Гильбертовы пространства

Доказать сформулированное утверждение. Для каждого элемента $x$ пространства с почти скалярным произведением имеет место равенство $(x, 0) = 0$.

Доказать сформулированное утверждение. Почти скалярное произведение в действительном линейном пространстве является билинейным отображением, а в комплексном не является.

Доказать сформулированное утверждение. Для почти скалярного произведения в действительном (комплексном) линейном пространстве справедливо неравенство

(неравенство Коши-Буняковского).

Доказать сформулированное утверждение. Для почти скалярного произведения справедливо неравенство

Доказать сформулированное утверждение. Если $(x, y)$ — почти скалярное (скалярное) произведение в линейном пространстве, то функционал $\left\| x\right\| = \sqrt{(x, x)}$ является полунормой (нормой) в этом пространстве.

Доказать сформулированное утверждение. В множестве действительных чисел $R$ обычная операция умножения является скалярным произведением, а в множестве комплексных чисел $C$ скалярным произведением чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ является произведение $z_{1} \overline{z_{2}}$.

Доказать сформулированное утверждение. В действительном $n$-мерном векторном пространстве $R^{n}$ функционал

является скалярным произведением, а соответствующая ему норма совпадает с длиной вектора.

Доказать сформулированное утверждение. В комплексном $n$-мерном векторном пространстве $C^{n}$ (см. задачу 3) функция

является скалярным произведением.

Доказать сформулированное утверждение. В действительном $n$-мерном векторном пространстве $R^{n}$ функция

является почти скалярным произведением и не является скалярным.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве $R L_{2}(a ; b),-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$, состоящем из действительных функций с интегрируемым (вообще говоря, в несобственном смысле) на интервале $(a ; b)$ квадратом, функционал

является почти скалярным произведением и не является скалярным.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве непрерывных на отрезке $[a ; b]$ функций $x:[a ; b] \rightarrow R$ функционал

является скалярным произведением. Полученное пространство со скалярным произведением обозначают $C L_{2}[a ; b]$.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве, состоящем из комплекснозначных функций, квадрат модуля которых интегрируем на конечном или бесконечном интервале, функционал

является почти скалярным и не является скалярным произведением.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве комплекснозначных непрерывных на отрезке $[a ; b]$ функций функционал (9) является скалярным произведением.

Доказать сформулированное утверждение. В пространстве $C L_{2}(a ; b)$ действительных непрерывных на конечном или бесконечном интервале $(a ; b),-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$, функций, квадрат которых интегрируем на этом интервале, функционал

является скалярным произведением.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве $l_{2}$ действительных числовых последовательностей (см. пример 2 в § 18) функционал

является скалярным произведением. Привести пример почти скалярного произведения в этом линейном пространстве.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве последовательностей $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ комплексных чисел (см. задачу 13 из § 19), для которых $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{2} < +\infty$, функционал

является скалярным произведением.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве $l_{2}$ (см. задачу 15) функционал

при $m > 1$ является почти скалярным и не является скалярным произведением.

Доказать сформулированное утверждение. Пусть $X$ — линейное пространство с почти скалярным произведением. Элементы $x \in X, y \in X$ называют эквивалентными, если $\left\| x-y\right\|^{2} \equiv (x-y, x-y) = 0$. Обозначим $X$ множество, элементами которого являются классы эквивалентных элементов пространства $X$. Пусть $x \in \widetilde{x} \in X, y \in \widetilde{y} \in \widetilde{X}, \lambda$ и $\mu$ — числа. Определим $\lambda \widetilde{x}+\mu \widetilde{y}$ как элемент множества $\widetilde{X}$, содержащий $\lambda x+\mu y$, и положим $(\widetilde{x}, \widetilde{y}) = (x, y)$. Тогда эти определения корректны, т. е. не зависят от выбора элементов $x \in \widetilde{x}, y \in \widetilde{y}$ и $X$ является линейным пространством, а функция $(\widetilde{x}, \widetilde{y})$ — скалярным произведением в нем.

Найти углы треугольника с вершинами в точках $x_{1}(t) \equiv 0$, $x_{2}(t) \equiv 1, x_{3}(t) \equiv t$ в пространстве $C L_{2}[-1 ; 1]$ (см. задачу 11 из § 20).

В линейном пространстве с почти скалярным произведением для любых двух элементов $x$ и $y$ пространства имеет место равенство

(равенство параллелограмма).

В линейном пространстве с почти скалярным произведением для любых трех элементов $x, y$ и $z$ пространства имеет место равенство

(равенство Аполлония).

В действительном банаховом пространстве можно ввести скалярное произведение $(x ; y)$, для которого $\left\| x\right\|^{2} = (x, x)$, тогда и только тогда, когда для любых точек $x, y$ этого пространства выполняется равенство

В нормированном пространстве $C[a ; b]$ нельзя ввести скалярное произведение, согласованное с нормой этого пространства в смысле задачи 22.

Операции сложения элементов и умножения их на число являются непрерывными в пространстве с почти скалярным произведением.

Почти скалярное произведение в линейном пространстве $X$ является непрерывной на $X$ функцией.

Если в линейном пространстве $X$ с почти скалярным произведением задан сходящийся ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} = x, x_{n} \in X$, то для всякого элемента $a \in X$ числовой ряд, получающийся из данного почленным умножением его на $a$, также сходится и $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(x_{n}, a\right) = (x, a)$.

Если в пространстве $R L_{2}(a ; b)$ (см. задачу 10) сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}(t)$ и его сумма равна $x(t)$, т. е. $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}(t) = x(t)$, то для любой функции $\varphi (t) \in R L_{2}[a ; b]$ имеет место равенство

в частности, для конечного интервала $(a, b)$ имеет место равенство

т. е. заданный ряд можно почленно интегрировать.

Все $n$-мерные линейные пространства со скалярным произведением изоморфны между собой.

Всякое $n$-мерное линейное пространство со скалярным произведением полно в смысле метрики, порожденной скалярным произведением.

Всякое линейное пространство со скалярным произведением, изоморфное гильбертову пространству, является гильбертовым пространством.

Всякое линейное пространство (действительное или комплексное) со скалярным произведением содержится и плотно в некотором гильбертовом пространстве, называемом его пополнением.

Все пополнения линейного пространства со скалярным произведением изоморфны между собой.

Множество $\left\{ x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right) \in l_{2} \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} = 0\right\}$ является линейным пространством, плотным в пространстве $l_{2}$ (см. задачу 15).

Пространство $C L_{2}[a ; b]$ (см. задачу 11) не является гильбертовым пространством.

Пространство $C L_{2}[a ; b]$ (см. задачу 11) плотно в некотором гильбертовом пространстве (это пространство обозначают $L_{2}[a ; b]$).

Будет ли в линейном пространстве $C L_{2}^{1}[a ; b]$ непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a ; b]$ функций функционал

Найти угол между функциями $x(t) = \sin t$ и $y(t) = t$ в пространстве:

Имеет место вложение (см. § 19, п. 2) $C[a ; b] \subset L_{2}[a ; b]$ (см. задачу 35).

Пространство $L_{2}[a ; b]$ (см. задачу 35) сепарабельное.

Если $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{a}^{b}\left[x(t)-x_{n}(t)\right]^{2} d t = 0$, то последовательность функций $\left\{ x_{n}(t)\right\}$ называют сходящейся в смысле среднего квадратичного на отрезке $[a ; b]$ к функции $x(t)$.

Функция $x(t) = 1 / \sqrt{t}$ не является пределом в смысле среднего квадратичного на отрезке $[0 ; 1]$ последовательности непрерывных функций.

Пространство $l_{2}$ (см. задачу 15) гильбертово.

Если система $\left\{ x_{\alpha }\right\} , \alpha \in \mathbf{U}$, элементов линейного пространства с почти скалярным произведением ортогональна и $\left\| x_{\alpha }\right\| \neq 0$ для всех $\alpha \in \mathbf{U}$, то она линейно независима.

Если элементы $x_{1}, x_{2}, \ldots$ и $y_{1}, y_{2}, \ldots$ линейного пространства с почти скалярным произведением таковы, что

(такие системы называют биортогональными), то каждая из этих систем линейно независима.

Для того чтобы система элементов $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ линейного пространства со скалярным произведением была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама

равнялся нулю.

Если $\left\{ e_{\alpha }\right\} , \alpha \in \mathbf{U},$ — ортонормированная система в линейном пространстве со скалярным произведением, то для любых $\alpha \in \mathbf{U}$ и $\beta \in \mathbf{U}, \alpha \neq \beta$, имеет место равенство $\left\| e_{\alpha }-e_{\beta }\right\| = \sqrt{2}$.

Если линейное пространство со скалярным произведением сепарабельно, то всякая его ортонормированная система не более чем счетная.

Тригонометрическая система функций

ортогональна в пространстве $L_{2}[-\pi ; \pi ]$ (см. задачу 35), и соответствующая ортонормированная система имеет вид

Многочлены Лежандра $P_{n}(t), n = 0,1,2, \ldots$ (см. задачу 28 из $\S 19)$ являются ортогональной системой в пространстве $L_{2}[-1 ; 1]$ (см. задачу 35).

Для любого отрезка $[a ; b]$, многочлены Лежандра $P_{n}(t), n = 0,1,2, \ldots$ (см. задачу 28 из § 19) образуют полную систему в пространстве $L_{2}[a ; b]$ (см. задачу 35).

Система функций $\left\{ e^{i n t}\right\} , n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, образует полную ортогональную систему в пространстве комплекснозначных непрерывных на отрезке $[-\pi ; \pi ]$ функций со скалярным произведением (см. задачу 13) $(x, y) = \int_{-\pi }^{\pi } x(t) \overline{y(t)} d t$.

Последовательность функций $\sin (2 n-1) t / 2, n = 1,2, \ldots$, образует ортогональную систему в пространстве $L_{2}[0 ; \pi ]$ (см. задачу 35).

Функции $\sin t, \sin 3 t, \sin 5 t, \sin 7 t, \sin 9 t$ линейно независимы.

Если $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — ортогональная система в линейном пространстве со скалярным произведением и $x = x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}$, то $\left\| x\right\|^{2} = \sum_{k = 1}^{n}\left\| x_{k}\right\|^{2}$.

Если $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$ — ортогональная система в гильбертовом пространстве, то ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$, сходится в этом пространстве тогда и только тогда, когда сходится числовой ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}\right\|^{2}$.

Если $x_{n}, n = 1,2, \ldots$, — линейно независимая система элементов линейного пространства $X$ со скалярным произведением, то существует такая ортогональная система элементов $y_{n}, y_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, этого пространства, что

(здесь $\alpha_{n k}$ — действительные числа, если рассматриваемое линейное пространство действительное, и комплексные, если оно комплексное).

Построение системы $\left(y_{1} ; \ldots ; y_{n} ; \ldots \right)$ по системе $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ называется ортогонализацией последней.

Провести ортогонализацию системы функций $x_{0}(t) = 1$, $x_{1}(t) = t, x_{2}(t) = t^{2}, x_{3}(t) = t^{3}$ в пространстве:

Доказать сформулированное утверждение. Если в условиях задачи $55\left(z_{1} ; \ldots ; z_{n} ; \ldots \right)$ — ортогональная система и $z_{n} = \beta_{n 1} x_{1}+\ldots +\beta_{n n} x_{n}$, то $y_{n}$ и $z_{n}$ отличаются друг от друга скалярным множителем: $z_{n} = \lambda_{n} y_{n}, n = 1,2, \ldots$

Доказать сформулированное утверждение. В результате ортогонализации (см. задачу 55) системы степеней $1, t, t^{2}, \ldots , t^{2}, \ldots$ в пространстве $L_{2}[-1 ; 1]$ (см. задачу 35) получатся многочлены, которые лишь числовыми множителями могут отличаться от многочленов Лежандра (см. задачу 28 из § 19).

Доказать сформулированное утверждение. Пусть $e_{k}, k = 1,2, \ldots , n$, — конечная ортогональная система элементов линейного пространства $X$ со скалярным произведением и $\mathscr {L}\left(e_{1} ; \ldots ; e_{n}\right)$ — линейная оболочка этих элементов. Тогда элемент наилучшего приближения элемента $x \in X$ в подпространстве $\mathscr {L}\left(e_{1} ; \ldots ; e_{n}\right)$ имеет вид $x_{0} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} e_{k}$, где $a_{k}$ — коэффициенты

Фурье элемента $x$ по системе $\left\{ e_{k}\right\} , k = 1,2, \ldots , n$. При этом

Доказать сформулированное утверждение. Элемент $x_{0} = \sum_{j = 1}^{n} \alpha_{j} e_{j}$ является элементом наилучшего приближения элемента $x \in X$ в подпространстве $\mathscr {L}\left(e_{1} ; \ldots ; e_{n}\right) \in X$ тогда и только тогда, когда элемент $x-x_{0}$ ортогонален ко всем элементам из $\mathscr {L}\left(e_{1} ; \ldots ; e_{n}\right)$, что записывается в виде $x-x_{0} \perp \mathscr {L}\left(e_{1} ; \ldots ; e_{n}\right)$. (Обобщение этой задачи на случай бесконечного множества $\left\{ e_{n}\right\}$ см. в задаче 91.)

Доказать сформулированное утверждение. Если $e_{n} \subset X, n = 1,2, \ldots , x \in X$ и $E_{n}(x)$ — наилучшее приближение элемента $x$ к пространству $\mathscr {L}\left(e_{1} ; e_{2} ; \ldots ; e_{n}\right)$, то $E_{n+1}(x) \leqslant E_{n}(x)$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $e_{n} \in X, e_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, — ортогональная система в линейном пространстве со скалярным произведением $X$, то частичные суммы $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} e_{k}$ ряда Фурье элемента $x$ являются элементами его наилучшего приближения в пространстве $\mathscr {L}\left(e_{1} ; e_{2} ; \ldots ; e_{n}\right)$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $s_{n}$ — частичные суммы ряда Фурье элемента $x$ линейного пространства со скалярным произведением $X$ по ортогональной системе $e_{n} \in X, e_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, то числовая последовательность $\left\{ \left\| x-s_{n}\right\| \right\}$ убывает.

Доказать сформулированное утверждение. Для коэффициентов Фурье $a_{n}$ элемента $x$ линейного пространства со скалярным произведением $X$ по ортогональной системе $e_{n} \in X, e_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, выполняется неравенство

(неравенство Бесселя).

Доказать сформулированное утверждение. Если существует такая постоянная $c > 0$, что для всех элементов ортогональной системы $e_{n}, n = 1,2, \ldots$, линейного пространства со скалярным произведением $X$ выполняются неравенства $\left\| e_{n}\right\| \geqslant c$ (в частности, если эта система ортонормированная), то коэффициенты Фурье каждого элемента $x \in X$ по данной системе стремятся к нулю при $n \rightarrow \infty$.

Доказать сформулированное утверждение. Если пространство $X$ гильбертово, то ряд Фурье $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} e_{n}$ каждого элемента $x \in X$ по любой ортогональной системе $e_{n} \in X$, $e_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, сходится в пространстве $X$. Если $x_{0} = \sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} e_{n}$ — сумма этого ряда, то элемент $x-x_{0}$ ортогонален ко всем элементам системы $\left(e_{1} ; \ldots ; e_{n} ; \ldots \right)$.

Доказать сформулированное утверждение. Ряд Фурье элемента $x$ линейного пространства со скалярным произведением $X$ по ортогональной системе $e_{n} \in X, e_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, сходится к этому элементу тогда и только тогда, когда выполняется равенство

(равенство Парсеваля), где $a_{n}$ — коэффициенты Фурье элемента $x$ по системе $\left(e_{1} ; \ldots ; e_{n} ; \ldots \right)$.

Доказать сформулированное утверждение. Ряд Фурье по ортогональной системе каждого элемента линейного пространства со скалярным произведением сходится к самому этому элементу тогда и только тогда, когда данная ортогональная система является полной.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы ортогональная система была полной в линейном пространстве со скалярным произведением, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента пространства выполнялось относительно этой системы равенство Парсеваля (10).

Доказать сформулированное утверждение. Если ортогональная система полная в линейном пространстве со скалярным произведением, то элемент пространства, у которого все коэффициенты Фурье по этой системе равны нулю, сам равен нулю.

Доказать сформулированное утверждение. Из равенства всех коэффициентов Фурье у двух элементов линейного пространства со скалярным произведением по полной ортогональной системе следует равенство этих элементов.

Доказать сформулированное утверждение. Если в линейном пространстве со скалярным произведением $X$ для элемента $x \in X$ существует его представление в виде $x = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n} e_{n}$, где $c_{n} \in X, e_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, — ортогональная система, то это представление единственно и коэффициенты $\lambda_{n}$ являются коэффициентами Фурье элемента $x$ по системе $\left(e_{1} ; \ldots ; e_{n} ; \ldots \right)$.

Доказать сформулированное утверждение. Всякая полная ортогональная система $e_{n} \in X, e_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, является базисом в линейном пространстве со скалярным произведением.

Доказать сформулированное утверждение. В гильбертовом пространстве $X$ ортогональная система $e_{n} \in X, e_{n} \neq 0, n = 1,2, \ldots$, является полной тогда и только тогда, когда она замкнутая.

Привести пример замкнутой системы в некотором линейном пространстве со скалярным произведением, которая не является полной. Существуют ли полные системы, не являющиеся замкнутыми?

Доказать сформулированное утверждение. Элементы $e_{n} = \left(x_{1}^{(n)} ; \ldots ; x_{m}^{(n)} ; \ldots \right), x_{n}^{(n)} = 1, x_{m}^{(n)} = 0$ при $m \neq n, n = 1,2, \ldots$, образуют ортонормированный базис в пространстве $l_{2}$ (см задачу 15).

Доказать сформулированное утверждение. Многочлены Лежандра (см. задачу 28 из § 19) образуют ортогональный базис в пространстве $L_{2}[-1 ; 1]$ (см. задачу 35).

Доказать сформулированное утверждение. Тригонометрическая система $1, \cos t, \sin t, \ldots , \cos n t, \sin n t, \ldots$ образует ортогональный базис в пространстве $L_{2}[-\pi ; \pi ]$ (см. задачу 35).

Доказать сформулированное утверждение. Функции $\frac{1}{\sqrt{b-a}} \exp \left\{ \frac{2 \pi i n(t-a)}{b-a}\right\} , \quad n = 0,1,2, \ldots$, образуют ортонормированный базис в пространстве, являющемся пополнением (см. задачу 31) пространства непрерывных на отрезке $[a, b]$ комплекснозначных функций со скалярным произведением (9).

Доказать сформулированное утверждение. Функции $\sqrt{2 / \pi } \sin n t, n = 1,2, \ldots$, образуют ортонормированный базис в пространстве $L_{2}[0 ; \pi ]$, а в пространстве $L_{2}[-\pi ; \pi ]$ (см. задачу 35) являются ортогональной системой, но не базисом.

Доказать сформулированное утверждение. Функции $1, \sin \frac{2 \pi n(t-a)}{b-a}, \cos \frac{2 \pi n(t-a)}{b-a}, \quad n = 1,2, \ldots$, ортогональны в пространстве $C L_{2}^{1}[a ; b]$ (см. задачу 36).

Доказать сформулированное утверждение. Каждая функция $x \in R L_{2}[-\pi ; \pi ]$ (см. задачу 10) раскладывается в ряд Фурье по тригонометрической системе функций сходящийся в смысле среднего квадратичного (см. задачу 40):

причем имеет место равенство Парсеваля

Доказать сформулированное утверждение. Если у функции $x \in R L_{2}[-\pi ; \pi ]$ (см. задачу 10) все ее коэффициенты Фурье по тригонометрической системе равны нулю, то она эквивалентна нулю (см. задачу 88 из § 19).

Доказать сформулированное утверждение. Во всяком сепарабельном линейном пространстве со скалярным произведением существует ортонормированный базис.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $l_{2}$ (см. задачу 15) сепарабельно.

Доказать сформулированное утверждение. Все сепарабельные бесконечномерные пространства изоморфны между собой.

Доказать сформулированное утверждение. Если подпространство $Z$ пространства $X$ является ортогональным дополнением подпространства $Y$ того же пространства, то и $Y$ является ортогональным дополнением подпространства $Z$.

Доказать сформулированное утверждение. Если множества $Y$ и $Z$ являются замкнутыми подпространствами пространства $X$, то и их сумма (см. § 19, п. 1), $Y+Z$ является замкнутым подпространством пространства $X$.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы подпространство $Y$ пространства $X$ было плотно в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы из условия $x \perp Y$ (т. е. $(x, y) = 0$ для всех $y \in Y)$ следовало, что $x = 0$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $Y$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $X$ и $x_{0} \in X$, то существует единственный элемент $y_{0} \in Y$ такой, что

(элемент $y_{0}$ называют ортогональной проекцией элемента $x_{0}$ в пространство $Y$).

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы элемент $y_{0}$ был ортогональной проекцией элемента $x_{0}$ гильбертова пространства $X$ в его замкнутое подпространство $Y$ (см. задачу 90), необходимо и достаточно, чтобы для всех $y \in Y$ выполнялось условие $\left(x_{0}-y_{0}, y\right) = 0$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $Y^{\perp }$ — ортогональное дополнение замкнутого подпространства $Y$ гильбертова пространства $X$, то

причем, если $x_{0} = y_{0}+z_{0} \in X, y_{0} \in Y, z_{0} \in Y^{\perp }$, то

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы элемент $x$ пространства $X$ был ортогонален подпространству $Y \subset X$, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента $y \in Y$ выполнялось неравенство $\left\| x\right\| \leqslant \left\| x-y\right\|$.

Доказать сформулированное утверждение. Для любого подмножества $E$ пространства $X$ множество $E^{\perp }$ является замкнутым подпространством $X$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $E$ — подмножество пространства $X$ со скалярным произведением, то имеет место включение $E \subset \left(E^{\perp }\right)^{\perp }$. Возможно ли здесь строгое включение?

Доказать сформулированное утверждение. Для подмножества $E$ пространства $X$ равенство $\left(E^{\perp }\right)^{\perp } = E$ выполняется тогда и только тогда, когда подмножество $E$ является замкнутым подпространством пространства $X$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $E_{1} \subset E_{2} \subset X$, то $E_{1}^{\perp } \supset E_{2}^{\perp }$.

Если $X$ — гильбертово пространство и $X = Y \oplus Z$, то следует ли отсюда, что $Z = Y^{\perp }$? А в случае конечномерного пространства?

Доказать сформулированное утверждение. Если $Y = \left\{ x \in C L_{2}[-1 ; 1] \mid x(t) = 0 \text{ для всех } t \in [0 ; 1]\right\}$ (см. задачу 14), то $Y$ — подпространство пространства $C L_{2}[-1 ; 1]$. Описать пространство $Y^{\perp }$. Будет ли справедливо разложение $C L_{2}[-1 ; 1] = Y \oplus Y^{\perp }$?

Доказать сформулированное утверждение. Множество $Y = \left\{ x(t) \in C L_{2}^{1}[a ; b] \mid \int_{a}^{b} x(t) d t = 0\right\}$ является подпространством пространства $C L_{2}^{1}[a ; b]$ (см. задачу 36). Найти $Y^{\perp }$.

Доказать сформулированное утверждение. Если

то $\overline{Y+Z} = l_{2}$, но $Y+Z \neq l_{2}$, и поэтому $Y+Z$ не является замкнутым подпространством пространства $l_{2}$.

Доказать сформулированное утверждение. Для всякого линейного ограниченного функционала $f$ действительного (комплексного) гильбертова пространства $X$ существует и притом единственный элемент $a \in X$ такой, что для всех $x \in X$ выполняется равенство $f(x) = (x, a)$, причем $\left\| f\right\| = \left\| a\right\|$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $A$ — линейный ограниченный оператор в линейном пространстве $X$ со скалярным произведением, то

Доказать сформулированное утверждение. Если $A$ — линейный ограниченный оператор в линейном пространстве $X$ со скалярным произведением, то функция $f(x ; y) = (A x, y)$ является билинейным функционалом и $\left\| f\right\| = \left\| A\right\|$.

Доказать сформулированное утверждение. Для всякого ограниченного билинейного функционала $f$ в гильбертовом пространстве $X$ существует единственный линейный ограниченный оператор $A$ такой, что $f(x ; y) = (A x, y)$ для всех $x \in X$, $y \in X$.