраических систем сигнатуры $\sigma$. Доказать, что существует фильтр $D$ над $K$ такой, что для любого фильтра $D_{1} \supseteq D$ над $K$ существует изоморфное вложение $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i}$ в $\prod_{k \in K} \left( \prod_{i \in I_{k}} \mathfrak {M}_{i} \right) \Big/ D_{1}$.

Доказать, что если $A$ и $B$ условно фильтруются по фильтру $D$ над $I$, то $(A \& B)$, $\exists x \, B$, $\forall x \, A$ также условно фильтруются по $D$.

Доказать, что если $A$ и $B$ фильтруются по фильтру $D$ над $I$, то $(A \& B)$, $\exists x \, A$ также фильтруются по $D$.

Доказать, что атомные формулы фильтруются по любому фильтру.

Пусть $A$ фильтруется по ультрафильтру $D$. Доказать, что $\neg A$ фильтруется по $D$.

Доказать, что всякая формула фильтруется по любому ультрафильтру (теорема Лося).

Пусть $A$ фильтруется по фильтру $D$ над $I$, а $B$ условно фильтруется по $D$. Доказать, что $(A \supset B)$ и $\neg A$ условно фильтруются по $D$.

Назовем формулу хорновской, если она получается из формул вида $\neg A$, $(A \supset B)$, $B$, где $A$ --- конъюнкция атомных формул, а $B$ --- атомная формула, при помощи операций конъюнкции и навешивания кванторов. Доказать, что хорновские формулы условно фильтруются по любому фильтру.

Доказать, что ультрапроизведение линейно упорядоченных множеств линейно упорядочено.

Доказать, что фильтрованное произведение предупорядоченных множеств предупорядочено.

Доказать, что фильтрованное произведение частично упорядоченных множеств частично упорядочено.

Доказать, что фильтрованное произведение групп есть группа.

Пусть конечная система $\mathfrak {M}$ содержит $n$ элементов. Доказать, что любая ультрастепень $\mathfrak {M}$ содержит также $n$ элементов.

Показать, что если мощности всех сомножителей не превосходят натурального числа $n$, то мощность ультрапроизведения не превосходит $n$.

Доказать, что любое фильтрованное произведение бесконечных систем бесконечно.

Пусть для каждого $n$ в семействе $\left\{ \mathfrak {M}_{i}\right\}_{i \in I}$ имеется лишь конечное число систем мощности $n$. Доказать, что в этом случае ультрапроизведение $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D$ по неглавному ультрафильтру $D$ бесконечно.

Доказать, что если для любого $i \in I$ имеем $\left|M_{i}\right| \leq \left|N_{i}\right|$, то для любого фильтра $D$ над $I$

Пусть все сомножители $\mathfrak {M}_{i}$ ($i \in \mathbb {N}$) конечны, $D$ --- ультрафильтр над $\mathbb {N}$ и $\left\{ i \mid \left|M_{i}\right| = n\right\} \notin D$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. Доказать, что $\prod_{i \in \mathbb {N}} \mathfrak {M}_{i}$ имеет мощность континуума.

Пусть все сомножители $\mathfrak {M}_{i}$ ($i \in \mathbb {N}$) конечны или счетны, $D$ --- неглавный ультрафильтр над множеством натуральных чисел $\mathbb {N}$ и имеем $\left\{ i \mid \left|M_{i}\right| = n\right\} \notin D$ для каждого натурального $n$. Доказать, что мощность $\prod_{i \in \mathbb {N}} \mathfrak {M}_{i} / D$ равна континууму.

Доказать, что если $D$ не является счетно полным ультрафильтром над $I$ и для каждого натурального $n$ имеем $\left\{ i \mid \left|M_{i}\right| = n\right\} \notin D$, то $\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D$ имеет мощность не меньше континуума.

Пусть все $\mathfrak {M}_{i}$ ($i \in I$) счетны и $D$ --- счетно полный ультрафильтр над $I$. Доказать, что $\left|\prod_{i \in I} \mathfrak {M}_{i} / D\right| = \aleph_{0}$.

Пусть $\langle A_{i}; \leq \rangle$ --- частично упорядоченные множества ($i \in \mathbb {N}$), причем $A_{i}$ содержит $i$ минимальных элементов. Какова мощность множества минимальных элементов в ультрапроизведении $\prod_{i \in \mathbb {N}} \mathfrak {A}_{i} / D$, если $D$ --- неглавный ультрафильтр над $\mathbb {N}$?

Доказать, что для каждого бесконечного множества $I$ существует такой фильтр $D$ над $I$, что для каждого фильтра $D_{1}$ над $I$, содержащего $D$, и каждой бесконечной системы $\mathfrak {M}$

Доказать, что для любой бесконечной алгебраической системы $\mathfrak {M}$ и любой данной мощности $m$ существует ультрастепень системы $\mathfrak {M}$, мощность которой больше $m$.

Доказать, что если $D$ --- не счетно полный ультрафильтр над $I$ и алгебраическая система $\mathfrak {M}$ бесконечна, то естественное вложение $\varphi : M \to M^{I} / D$, т.е. $\varphi (a) = f / D$, где $f(i) = a$ для всех $i \in I$, не будет взаимно однозначным соответствием между $M$ и $M^{I} / D$.