Задачи

Доказать сформулированное утверждение. Метрическое пространство является хаусдорфовым топологическим пространством, если под его топологией понимать совокупность всех его открытых множеств, определяемых с помощью метрики.

Доказать сформулированное утверждение. Если $\mathcal{D}$ — база топологии $\Omega$ топологического пространства $X$ и $\mathcal{D} \subset \mathcal{D}_{1} \subset \Omega$, то $\mathcal{D}_{1}$ также является базой топологии этого пространства.

Доказать сформулированное утверждение. Если $X$ — топологическое пространство с топологией $\Omega = \left\{ G\right\}$ и $E \subset X$, то множество $E$ является топологическим пространством с топологией $\Omega_{E} = \left\{ G \cap E\right\} , G \in \Omega$. Топологию $\Omega_{E}$ называют топологией, индуцированной топологией $\Omega$ пространства $X$ на его подмножестве $E$.

Доказать сформулированное утверждение. В метрическом пространстве базой его топологии (см. задачу 1) является совокупность всевозможных $\varepsilon$-окрестностей всех его точек.

Доказать сформулированное утверждение. В метрическом пространстве базой его топологии (см. задачу 1) является совокупность всевозможных $\varepsilon$-окрестностей всех его точек, где $\varepsilon$ — рациональное число.

Доказать сформулированное утверждение. В сепарабельном метрическом пространстве существует счетная база его топологии (см. задачу 1).

Доказать сформулированное утверждение. Для любой точки метрического пространства ее локальную базу топологии образуют все $\varepsilon$-окрестности этой точки, где $\varepsilon = 1 / n$, $n = 1,2, \ldots$

Доказать сформулированное утверждение. Объединение локальных баз топологии всех точек топологического пространства образует базу топологии этого пространства.

Доказать сформулированное утверждение. Объединение двух топологий одного и того же множества может не быть его топологией.

Доказать сформулированное утверждение. Объединение конечной совокупности и пересечение любой совокупности замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Замыкание любого множества в топологическом пространстве является замкнутым множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Замыкание любого множества в топологическом пространстве содержится в каждом замкнутом множестве, содержащем данное множество, т. е. замыкание множества является минимальным содержащим его замкнутым множеством.

Доказать сформулированное утверждение. В хаусдорфовом топологическом пространстве каждая точка является замкнутым множеством.

Привести пример неотделимого топологического пространства, в котором каждая точка является замкнутым множеством.

Доказать, что если $X$ — бесконечное множество и топология на $X$ состоит из дополнений ко всем конечным подмножествам множества $X$, то любое бесконечное множество плотно в $X$.

Доказать, что в хаусдорфовом топологическом пространстве последовательность точек может иметь только один предел.

Пусть $X$ — множество всех функций $x:[0 ; 1] \rightarrow R$. Окрестности точки $x_{0} \in X$ определим следующим образом: зададим произвольно $\varepsilon > 0$ и выберем какое-либо конечное множество точек $t_{k} \in [0 ; 1], k = 1,2, \ldots , n$. Окрестность $U\left(x_{0} ; \varepsilon ; t_{1} ; t_{2} ; \ldots ; t_{k}\right)$ точки $x_{0}$ определим как совокупность всех таких функций $x \in X$, что для всех $k = 1,2, \ldots , n$ выполняется неравенство

Получившееся топологическое пространство обозначим $M[0 ; 1]$. Доказать, что для того чтобы в этом пространстве $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x$, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки $t \in [0 ; 1]$ имело бы место равенство

(иначе говоря, сходимость последовательности функций в построенном пространстве $M[0 ; 1]$ означает поточечную сходимость этой последовательности).

Доказать, что если $X$ — топологическое пространство, $E \subset X$, $x_{n} \in E, n = 1,2, \ldots$, и $x_{0} = \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$, то $x_{0} \in \bar{E}$.

Привести пример топологического пространства, его подмножества $E$ и точки $x_{0} \in \bar{E}$, для которых не существует такой последовательности $x_{n} \in E, n = 1,2, \ldots$, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x_{0}$.

Доказать, что в топологическом пространстве $M[0 ; 1]$ (см. задачу 17) плотно множество непрерывных функций $x:[0 ; 1] \rightarrow R$.

Доказать, что в топологическом пространстве $M[0 ; 1]$ (см. задачу 17) не всякая функция из этого пространства является в нем пределом последовательности непрерывных функций.

Описать все сходящиеся последовательности топологического пространства, точками которого являются действительные числа, а база топологии состоит из следующих множеств:

Доказать, что пересечение любой конечной совокупности множеств, принадлежащих некоторому фильтру, не пусто.

Проверить, что множество образует фильтр. $\varepsilon$-окрестности $\left(x_{0}-\varepsilon ; x_{0}+\varepsilon \right)$ на числовой прямой $R$ заданной точки $x_{0} \in R$.

Проверить, что множество образует фильтр. Проколотые $\varepsilon$-окрестности $\left(x_{0}-\varepsilon ; x_{0}\right) \cup \left(x_{0} ; x_{0}+\varepsilon \right)$ на числовой прямой заданной точки $x_{0} \in R$.

Проверить, что множество образует фильтр. Интервалы вида $(1 ; \beta ), \beta > 1$.

Проверить, что множество образует фильтр. Подмножества $A_{n} = \left\{ n+1 ; n+2 ; \ldots \right\}$ множества натуральных чисел $N$ (этот фильтр называют натуральным фильтром и обозначают $F_{N}$).

Проверить, что множество образует полный фильтр ($X$ — заданное множество). $f = \left\{ A \mid x \in A \subset X\right\}$, где $x$ — фиксированный элемент множества $X$.

Проверить, что множество образует полный фильтр ($X$ — заданное множество). $f = \left\{ B \mid A \subset B \subset X\right\}$, где $A$ — фиксированное подмножество множества $X$.

Проверить, что множество образует полный фильтр ($X$ — заданное множество). Дополнения в множестве натуральных чисел $N$ до всевозможных конечных подмножеств (этот фильтр называют фильтром Фреше и обозначают $f_{N}$).

Доказать сформулированное утверждение. Фильтры в задачах $24-27$ не являются полными.

Доказать сформулированное утверждение. Локальная база топологии любой точки топологического пространства является фильтром.

Доказать сформулированное утверждение. Если $X$ — топологическое пространство, $x$ — его предельная точка, $\mathcal{D}(x)$ — локальная база топологии в этой точке, а $\stackrel{\circ }{\mathcal{D}}(x)$ множество всех проколотых окрестностей $\stackrel{\circ }{U}(x)$ этой базы: $\stackrel{\circ }{U}(x) = U(x) \backslash \left\{ x\right\}$, то $\stackrel{\circ }{\mathcal{D}}(x)$ образует фильтр.

Доказать сформулированное утверждение. Фильтры в задачах 27 и 30 эквивалентны.

Доказать сформулированное утверждение. Если $\mathcal{D}(x)$ — локальная база топологии точки $x$ метрического пространства, состоящая из всех ее $\varepsilon$-окрестностей, а $\mathcal{D}_{0}(x)$ — ее локальная база топологии, состоящая только из $\varepsilon$-окрестностей радиуса $\varepsilon = 1 / n, n = 1,2, \ldots$, то фильтры $\mathcal{D}(x)$ и $\mathcal{D}_{0}(x)$ эквивалентны, причем фильтр $\mathcal{D}_{0}(x)$ является базой фильтра $\mathcal{D}(x)$.

Доказать сформулированное утверждение. Натуральный фильтр $F_{N}$ (см. задачу 27) является базой фильтра Фреше (см. задачу 30).

Доказать сформулированное утверждение. Всякий фильтр является базой некоторого полного фильтра.

Доказать сформулированное утверждение. Если $f_{1}$ — фильтр на множестве $X_{1}, f_{2}$ — фильтр на множестве $X_{2}$ и $f = \left\{ C = A \times B \mid A \in f_{1}, B \in f_{2}\right\}$, то $f$ является фильтром на произведении $X_{1} \times X_{2}$ множеств $X_{1}$ и $X_{2}$. (Фильтр $f$ называют произведением фильтров $f_{1}, f_{2}$ и пишут $f = f_{1} \times f_{2}$.)

Доказать сформулированное утверждение. Если $X = N$ — множество натуральных чисел с дискретной топологией (каждая точка является открытым множеством), то натуральный фильтр $F_{N}$ (см. задачу 27) не имеет предела в $N$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $X = N \cup \left\{ +\infty \right\}$ и локальная база топологии $\mathcal{D}(+\infty )$ состоит из всевозможных множеств $A_{n}$, введенных в задаче 27, а локальная база $\mathcal{D}(n), n \in N$, состоит из одной точки $n$, то натуральный фильтр $F_{N}$ имеет предел: $\lim F_{N} = +\infty$.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы любой фильтр топологического пространства имел не более одного предела, необходимо и достаточно, чтобы пространство было хаусдорфовым.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы точка $x$ топологического пространства являлась пределом некоторого фильтра этого пространства, необходимо, чтобы эта точка являлась пределом каждой базы фильтра, и достаточно, чтобы она являлась пределом по крайней мере одной его базы.

Доказать сформулированное утверждение. Если $X = N, Y$ — топологическое пространство, $F_{N}$ — натуральный фильтр (см. задачу 27), то предел $\lim_{F_{N}} f(n)$ отображения $f(n) = y_{n} \in Y$ совпадает с пределом последовательности $\left(y_{1} ; \ldots ; y_{n} ; \ldots \right)$ в пространстве $Y$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $X = N \times N, Y$ — топологическое пространство, $F_{N}$ — натуральный фильтр (см. задачу 27)$, f = F_{N} \times F_{N}$ (см. задачу 38), $f: N \times N \rightarrow Y, f(m ; n) = y_{m n}$, то предел $\lim_{f} f(m ; n)$ совпадает с пределом двойной последовательности $\lim_{(m, n) \rightarrow \infty } y_{m n}$ в пространстве $Y$.

Построить множество $X$, отображение $f: X \rightarrow R$ и фильтр $f$ на множестве $X$ так, чтобы предел интегральных сумм Римана функции $\varphi : E \rightarrow R$ на заданном измеримом по Жордану множестве $E \subset R^{n}$ (т. е. интеграл $\int_{E} \varphi (t) d t$) совпадал с пределом отображения $f: X \rightarrow R$ по фильтру $f$.

Если $X$ и $Y$ — топологические пространства; $f: X \rightarrow Y$ и фильтр $f$ состоит из окрестностей некоторой локальной базы топологии $\mathcal{D}\left(x_{0}\right)$ точки $x_{0}$, то существование предела $\lim_{\mathbf{f}} f(x)$ равносильно непрерывности отображения $f$ в точке $x_{0}$, причем $\lim_{\mathbf{f}} f(x) = f\left(x_{0}\right)$.

Если $X$ и $Y$ — топологические пространства, $f: X \rightarrow Y$, $x_{0} \in X$ и фильтр $f$ состоит из проколотых окрестностей некоторой локальной базы топологии точки $x_{0}$, то существование предела $\lim_{\mathbf{f}} f(x)$ равносильно существованию предела отображения $f$ по множеству $X \backslash \left\{ x_{0}\right\}$, причем

Если $X$ — произвольное множество, $f$ — фильтр в $X, Y$ линейное пространство, $f: X \rightarrow Y, g: X \rightarrow Y$, отображения $f$ и $g$ имеют предел по фильтру $f, \lambda$ и $\mu$ — числа, то отображение $\lambda f+\mu g$ также имеет предел по фильтру $f$ и

Всякий фильтр в метрическом пространстве, который сильнее некоторой локальной базы топологии точки этого пространства, является фильтром Коши.

Для того чтобы отображение $f: X \rightarrow Y$ произвольного множества $X$ в полное метрическое пространство $Y$ имело предел по некоторому фильтру $f$ множества $X$, необходимо и достаточно, чтобы образ $f(\mathbf{f})$ фильтра $f$ при отображении $f$ был фильтром Коши в пространстве $Y$.

Пусть $X$ и $Y$ — произвольные множества, $Z$ — топологическое пространство, $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z, f_{X}$ и $f_{Y}$ — фильтры соответственно в пространствах $X$ и $Y$, причем фильтр $f\left(f_{X}\right)$ сильнее фильтра $f_{Y}$. Тогда, если отображение $g$ имеет предел по фильтру $f_{Y}$, композиция $g f$ имеет предел по фильтру $f_{X}$ и

Доказать сформулированное утверждение. Если $\varphi \in D$, то при любом $k = 1,2, \ldots \quad \varphi^{(k)} \in D$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $\lim_{n \rightarrow \infty } \varphi_{n} = \varphi$ в $D$, то при любом $k = 1,2, \ldots$

Доказать сформулированное утверждение. Функция $\varphi_{a}(x) = \begin{cases} e^{-a^{2} /\left(a^{2}-x^{2}\right)}, & \text{ если }\left|x\right| < a, \\ 0, & \text{ если }\left|x\right| \geqslant a, \end{cases}$ принадлежит $D$.

Доказать сформулированное утверждение. Для функции $\varphi \in D$ существует функция $\psi \in D$ такая, что $\varphi = \psi^{\prime }$, тогда и только тогда, когда $\int_{-\infty }^{+\infty } \varphi (x) d x = 0$.

Доказать сформулированное утверждение. Две непрерывные на числовой оси функции различны тогда и только тогда, когда различны порожденные ими обобщенные функции.

Доказать сформулированное утверждение. Функционал v.p. $\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{\varphi (x)}{x} d x, \quad \varphi \in D$, является обобщенной функцией (она обычно обозначается $\mathcal{P} \frac{1}{x}$).

Доказать сформулированное утверждение. $\delta$-функция не порождается никакой локально интегрируемой функцией.

Доказать сформулированное утверждение. $\delta$-функция является пределом в $D^{\prime }$ последовательности обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями.

Существуют ли в пространстве $D^{\prime }$ пределы $\lim_{n \rightarrow \infty } \cos n x$, $\lim_{n \rightarrow \infty } \sin n x$? Если они существуют, то чему равны?

Если $f_{n} \in D^{\prime }, n = 1,2, \ldots$, и для любой функции $\varphi \in D$ существует предел числовой последовательности $\left(f_{n}, \varphi \right)$, то функционал $F$, определяемый равенством $(F, \varphi ) = \lim_{n \rightarrow \infty }\left(f_{n}, \varphi \right)$, является обобщенной функцией: $F \in D^{\prime }$.

Если последовательность абсолютно интегрируемых функций $f_{n}(l), n = 1,2, \ldots$, такова, что:

1. каково бы ни было число $c > 0$, при $\left|a\right| < c,\left|b\right| < c$ последовательность

   $$\left|\int _{a}^{b} f_{n}(t) d t\right|, \quad n = 1,2, \ldots$$

   ограничена сверху;

2. при любых фиксированных $a$ и $b$, отличных от нуля,

   $$\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{a}^{b} f_{n}(x) d x = \begin{cases} 0 & \text{ при } a < b < 0 \text{ и } 0 < a < b, \\ 1 & \text{ при } a < 0 < b \end{cases}$$

то ее называют $\delta$-образной.

Для любой непрерывной функции $\varphi : R \rightarrow R$ и любой $\delta$-образной последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ имеет место равенство

Если $f_{t}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-x^{2} / t}$, то в пространстве $D^{\prime }$ выполняется равенство $\lim_{t \rightarrow +0} f_{t}(x) = \delta (x)$.

В пространстве $D^{\prime }$ существует предел $\lim_{y \rightarrow +0} \frac{1}{x \pm i y}$ (он обозначается $\frac{1}{x \pm i 0}$) и справедлива формула

(см. задачу 57).

Всякая обобщенная функция является пределом обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями. В этом смысле пространство обобщенных функций является "пополнением" пространства обычных локально интегрируемых функций.

Обобщенную функцию $f \in D^{\prime }$ называют обращающейся в нуль на интервале $(a ; b)$, если для всех $\varphi \in D, \operatorname {supp} \varphi \subset (a ; b)$, имеет место равенство $(f ; \varphi ) = 0$. Для того чтобы непрерывная функция обращалась в нуль в каждой точке интервала, необходимо и достаточно, чтобы она обращалась в нуль на этом интервале как обобщенная функция.

Если функция $f: R \rightarrow C$ непрерывно дифференцируема, то для обобщенной функции, порожденной ее производной $f^{\prime }$, выполняется соотношение $\left(f^{\prime }, \varphi \right) = -\left(f, \varphi^{\prime }\right), \quad \varphi \in D$.

Производная $f^{\prime }$ обобщенной функции $f \in D^{\prime }$ также является обобщенной функцией из $D^{\prime }$.

Производная любого порядка обобщенной функции из пространства $D^{\prime }$ является обобщенной функцией из того же пространства.

Если $f$ и $g$ — обобщенные функции, а $\lambda , \mu \in C$, то $(\lambda f + \mu g)^{\prime } = \lambda f^{\prime }+\mu g^{\prime }$.

Вычислить производную обобщенной функции. $y = \theta \left(x-x_{0}\right) = \begin{cases} 1 & \text{ при } x \geqslant x_{0}, \\ 0 & \text{ при } x < x_{0}. \end{cases}$

Вычислить производную обобщенной функции. $y = \delta \left(x-x_{0}\right)$.

Вычислить производную обобщенной функции. $y = \left|x\right|$.

Вычислить производную обобщенной функции. $y = x_{+}$, где $x_{+} = \begin{cases} x & \text{ при } & x \geqslant 0, \\ 0 & \text{ при } & x < 0. \end{cases}$

Вычислить производную обобщенной функции. $y = \ln \left|x\right|$.

Вычислить производную обобщенной функции. $y = x_{+}^{\lambda } = \begin{cases} x^{\lambda } & \text{ при } x > 0, \\ 0 & \text{ при } x < 0, \end{cases} \quad -1 < \lambda < 0$.

Вычислить производную обобщенной функции. $y = \ln x_{+} = \begin{cases} \ln x & \text{ при } & x > 0, \\ 0 & \text{ при } & x < 0. \end{cases}$

Найти производные $n$-го порядка обобщенной функции. $y = \delta (x)$.

Найти производные $n$-го порядка обобщенной функции. $y = x_{+}^{k}, k = 0,1,2, \ldots$

Доказать сформулированное утверждение. $\left(\frac{d}{d x}+\lambda \right) \theta (x) e^{-\lambda x} = \delta (x)$.

Доказать сформулированное утверждение. $\left(\frac{d^{2}}{d x^{2}}+\omega^{2}\right) \frac{\theta (x) \sin \omega x}{\omega } = \delta (x)$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $\delta_{\varepsilon }(x) = \begin{cases} 1 / \varepsilon & \text{ при } & \left|x\right| < \varepsilon / 2, \\ 0 & \text{ при } & \left|x\right| \geqslant \varepsilon / 2, \end{cases}$ то в пространстве $D^{\prime }$ существует предел

Доказать сформулированное утверждение. Если

где функции $f_{1}$ и $f_{2}$ непрерывны и кусочно непрерывно дифференцируемы на $R$ (следовательно, в частности, существуют пределы $f(x_{0} \pm 0)$) и

(см. задачу 71), то функция $g(x)$ непрерывна на $R$, имеет локально интегрируемую производную $g^{\prime }$ и

Доказать сформулированное утверждение. Если $f$ — кусочно гладкая на $R$ функция, имеющая в точках $x_{1}, \ldots , x_{n}$ разрывы первого рода со скачками $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}$, то

где $f^{\prime }$ — обобщенная производная функции $f$, а $\frac{d f(x)}{d x}$ — обобщенная функция, порожденная обычной при $x \neq x_{k}, k = 1,2, \ldots , n$, производной функции $f$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $f_{n} \in D^{\prime }, n = 1,2, \ldots , f \in D^{\prime }$ и $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n} = f$, то для любого $k = 1,2, \ldots$ в пространстве $D^{\prime }$ имеет место равенство $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}^{(k)} = f^{(k)}$.

Доказать сформулированное утверждение. В пространстве обобщенных функций сходящиеся ряды можно почленно дифференцировать любое число раз: если $f = \sum_{n = 1}^{\infty } f_{n}$, то $f^{(k)} = \sum_{n = 1}^{\infty } f_{n}^{(k)}$ в $D^{\prime }, k = 1,2, \ldots$

Доказать сформулированное утверждение. В пространстве $D^{\prime }$ имеют место равенства

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая функция $\varphi$ : $R \rightarrow C$ принадлежала пространству $S$, необходимо и достаточно, чтобы для любых неотрицательных целых $m$ и $n$ выполнялось условие

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы $\lim_{n \rightarrow \infty } \varphi_{n} = \varphi$, необходимо и достаточно, чтобы

Доказать сформулированное утверждение. Если $\lim_{n \rightarrow \infty } \varphi_{n} = \varphi$ в $S$, то для любого $m = 1,2, \ldots$ и любого $x \in R$ имеет место

Доказать сформулированное утверждение. Пространство основных функций $D$ содержится в пространстве основных функций медленного роста $S$, причем если $\lim_{n \rightarrow \infty } \varphi_{n} = \varphi$ в $D$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \varphi_{n} = \varphi$ в $S$.

Доказать сформулированное утверждение. $D \neq S$.

Доказать сформулированное утверждение. Обобщенная функция, порожденная локально интегрируемой функцией $e^{x}$, не продолжаема с множества основных функций $D$ на множество основных функций $S$, т. е. не продолжаема в элемент пространства $S^{\prime }$.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $D$ плотно в пространстве $S$, т. е. любая функция $\varphi \in S$ является в $S$ пределом последовательности функций $\varphi_{n} \in D, n = 1,2, \ldots$

Доказать сформулированное утверждение. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то функционал $f$, определенный формулой

принадлежит пространству $S^{\prime }$.

Доказать сформулированное утверждение. Если функция $f: R \rightarrow C$ локально интегрируема и для нее справедлива оценка $\left|f(x)\right| \leqslant c\left|x\right|^{k}$, где $x$ и $k$ — неотрицательные постоянные, то функционал $f$, определяемый формулой

принадлежит пространству $S^{\prime }$.

Доказать сформулированное утверждение. Обобщенная функция $\frac{1}{x+i 0} \in D^{\prime }$ (см. задачу 64) продолжаема в обобщенную функцию медленного роста.

Доказать сформулированное утверждение. Для производных обобщенных функций медленного роста справедливы полные аналоги утверждений задач $69,70,85$ и 86.

Доказать сформулированное утверждение. Если $\varphi \in S$, то при любом $k = 1,2, \ldots$ функция $x^{k} \varphi (x)$ абсолютно интегрируема на всей числовой оси, и потому для нее определено преобразование Фурье.

Доказать сформулированное утверждение. Если $\varphi \in S$, то $F(\varphi ) \in S$ и $F^{-1}(\varphi ) \in S$ ($F$ — преобразование Фурье, а $F^{-1}$ — обратное преобразование Фурье).

Доказать сформулированное утверждение. Если $\varphi \in S$, то $F^{-1}(F(\varphi )) = \varphi$ и $F\left(F^{-1}(f)\right) = \varphi$.

Доказать сформулированное утверждение. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье отображают взаимно однозначно, линейно и непрерывно пространство $S$ на себя. (Отображение $F: S \rightarrow S$ называют непрерывным, если из условия $\lim_{n \rightarrow \infty } \varphi_{n} = \varphi , \varphi_{n} \in S, n = 1,2, \ldots$, следует, что $\lim_{n \rightarrow \infty } F\left(\varphi_{n}\right) = F(\varphi )$.)

Доказать сформулированное утверждение. Если функция $f(x)$ непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой оси и $\varphi \in S$, то

Привести пример такой основной функции $\varphi$ из пространства $D$, что ее преобразование Фурье $F(\varphi )$ не принадлежит этому пространству.

Найти прямое и обратное преобразования Фурье для $\delta$-функции.

Доказать сформулированное утверждение. Преобразование Фурье обобщенной функции $f \in S^{\prime }$ также является обобщенной функцией класса $S^{\prime }$, т. е. $F(f)$ — линейный непрерывный функционал над пространством $S$.

Доказать сформулированное утверждение. Для любой обобщенной функции $f \in S^{\prime }$ имеют место соотношения $F^{-1}(F(f)) = F\left(F^{-1}(f)\right) = f$.

Доказать сформулированное утверждение. Прямое $F$ и обратное $F^{-1}$ преобразования Фурье отображают пространство $S^{\prime }$ на себя линейно, взаимно однозначно и непрерывно (непрерывность отображения пространства $S^{\prime }$ определяется аналогично непрерывности отображения $S \rightarrow S$ в задаче 102).

Доказать сформулированное утверждение. Пусть $\psi : R \rightarrow C$ — такая бесконечно дифференцируемая функция, что для любой ее производной $\psi^{(n)}, n = 0,1,2, \ldots$, существуют такие постоянные $C_{n}$ и $C_{n}^{\prime }$, что для всех $x \in R$ выполняется неравенство $\left|\psi^{(n)}(x)\right| \leqslant C_{n}^{\prime }(1+\left|x\right|)^{C_{n}}$. Тогда, если $\varphi \in S$, то $\psi \varphi \in S$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $f \in S^{\prime }$, а функция $\psi$ удовлетворяет условиям задачи 109, то $\psi f \in S^{\prime }$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $f \in S^{\prime }$, то $F\left(f^{(n)}\right) = (i x)^{n} F(f)$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $f \in S^{\prime }$, то $F^{(n)}(f) = (-i)^{n} F\left(x^{n} f\right)$.

Найти преобразование Фурье обобщенной функции. $\delta^{(n)}$.

Найти преобразование Фурье обобщенной функции. $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$.

Найти преобразование Фурье обобщенной функции. Сдвинутой $\delta$-функции $\delta (x-a)$.

Найти преобразование Фурье обобщенной функции. $\delta (x-a)+\delta (x+a)$.

Найти преобразование Фурье обобщенной функции. $\delta (x-a)-\delta (x+a)$.

Найти преобразование Фурье обобщенной функции. Функции Хевисайда $\theta$ (см. пример 3).