Банк задач по математике

Задача I.1.1

Доказать:

?

(а)

$A \subseteq A$ (рефлексивность);

(б)

если $A \subseteq B$ и $B \subseteq C$ , то $A \subseteq C$ (транзитивность);

(в)

$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ ;

(г)

$A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B$ ;

(д)

$A \setminus B \subseteq A$ .

Задача I.1.2

Доказать, что если $A$ есть множество корней уравнения $x^{2} - 7x + 6 = 0$ и $B = \left\{ 1, 6\right\}$ , то $A = B$ .

?

Задача I.1.3

Доказать, что $\emptyset \neq \left\{ \emptyset \right\}$ .

?

Задача I.1.4

Доказать, что $\left\{ \left\{ 1, 2\right\} , \left\{ 2, 3\right\} \right\} \neq \left\{ 1, 2, 3\right\}$ .

?

Задача I.1.5

(а)(б)(в)

Доказать, что для любого $A$ :

?

(а)

$\emptyset \subseteq A \subseteq U$ ;

(б)

если $A \subseteq \emptyset$ , то $A = \emptyset$ ; если $U \subseteq A$ , то $A = U$ ;

(в)

$A \cup \emptyset = A$ , $A \cap \emptyset = \emptyset$ , $A \cup U = U$ , $A \cap U = A$ .

Задача I.1.6

Доказать, что существует лишь одно множество, не имеющее элементов.

?

Задача I.1.7

Существуют ли такие множества $A$ , $B$ и $C$ , что

A \cap B \neq \emptyset , \quad A \cap C = \emptyset , \quad (A \cap B) \setminus C = \emptyset \text{?}

?

Задача I.1.8

Доказать, что множество всех корней многочлена $\alpha (x) = \beta (x) \cdot \gamma (x)$ есть объединение множеств корней многочленов $\beta (x)$ и $\gamma (x)$ .

?

Задача I.1.9

Доказать, что пересечение множеств действительных корней многочленов $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ с действительными коэффициентами совпадает с множеством всех действительных корней многочлена $\gamma (x) = \alpha^{2}(x) + \beta^{2}(x)$ .

?

Задача I.1.10

Доказать, что

A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \Leftrightarrow A \cap B = A \Leftrightarrow A \setminus B = \emptyset \Leftrightarrow (-A) \cup B = U.

?

Задача I.1.11

Доказать следующие тождества:

?

(а)

$A \cup A = A \cap A = A$ ;

(б)

$A \cap B = B \cap A$ ;

(в)

$A \cup B = B \cup A$ ;

(г)

$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ ;

(д)

$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ ;

(е)

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ ;

(ж)

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ ;

(з)

$(A \cap B) \cup (C \cap D) = (A \cup C) \cap (B \cup C) \cap (A \cup D) \cap (B \cup D)$ .

Задача I.1.12

Доказать следующие тождества:

?

(а)

$-(A \cap B) = (-A) \cup (-B)$ ;

(б)

$-(A \cup B) = (-A) \cap (-B)$ ;

(в)

$A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ ;

(г)

$A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$ ;

(д)

$A \setminus (A \setminus B) = A \cap B$ ;

(е)

$A \setminus B = A \setminus (A \cap B)$ ;

(ж)

$A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C) = (A \cap B) \setminus C$ ;

(з)

$(A \setminus B) \setminus C = (A \setminus C) \setminus (B \setminus C)$ ;

(и)

$A \cup B = A \cup (B \setminus A)$ ;

(к)

$-(-A) = A$ ;

(л)

$A \cup (-A) = U$ ;

(м)

$A \cap (-A) = \emptyset$ ;

(н)

$(A \cap B) \cup [A \cap (-B)] = (A \cup B) \cap [A \cup (-B)] = A$ ;

(о)

$[(-A) \cup B] \cap A = A \cap B$ ;

(п)

$A \cap (B \setminus A) = \emptyset$ ;

(р)

$(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)$ ;

(с)

$A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C)$ ;

(т)

$A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \setminus C$ .

Задача I.1.13

Доказать, что:

?

(а)

$A \cup B \subseteq C \Leftrightarrow A \subseteq C$ и $B \subseteq C$ ;

(б)

$A \subseteq B \cap C \Leftrightarrow A \subseteq B$ и $A \subseteq C$ ;

(в)

$A \cap B \subseteq C \Leftrightarrow A \subseteq (-B) \cup C$ ;

(г)

$A \subseteq B \cup C \Leftrightarrow A \cap (-B) \subseteq C$ ;

(д)

$(A \setminus B) \cup B = A \Leftrightarrow B \subseteq A$ ;

(е)

$(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \Leftrightarrow C \subseteq A$ ;

(ж)

$A \subseteq B \Rightarrow A \cup C \subseteq B \cup C$ ;

(з)

$A \subseteq B \Rightarrow A \cap C \subseteq B \cap C$ ;

(и)

$A \subseteq B \Rightarrow (A \setminus C) \subseteq (B \setminus C)$ ;

(к)

$A \subseteq B \Rightarrow (C \setminus B) \subseteq (C \setminus A)$ ;

(л)

$A \subseteq B \Rightarrow -B \subseteq -A$ ;

(м)

$A \cup B = A \cap B \Rightarrow A = B$ ;

(н)

$A = -B \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset$ и $A \cup B = U$ .

Задача I.1.14

Доказать тождества:

?

(а)

$A \symdiff B = B \symdiff A$ ;

(б)

$A \symdiff (B \symdiff C) = (A \symdiff B) \symdiff C$ ;

(в)

$A \cap (B \symdiff C) = (A \cap B) \symdiff (A \cap C)$ ;

(г)

$A \symdiff (A \symdiff B) = B$ ;

(д)

$A \cup B = (A \symdiff B) \symdiff (A \cap B)$ ;

(е)

$A \setminus B = A \symdiff (A \cap B)$ ;

(ж)

$A \symdiff \emptyset = A$ ;

(з)

$A \symdiff A = \emptyset$ ;

(и)

$A \symdiff U = -A$ ;

(к)

$A \cup B = (A \symdiff B) \cup (A \cap B)$ .

Задача I.1.15

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

$(A_{1} \cup \ldots \cup A_{n}) \symdiff (B_{1} \cup \ldots \cup B_{n}) \subseteq (A_{1} \symdiff B_{1}) \cup \ldots \cup (A_{n} \symdiff B_{n})$ ;

(б)

$(A_{1} \cap \ldots \cap A_{n}) \symdiff (B_{1} \cap \ldots \cap B_{n}) \subseteq (A_{1} \symdiff B_{1}) \cup \ldots \cup (A_{n} \symdiff B_{n})$ .

Задача I.1.16

(а)(б)(в)

Доказать, что:

?

(а)

$A \symdiff B = \emptyset \Leftrightarrow A = B$ ;

(б)

$A \cap B = \emptyset \Rightarrow A \cup B = A \symdiff B$ ;

(в)

$A \symdiff B = C \Leftrightarrow B \symdiff C = A \Leftrightarrow C \symdiff A = B$ .

Задача I.1.17

(а)(б)(в)

Определить операции $\cup , \cap , \setminus$ через:

?

(а)

$\symdiff , \cap$ ;

(б)

$\symdiff , \cup$ ;

(в)

$\setminus , \symdiff$ .

Задача I.1.18

(а)(б)

Доказать, что нельзя определить:

?

(а)

$\setminus$ через $\cap$ и $\cup$ ;

(б)

$\cup$ через $\cap$ и $\setminus$ .

Задача I.1.19

Доказать, что множества образуют кольцо без единицы, где $\symdiff$ играет роль операции сложения, а $\cap$ играет роль операции умножения. Что является вычитанием в этом кольце?

?

Задача I.1.20

Найти все подмножества множеств $\emptyset$ , $\left\{ \emptyset \right\}$ , $\left\{ x\right\}$ , $\left\{ 1, 2\right\}$ .

?

Задача I.1.21

(а)(б)

?

(а)

Доказать, что множество из $n$ элементов имеет $2^{n}$ подмножеств.

(б)

Сколько подмножеств из $k$ элементов имеет множество из $n$ элементов $(k \leq n)$ ?

Задача I.1.22

(а)(б)(в)(г)

Доказать, что:

?

(а)

$P(A \cap B) = P(A) \cap P(B)$ ;

(б)

$P\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right) = \bigcap_{i \in I} P(A_{i})$ ;

(в)

$P(A \cup B) = \left\{ A_{1} \cup B_{1} \mid A_{1} \in P(A) \text{ и } B_{1} \in P(B)\right\}$ ;

(г)

$P\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right) = \bigcup_{i \in I} \left\{ B_{i} \mid B_{i} \in P(A_{i})\right\}$ .

Задача I.1.23

Доказать, что для любых $a$ , $b$ , $c$ , $d$

\left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{ c\right\} , \left\{ c, d\right\} \right\} \Leftrightarrow a = c \text{ и } b = d.

?

Задача I.1.24

Какие из утверждений верны для всех $A$ , $B$ и $C$ :

?

(а)

если $A \in B$ и $B \in C$ , то $A \in C$ ?

(б)

если $A \subseteq B$ и $B \in C$ , то $A \in C$ ?

(в)

если $A \cap B \subseteq -C$ и $A \cup C \subseteq B$ , то $A \cap C = \emptyset$ ?

(г)

если $A \neq B$ и $B \neq C$ , то $A \neq C$ ?

(д)

если $A \subseteq -(B \cup C)$ и $B \subseteq -(A \cup C)$ , то $B = \emptyset$ ?

Задача I.1.25

Доказать, что для любых $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ ,

\text{если } A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \ldots \subseteq A_{n} \subseteq A_{1}, \text{ то } A_{1} = A_{2} = \ldots = A_{n}.

?

Задача I.1.26

Для каждого положительного целого числа $n$ указать множество $A_{n}$ из $n$ элементов такое, что если $x, y \in A_{n}$ , то $x \in y$ или $y \in x$ или $x = y$ .

?

Задача I.1.27

Решить систему уравнений

\begin{cases} A \cap X = B, \\ A \cup X = C, \end{cases}

где $A$ , $B$ и $C$ --- данные множества и $B \subseteq A \subseteq C$ .

?

Задача I.1.28

Решить систему уравнений

\begin{cases} A \setminus X = B, \\ X \setminus A = C, \end{cases}

где $A$ , $B$ и $C$ --- данные множества и $B \subseteq A$ , $A \cap C = \emptyset$ .

?

Задача I.1.29

(а)(б)

Пусть даны системы множеств $\left\{ A_{i}\right\}_{i \in I}$ и $\left\{ B_{i}\right\}_{i \in I}$ , где $I$ --- некоторое множество. Решить системы уравнений:

?

(а)

$A_{i} \cap X = B_{i}$ , $i \in I$ ;

(б)

$A_{i} \cup X = B_{i}$ , $i \in I$ .

При каких $A_{i}$ и $B_{i}$ эти системы имеют решения?

Задача I.1.30

Решить систему уравнений

\begin{cases} A \setminus X = B, \\ A \cup X = C, \end{cases}

где $A$ , $B$ и $C$ --- данные множества и $B \subseteq A \subseteq C$ .

?

Задача I.1.31

(а)(б)(в)(г)

Показать, что:

?

(а)

$A = B \Leftrightarrow (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \emptyset$ ;

(б)

любое уравнение относительно множества $X$ , в правой части которого стоит $\emptyset$ , равносильно уравнению $(A \cap X) \cup [B \cap (-X)] = \emptyset$ , где $A$ и $B$ --- некоторые множества, в записи которых не содержится символ $X$ ;

(в)

система уравнений

\begin{cases} A \cap X = \emptyset , \\ B \cap (-X) = \emptyset \end{cases}

имеет решение тогда и только тогда, когда $B \subseteq -A$ ; при этом условии решением системы является любое множество $X$ такое, что

B \subseteq X \subseteq -A;

(г)

описать метод решения системы уравнений с одним неизвестным.

Задача I.1.32

(а)(б)(в)

Пользуясь методом задачи I.1.31, решить следующие системы:

?

(а)

$\begin{cases} A \cup X = B \cap X, \\ A \cap X = C \cup X; \end{cases}$

(б)

$\begin{cases} A \setminus X = X \setminus B, \\ X \setminus A = C \setminus X; \end{cases}$

(в)

$\begin{cases} A \cap X = B \setminus X, \\ C \cup X = X \setminus A. \end{cases}$

При каких $A$ , $B$ и $C$ эти системы имеют решение?

Задача I.1.33

(а)(б)(в)

Доказать, что всякое множество есть:

?

(а)

объединение всех своих подмножеств;

(б)

объединение всех своих конечных подмножеств;

(в)

объединение всех своих одноэлементных подмножеств.

Задача I.1.34

Пусть имеется последовательность множеств

X_{0} \supseteq X_{1} \supseteq X_{2} \supseteq \ldots \supseteq X_{n} \supseteq \ldots

Доказать, что пересечение любой бесконечной подпоследовательности этих множеств совпадает с пересечением всей последовательности.

?

Задача I.1.35

Пусть имеется последовательность множеств

X_{0} \subseteq X_{1} \subseteq X_{2} \subseteq \ldots \subseteq X_{n} \subseteq \ldots

Доказать, что объединение любой бесконечной подпоследовательности этих множеств совпадает с объединением всей последовательности.

?

Задача I.1.36

Доказать следующие тождества:

?

(а)

$\bigcup_{k \in K} \bigcup_{t \in T} A_{kt} = \bigcup_{t \in T} \bigcup_{k \in K} A_{kt}$ ;

(б)

$\bigcap_{k \in K} \bigcap_{t \in T} A_{kt} = \bigcap_{t \in T} \bigcap_{k \in K} A_{kt}$ ;

(в)

$-\left(\bigcup_{k \in K} A_{k}\right) = \bigcap_{k \in K} (-A_{k})$ ;

(г)

$-\left(\bigcap_{k \in K} A_{k}\right) = \bigcup_{k \in K} (-A_{k})$ ;

(д)

$\bigcup_{k \in K} A_{k} \cup \bigcup_{k \in K} B_{k} = \bigcup_{k \in K} (A_{k} \cup B_{k})$ ;

(е)

$\bigcup_{k \in K} (B \cap A_{k}) = B \cap \left(\bigcup_{k \in K} A_{k}\right)$ ;

(ж)

$\bigcap_{k \in K} (B \cup A_{k}) = B \cup \left(\bigcap_{k \in K} A_{k}\right)$ .

Задача I.1.37

(а)(б)

?

(а)

Доказать, что для любых $K$ , $T$ , $A_{kt}$

\bigcup _{k \in K} \bigcap _{t \in T} A_{kt} \subseteq \bigcap _{t \in T} \bigcup _{k \in K} A_{kt}.

(б)

Доказать, что в утверждении (а) включение нельзя заменить равенством.

Задача I.1.38

(а)(б)(в)

Доказать, что:

?

(а)

если $A_{t} \subseteq B$ для всех $t \in T$ , то $\bigcup_{t \in T} A_{t} \subseteq B$ ;

(б)

если $B \subseteq A_{t}$ для всех $t \in T$ , то $B \subseteq \bigcap_{t \in T} A_{t}$ ;

(в)

если $A_{t} \subseteq B_{t}$ для всех $t \in T$ , то $\bigcup_{t \in T} A_{t} \subseteq \bigcup_{t \in T} B_{t}$ и $\bigcap_{t \in T} A_{t} \subseteq \bigcap_{t \in T} B_{t}$ .

Задача I.1.39

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

$\bigcup_{t \in T} A_{t}$ есть наименьшее множество, содержащее все множества $A_{t}$ ;

(б)

$\bigcap_{t \in T} A_{t}$ есть наибольшее множество, содержащееся во всех множествах $A_{t}$ .

Задача I.1.40

Доказать, что если $\left(\bigcap_{n \in \mathbb {N} \setminus \left\{ 0\right\} } A_{n}\right) \cap \left(\bigcap_{n \in \mathbb {N} \setminus \left\{ 0\right\} } B_{n}\right) = \emptyset$ , то

\bigcap _{n \in \mathbb {N} \setminus \left\{ 0\right\} } A_{n} \subseteq \bigcup _{n \in \mathbb {N} \setminus \left\{ 0\right\} } [A_{n} \cap (B_{n-1} \setminus B_{n})],

где

\left(\bigcup _{n \in \mathbb {N} \setminus \left\{ 0\right\} } A_{n}\right) \cup \left(\bigcup _{n \in \mathbb {N} \setminus \left\{ 0\right\} } B_{n}\right) \subseteq B_{0}.

?

Задача I.1.41

Доказать, что для любой системы множеств $A_{0}, \ldots , A_{n}, \ldots$ существует система попарно непересекающихся множеств $B_{0}, \ldots , B_{n}, \ldots$ такая, что $\bigcup_{n \in \mathbb {N}} A_{n} = \bigcup_{n \in \mathbb {N}} B_{n}$ и $B_{n} \subseteq A_{n}$ .

?

Операции над множествами