Кардинальные числа

Доказать, что:

Доказать, что:

Пусть $A_{2} \subseteq A_{1} \subseteq A$ и $A \sim A_{2}$. Доказать, что $A \sim A_{1}$.

Доказать, что если $\left|A\right| \leq \left|B\right|$ и $\left|B\right| \leq \left|A\right|$, то $\left|A\right| = \left|B\right|$ (теорема Кантора–Бернштейна).

Доказать, что:

Доказать, что из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Доказать, что множество тогда и только тогда бесконечно, когда оно эквивалентно некоторому собственному подмножеству.

Показать, что всякое подмножество счетного множества счетно или конечно.

Доказать, что если из счетного множества удалить конечное подмножество, то оставшееся множество будет счетным.

Доказать, что:

Доказать, что:

Доказать, что если $A_{1}, \ldots , A_{n}$ $(1 \leq n)$ счетны, то счетно множество $A_{1} \times \ldots \times A_{n}$.

Доказать, что:

Доказать, что множество всех конечных последовательностей, составленных из элементов некоторого счетного множества, есть счетное множество.

Доказать, что множество всех конечных подмножеств счетного множества счетно.

Доказать, что множество многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами счетно.

Доказать счетность множества алгебраических чисел, т.е. чисел, являющихся корнями многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами.

Доказать, что любое множество попарно непересекающихся открытых интервалов на действительной прямой не более чем счетно.

Доказать, что мощность любого множества попарно непересекающихся букв Т на плоскости не более чем счетна.

Доказать, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ и существует $\delta > 0$ такое, что для всех различных элементов $x, y$ из $A$ справедливо $\left|x - y\right| \geq \delta$, то $A$ конечно или счетно.

Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции на действительной оси не более чем счетно.

Доказать, что:

Доказать, что множества точек квадрата и отрезка эквивалентны.

Доказать, что множества точек двух окружностей эквивалентны.

Доказать, что $\mathbb {R}^{n} \sim \mathbb {R}^{m}$ $(1 \leq n, m)$.

Установить взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и плоскости.

Доказать, что множество точек сегмента $[0, 1]$ несчетно.

Какова мощность множества иррациональных чисел?

Доказать существование трансцендентных (неалгебраических) чисел.

Доказать, что объединение конечного или счетного числа множеств мощности $c$ имеет мощность $c$.

Доказать, что множество всех счетных последовательностей натуральных чисел имеет мощность $c$.

Доказать, что:

Доказать, что:

Какова мощность множества:

Пусть $A$ --- счетное множество точек на действительной прямой. Можно ли выбрать $a$ так, чтобы

Доказать, что множество действительных функций, заданных на сегменте $[0, 1]$, имеет мощность, большую $c$.

Доказать, что мощность множества всех функций, определенных на сегменте $[a, b]$ при $a < b$ и разрывных хотя бы в одной точке, больше $c$.

Доказать, что множество всех подмножеств $P(A)$ множества $A$ имеет мощность, большую $\left|A\right|$.

Пусть $A$ --- семейство множеств такое, что для каждого множества $A$ из $\mathcal{A}$ существует множество $B$ из $\mathcal{A}$, не эквивалентное никакому подмножеству множества $A$. Доказать, что объединение всех множеств из $\mathcal{A}$ не эквивалентно никакому подмножеству множества из $\mathcal{A}$.

Доказать, что не существует множества, содержащего все множества.

Будем говорить, что последовательность натуральных чисел $b_{1}, b_{2}, \ldots$ растет быстрее, чем последовательность $a_{1}, a_{2}, \ldots$, если $\lim_{n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0$. Доказать, что: