Действия над кардинальными числами

$3 + 5 = 8$;

$n + \aleph_{0} = \aleph_{0}$, где $n$ конечное;

$\aleph_{0} + \aleph_{0} = \aleph_{0}$;

$\aleph_{0} + c = c$;

$c + c = c$.

для любых множеств $A_{1}, A_{2}$ существуют множества $B_{1}, B_{2}$ такие, что $A_{1} \sim B_{1}$, $A_{2} \sim B_{2}$ и $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$;

сумма двух кардинальных чисел всегда существует.

$n_{1} + n_{2} = n_{2} + n_{1}$;

$n_{1} + (n_{2} + n_{3}) = (n_{1} + n_{2}) + n_{3}$;

$n + 0 = n$.

$\left|A \cup B\right| = \left|A\right| + \left|B\right| - \left|A \cap B\right|$;

$\left|A \cup B \cup C\right| = \left|A\right| + \left|B\right| + \left|C\right| - \left|A \cap B\right| - \left|A \cap C\right| - \left|B \cap C\right| + \left|A \cap B \cap C\right|$;

$\left|\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right| = \sum_{i=1}^{n} \left|A_{i}\right| + \ldots + (-1)^{k-1} \sum_{\substack {i_{1}, \ldots , i_{k} = 1 \\ i_{1} < \ldots < i_{k}}}^{n} \left|A_{i_{1}} \cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right| + \ldots ;$

$\left|A_{1} \setminus A_{2} \setminus \ldots \setminus A_{n}\right| = \sum_{i=1}^{n} \left|A_{i}\right| + \ldots + (-2)^{k-1} \sum_{\substack {i_{1}, \ldots , i_{k} = 1 \\ i_{1} < \ldots < i_{k}}}^{n} \left|A_{i_{1}} \cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right| + \ldots$

Доказать, что $n < m \Rightarrow n + 1 \leq m$.

Привести пример таких кардинальных чисел $n$ и $m$, что $n + 1 \leq m$, но $m \leq n$.

$3 \cdot 5 = 15$;

$\aleph_{0} \cdot \aleph_{0} = \aleph_{0}$;

$\aleph_{0} \cdot c = c$;

$c \cdot c = c$.

если $A \sim B$ и $C \sim D$, то $A \times C \sim B \times D$;

произведение двух кардинальных чисел всегда существует.

$n_{1} \cdot n_{2} = n_{2} \cdot n_{1}$;

$n_{1} \cdot (n_{2} \cdot n_{3}) = (n_{1} \cdot n_{2}) \cdot n_{3}$;

$n_{1} \cdot (n_{2} + n_{3}) = (n_{1} \cdot n_{2}) + (n_{1} \cdot n_{3})$;

$n \cdot 1 = n$;

$n \cdot 0 = 0$;

$n \cdot m = n$, если $m$ --- конечное, а $n$ --- бесконечное кардинальное число;

$n \cdot \aleph_{0} = n$, если $n$ --- бесконечное кардинальное число.

$2^{\aleph_{0}} = c$;

$\aleph_{0}^{\aleph_{0}} = c$;

$c^{\aleph_{0}} = c$.

$m^{n+p} = m^{n} \cdot m^{p}$;

$(m \cdot n)^{p} = m^{p} \cdot n^{p}$;

$(m^{n})^{p} = m^{n \cdot p}$;

$m^{1} = m$;

$1^{m} = 1$.

если $m \leq n$ и $n \leq p$, то $m \leq p$;

если $m \leq n$, то $m + p \leq n + p$;

если $m \leq n$, то $m \cdot p \leq n \cdot p$;

если $m \leq n$, то $m^{p} \leq n^{p}$;

если $m \leq n$, то $p^{m} \leq p^{n}$;

если $m, n > 1$, то $m + n \leq m \cdot n$;

$m + n = n$ тогда и только тогда, когда $\aleph_{0} \cdot m \leq n$;

если $n + m = n$ и $n_{1} \geq n$, то $n_{1} + m = n_{1}$;

$n + m = n$ тогда и только тогда, когда $n + k \cdot m = n$ $(k \in \mathbb {N}, k > 0)$;

$n + m = n$ тогда и только тогда, когда $n + \aleph_{0} \cdot m = n$;

$m < 2^{m}$.

если $2^{m} \geq \aleph_{0}$, то $2^{m} \geq 2^{\aleph_{0}}$;

если $m^{n} = \aleph_{0}$, то $m = \aleph_{0}$, а $n$ --- конечное.

если $n \geq \aleph_{0}$, то $2^{n} = n^{n}$;

если $1 < m \leq n$, $\aleph_{0} \leq n$, то $m^{n} = n^{n}$.

если $\left|I\right| = m$, $n_{i} = n$ для всех $i \in I$, то $m \cdot n = \sum_{i \in I} n_{i}$;

если $m + p = n + p$ и $p$ конечно, то $m = n$;

если $2 \cdot n_{1} = 2 \cdot n_{2}$, то $n_{1} = n_{2}$.

Пусть $\left\{ m_{i}\right\}$ $(i \in I)$ --- семейство кардинальных чисел, причем $m_{i} = 0$ для $i \in J \subseteq I$. Доказать, что

Пусть $\left\{ m_{i}\right\}$ $(i \in I)$ --- семейство кардинальных чисел, причем $m_{i} = 1$ для $i \in J \subseteq I$. Доказать, что

Доказать, что $\prod_{i \in I} m_{i} = 0$ тогда и только тогда, когда существует $i_{0} \in I$ такое, что $m_{i_{0}} = 0$.

$\sum_{i \in I} m_{i} = \sum_{i \in I} m_{\varphi (i)}$;

$\prod_{i \in I} m_{i} = \prod_{i \in I} m_{\varphi (i)}$.

$\sum_{i \in I} m_{i} = \sum_{\lambda \in L} \left(\sum_{i \in A_{\lambda }} m_{i}\right)$;

$\prod_{i \in I} m_{i} = \prod_{\lambda \in L} \left(\prod_{i \in A_{\lambda }} m_{i}\right)$.

$n \cdot \sum_{i \in I} m_{i} = \sum_{i \in I} (n \cdot m_{i})$;

$\prod_{i \in I} \left(\sum_{j \in J_{i}} m_{ij}\right) = \sum_{f \in K} \prod_{i \in I} m_{i f(i)}$, где $K = \prod_{i \in I} J_{i}$.

$\sum_{i \in I} m_{i} \leq \sum_{i \in I} n_{i}$;

$\prod_{i \in I} m_{i} \leq \prod_{i \in I} n_{i}$.

$\sum_{i \in J} m_{i} \leq \sum_{i \in I} m_{i}$;

$\prod_{i \in J} m_{i} \leq \prod_{i \in I} m_{i}$, где $m_{i} \neq 0$ для $i \in I \setminus J$.

если $m_{i} \leq n_{i}$ для всех $i \in I$, то $\sum_{i \in I} m_{i} \leq \prod_{i \in I} n_{i}$;

если $m_{i} < n_{i}$ для всех $i \in I$, то $\sum_{i \in I} m_{i} < \prod_{i \in I} n_{i}$.

$m^{\left(\sum_{i \in I} n_{i}\right)} = \prod_{i \in I} m^{n_{i}}$;

$\left(\prod_{i \in I} m_{i}\right)^{n} = \prod_{i \in I} m_{i}^{n}$.