Задачи

Доказать сформулированное утверждение. В силу обычных операций над числами множество всех действительных (комплексных) чисел образует действительное (комплексное) линейное пространство.

Доказать сформулированное утверждение. Конечномерное векторное пространство $R^{n}$ в силу обычных операций над векторами $\mathbf{x} = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right), x_{k} \in R, k = 1,2, \ldots , n$, образует действительное векторное пространство.

Доказать сформулированное утверждение. Пусть $C^{n}$ — множество всевозможных упорядоченных множеств $z = \left(z_{1} ; \ldots ; z_{n}\right)$ из $n$ комплексных чисел $z_{k} \in C, k = 1,2, \ldots , n$, с линейной операцией, определенной следующим образом: если

то

Тогда $C^{n}$ является комплексным линейным пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Пусть $E$ — произвольное множество. Тогда совокупность $F(E)$ всех функций $f: E \rightarrow R$ (соответственно $f: E \rightarrow C$) при обычном определении сложения функций и умножения их на действительное (комплексное) число является действительным (комплексным) линейным пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Множество $\mathcal{P}^{(n)}$ (соответственно $\mathcal{P}_{C}^{(n)}$) всех многочленов степеней, не превышающих заданного натурального числа $n$, от одного переменного с действительными (комплексными) коэффициентами является линейным пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Множество $\mathcal{P} = \bigcup_{n = 0}^{\infty } \mathcal{P}^{(n)}$ (соответственно $\mathcal{P}_{C} = \bigcup_{n = 0}^{\infty } \mathcal{P}_{C}^{(n)}$) всех многочленов одного переменного с действительными (комплексными) коэффициентами (см. задачу 5) является линейным действительным (комплексным) пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Множество всевозможных числовых последовательностей $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right), x_{n} \in R$ (соответственно $x_{n} \in C$), n = 1,2, , при обычном определении их сложения и умножения на число является линейным пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Множество $C(X)$ всех непрерывных на метрическом пространстве $X$ числовых функций $f: X \rightarrow R$ (соответственно $f: X \rightarrow C$) является подпространством пространства $F(E)$ всех числовых функций, определенных на пространстве $X$ (см. задачу 4).

Доказать сформулированное утверждение. Множество $C B(X)$ всех ограниченных непрерывных на метрическом пространстве $X$ функций $f: X \rightarrow R$ (соответственно $f: X \rightarrow C$) является подпространством пространств $B(X)$ (см. задачу 8) и $C(X)$.

Доказать сформулированное утверждение. Множество $R L_{p}[a ; b]$ всех числовых функций $x(t)$, определенных на отрезке $[a ; b]$, у которых конечен интеграл $\int_{a}^{b}\left|x(t)\right|^{p} d t, p > 0$, является линейным пространством.

Примечание. Согласно сделанному выше замечанию под интегралом понимается несобственный интеграл, в частности, интеграл Римана. Поэтому здесь $R \mathscr {L}_{p}[a, b]$ обозначает более широкое множество функций, чем в примере 2.

Доказать сформулированное утверждение. Множество $C^{1}[a ; b]$ всех непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a ; b]$ функций составляет линейное пространство, являющееся подпространством пространства $C[a ; b]$ (см. задачу 8).

Доказать сформулированное утверждение. Множество $l_{p}$ всех последовательностей действительных чисел $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$, для которых ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{p}$ сходится, образует линейное пространство.

Доказать сформулированное утверждение. Множество всех последовательностей комплексных чисел $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$, для которых ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{p}$ сходится, образует линейное пространство.

Доказать сформулированное утверждение. Если $Y$ и $Z$ — подпространства линейного пространства $X$, то $Y+Z$ — также подпространство этого пространства.

Доказать сформулированное утверждение. Векторы $x_{1}, \ldots , x_{n}$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказать сформулированное утверждение. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказать сформулированное утверждение. Всякая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

Доказать сформулированное утверждение. Если система векторов линейно зависима, то линейно зависима и всякая система, ее содержащая.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном $n$-мерном пространстве не существует более чем $n$ линейно независимых векторов.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном $n$-мерном пространстве все базисы состоят из $n$ векторов.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном $n$-мерном пространстве каждая система $n$ линейно независимых векторов является базисом этого пространства.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $\mathcal{P}^{(n)}$ многочленов одного переменного степени не выше $n$ (см. задачу 5) является $(n+1)$-мерным, и одночлены $1, t, t^{2}, \ldots , t^{n}$ образуют в нем базис.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство всех многочленов одного переменного (см. задачу 6) является бесконечномерным пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Если векторы $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ образуют базис в линейном пространстве $X, \quad y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j}, i = 1,2, \ldots , n$, и $\operatorname {det}\left(a_{i j}\right) \neq 0$, то векторы $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}$ также образуют базис в пространстве $X$.

Доказать сформулированное утверждение. Если векторы $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ образуют базис в линейном пространстве $X, y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j}$, где $\left(a_{i j}\right)$ — треугольная матрица и $a_{i j} \neq 0, i = 1,2, \ldots , n$, то векторы $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}$ также образуют базис в пространстве $X$.

Доказать сформулированное утверждение. Всякая система многочленов $P_{m}(t) = \sum_{k = 0}^{m} a_{m k} t^{k}$ степеней $m = 0,1, \ldots , n$ (т. е. $a_{m m} \neq 0$) образует базис в пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$ (см. задачу 5).

Доказать сформулированное утверждение. Если система многочленов линейно зависима в линейном пространстве многочленов $\mathcal{P}$ (см. задачу 6), то она линейно зависима и на любом промежутке. Если система многочленов линейно зависима на некотором промежутке положительной длины, то она линейно зависима и в пространстве $\mathcal{P}$.

Доказать сформулированное утверждение. Многочлены Лежандра

образуют базис в пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$ (см. задачу 5).

Доказать сформулированное утверждение. Функция $\varphi_{n}(t) = \cos (n \arccos t), n = 1,2, \ldots ,\left|t\right| \leqslant 1$, является многочленом степени $n$. Многочлены Чебышева

образуют базис в пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$ (см. задачу 5).

Доказать сформулированное утверждение. Любой многочлен степени не выше $n$ является линейной комбинацией многочленов Лежандра $P_{0}(t), P_{1}(t), \ldots , P_{n}(t)$ и линейной комбинацией многочленов Чебышева $T_{0}(t), T_{1}(t), \ldots , T_{n}(t)$.

Доказать сформулированное утверждение. Ядро линейного отображения $f: X \rightarrow Y$ является подпространством линейного пространства $X$.

Доказать сформулированное утверждение. Образ линейного пространства при линейном отображении в другое линейное пространство является подпространством последнего.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы линейное отображение $f: X \rightarrow Y$ линейного пространства $X$ в линейное пространство $Y$ было инъекцией, необходимо и достаточно, чтобы ядро этого отображения состояло только из нуля.

Доказать сформулированное утверждение. Все линейные $n$-мерные пространства изоморфны между собой.

Доказать сформулированное утверждение. Преобразование Фурье непрерывных абсолютно интегрируемых на всей числовой оси $R$ функций является инъекцией в линейное пространство функций $f: R \rightarrow C$.

Доказать сформулированное утверждение. Множество $L(X ; Y)$ всех линейных операторов, отображающих линейное пространство $X$ в линейное пространство $Y$, при обычном определении линейных операций над ними образует линейное пространство.

Доказать сформулированное утверждение. $R^{n+m} = R^{n} \times R^{m}, n, m = 0,1, \ldots$

Доказать, что линейные функционалы $f_{1}$ и $f_{2}$ линейного пространства $X$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} f_{1} = \operatorname {ker} f_{2}$.

Доказать, что для того чтобы линейный функционал $f$ линейного пространства $X$ был линейной комбинацией линейных функционалов $f_{1}$ и $f_{2}$ того же пространства, необходимо и достаточно, чтобы $\operatorname {ker} f_{1} \cap \operatorname {ker} f_{2} \subset \operatorname {ker} f$.

Подпространство $H$ действительного (соответственно, комплексного) линейного пространства $X$ называют гиперплоскостью пространства $X$, если существует такая точка $a \in X \backslash H$, что $X = H \oplus R a$ (соответственно $X = H \oplus C a$). Здесь

Доказать, что если $H$ является гиперплоскостью действительного линейного пространства $X$ и $b \in X \backslash H$, то $X = H \oplus R b$.

Доказать, что если $H_{1}$ и $H_{2}$ — гиперплоскости линейного пространства $X$ и $H_{1} \subset H_{2}$, то $H_{1} = H_{2}$.

Доказать, что если $H_{1}$ и $H_{2}$ — гиперплоскости линейного пространства $X$ и $H_{1} \neq H_{2}$, то существуют такие точки $h_{1} \in X$ и $h_{2} \in X$, что $h_{1} \in H_{1} \backslash H_{2}, h_{2} \in H_{2} \backslash H_{1}$.

Доказать, что подпространство $H$ линейного пространства $X$ является гиперплоскостью этого пространства тогда и только тогда, когда $H$ является ядром некоторого линейного функционала.

Доказать: если $f_{1}$ и $f_{2}$ — линейно независимые линейные функционалы линейного пространства $X$, то существует такой линейный функционал $g$ пространства $\operatorname {ker} f_{1}$, что $\operatorname {ker} g = \operatorname {ker} f_{1} \cap \operatorname {ker} f_{2}$.

Доказать, что пересечение двух различных гиперплоскостей $H_{1}$ и $H_{2}$ линейного пространства $X$ является гиперплоскостью в каждой из гиперплоскостей $H_{1}$ и $H_{2}$.

Доказать, что если подпространства $H_{1}$ и $H_{2}$ являются гиперплоскостями действительного линейного пространства $X, H_{1} \neq H_{2}$ и $h_{1} \in H_{1} \backslash H_{2}$, то $H_{1} = H_{1} \cap H_{2} \oplus R h_{1}$.

Доказать, что в линейном пространстве любые две его гиперплоскости изоморфны.

Скалярное произведение $(x, y)$ в $n$-мерном пространстве $R^{n}$ является билинейным отображением $R^{n} \times R^{n}$ в $R$.

Векторное произведение трехмерных векторов является билинейным отображением $R^{3} \times R^{3}$ в $R^{3}$.

Билинейная форма

является билинейным отображением $R^{n} \times R^{n}$ в $R$.

Если $z = f(x ; y), x \in X, y \in Y, z \in Z$, — билинейное отображение линейного пространства $X \times Y$ в линейное пространство $Z$, то для любых чисел $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \mu_{1}, \mu_{2}$ и $x_{1}, x_{2} \in X, y_{1}, y_{2} \in Y$ имеет место равенство

Для любого билинейного отображения $f: X \times X \rightarrow Z$ имеет место тождество

Множество всех билинейных отображений произведения $X \times Y$ линейных пространств $X$ и $Y$ в линейное пространство $Z$ образует при обычном определении линейной операции над функциями линейное пространство.

Билинейную форму $F: X \times Y \rightarrow Z$ называют симметричной, если для любых элементов $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется равенство $F(x ; y) = F(y ; x)$. Симметричные билинейные формы $f: X^{2} \rightarrow Z$ и $g: X^{2} \rightarrow Z$, где $X^{2} = X \times X$, совпадают тогда и только тогда, когда совпадают порожденные ими квадратичные формы $f(x ; x)$ и $g(x ; x)$.

Доказать, что для любых двух элементов $x$ и $y$ полунормированного пространства выполняется неравенство

Доказать, что для любых двух элементов $x$ и $y$ полунормированного пространства выполняется неравенство

Доказать, что полунорма нулевого элемента полунормированного пространства равна нулю.

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $R, \left\| x\right\| = \left|x\right|$.

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $C, \left\| z\right\| = \left|z\right|$.

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $R^{n}$;

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $C^{n}$ (см. задачу 3), $\left\| z\right\|_{2} = \sqrt{\sum_{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}}, z = \left(z_{1} ; \ldots ; z_{n}\right), z_{n} \in C$, $k = 1,2, \ldots$

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $l_{p}, 1 \leqslant p < +\infty$ (см. задачу 12), $\left\| x\right\|_{p} = \left(\sum_{k = 1}^{\infty }\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}, x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right), x_{n} \in R, n = 1,2, \ldots$

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $l_{\infty }$ (см. задачу 4 из § 18 и задачу 7), $\left\| x\right\|_{\infty } = \sup_{k}\left|x_{k}\right|$.

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $l_{\infty }^{(0)}$ (см. задачу 90 из § 18 и задачу 7), $\left\| x\right\| = \max \left|x_{k}\right|$.

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $C[a ; b]$ (см. задачу 8), $\left\| x\right\|_{C} = \max_{[a ; b]}\left|x(t)\right|$.

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $C L_{p}[a ; b],-\infty < a < b < +\infty$ (см. задачу 7),

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $C L_{p}(a ; b),-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$ (см. задачу 9 из § 18),

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $B(E)$ (см. пример 1 в § 18), $\left\| x\right\|_{\infty } = \sup_{E}\left|x(t)\right|$.

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $C^{n}[a ; b]$ (см. задачу 93 из § 18), $\left\| x\right\|_{C^{n}} = \sum_{k = 0}^{n} \max_{[a ; b]}\left|x^{(k)}(t)\right|$.

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $H^{\alpha }[a ; b], \alpha > 0$ (см. задачу 95 из § 18),

Доказать, что линейное пространство является нормированным относительно указанной нормы. $H(K)$ — множество аналитических внутри открытого единичного круга $K = \left\{ z \in C \mid \left|z\right| < 1\right\}$ функций, непрерывных на его замыкании $\bar{K}, \left\| x\right\| = \max_{\left|z\right| = 1}\left|z(t)\right|$.

Доказать сформулированное утверждение. Для норм $\left\| x\right\|_{p}$ и $\left\| x\right\|_{\infty }$ в задачах 62 и 63 имеет место соотношение $\lim_{p \rightarrow \infty }\left\| x\right\|_{p} = \left\| x\right\|_{\infty }$.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве $R^{n}$ функция $\left\| x\right\| = \sqrt{\sum_{k = 1}^{m} x_{k}^{2}}$, $0 < m < n$, является полунормой, но не является в нем нормой.

Доказать сформулированное утверждение. В линейном пространстве $C^{n}[a ; b], n > 0$ (см. задачу 59) функция $\left\| x\right\| = \max_{[a ; b]}\left|x^{(n)}(t)\right|$ является полунормой, но не является в нем нормой.

Доказать сформулированное утверждение. Функционал $\left\| x\right\|_{p} = \left(\int_{a}^{b}\left|x(t)\right|^{p} d t\right)^{1 / p}$, являясь полунормой в пространстве $R L_{p}[a ; b]$ (см. пример 2), не является в нем нормой.

На каких подмножествах множества функций $x(t)$, имеющих на отрезке $[a ; b]$ абсолютно интегрируемую производную порядка $n$, функционал $\int_{a}^{b}\left|x^{(n)}(t)\right| d t$ будет: нормой; полунормой; для каких $n$?

Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a ; b]$ функций принять за норму элемента $x(t)$ :

Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a ; b]$ функций принять за норму элемента $x(t)$ :

Доказать сформулированное утверждение. В конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны.

Доказать сформулированное утверждение. Если $X$ и $Y$ — линейные нормированные пространства, то функционалы $\max \left\{ \left\| x\right\|_{X} ;\left\| y\right\|_{Y}\right\} ,\left\| x\right\|_{X}+\left\| y\right\|_{Y}$ и $\sqrt{\left\| x\right\|_{X}^{2}+\left\| y\right\|_{Y}^{2}}$, $x \in X, y \in Y$, являются эквивалентными нормами в пространстве $X \times Y$.

Доказать сформулированное утверждение. Функционалы $\left\| x\right\|_{C} = \max_{[a ; b]}\left|x(t)\right|$ и $\left\| x\right\|_{1} = \int_{a}^{b}\left|x(t)\right| d t$ (см. задачи 65 и 66) являются неэквивалентными нормами на линейном пространстве непрерывных на отрезке $[a ; b]$ функций.

Доказать сформулированное утверждение. Нормы $\left\| x\right\|_{C}$ и $\left\| x\right\|_{H^{1}}$ (см. задачи 65 и 70) не эквивалентны на множестве функций, удовлетворяющих условию Липшица (т. е. условию Гёльдера степени 1) на отрезке $[a ; b]$.

Доказать сформулированное утверждение.

Доказать сформулированное утверждение. Множество $C^{n}[a ; b]$ является незамкнутым подпространством пространства $C[a ; b]$ (см. задачи 65 и 69).

Образуют ли в пространстве $C[-1 ; 1]$ (см. задачу 65) замкнутое подпространство следующие множества функций:

При каких $p$ и $q$ справедливо включение $l_{p} \subset l_{q}$ (см. задачу 62)?

Доказать, что если $x(t) \in R L_{p}[a ; b]$ (см. пример 2), $1 < p < +\infty$, то

а если $1 \leqslant p < +\infty$, то $\left\| x\right\|_{p} \leqslant (b-a)^{1 / p}\left\| x\right\|_{\infty }$ (для неограниченных функций $x(t)$ очевидно, что $\left\| x\right\|_{\infty } = +\infty$).

Доказать, что если последовательность функций $\left(x_{n}(t)\right)$ равномерно сходится к функции $x(t)$ на отрезке $[a ; b]$ и $x_{n}-x \in R L_{p}[a ; b]$, то эта последовательность сходится к функции $x$ и по полунорме пространства $R L_{p}[a ; b]$ (см. пример 2).

Построить пример последовательности непрерывных неотрицательных на отрезке $[0 ; 1]$ функций, сходящейся в смысле нормы пространства $C L_{p}[0 ; 1]$ (см. задачу 66), но не сходящейся ни в одной точке этого отрезка.

Если в полунормированном пространстве $X$ последовательность $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ имеет предел, равный $a \in X$, то для того чтобы та же последовательность имела предел, равный $b \in X$, необходимо и достаточно, чтобы $\left\| a-b\right\| = 0$.

Если последовательность точек сходится по полунорме, то она ограничена.

Функция $f: X \rightarrow R$ (или $f: X \rightarrow C$), определенная на полунормированном пространстве $X$, является непрерывной в точке $x_{0} \in X$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $\left\| x-x_{0}\right\| < \delta$, выполняется неравенство $\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| < \varepsilon$.

Полунорма является непрерывной функцией на полунормированном пространстве.

Операции сложения элементов и умножение их на число являются непрерывными в полунормированном пространстве.

Множество $E$ называют плотным в полунормированном пространстве $X$, если для каждой точки $x \in X$ и любого $\varepsilon > 0$ существует такая точка $y \in E$, что $\left\| y-x\right\| < \varepsilon$. Множество $C_{0}^{\infty }(a ; b)$, $-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$ (см. задачу 113 из $\S 18$), плотно в пространстве $R L_{p}(a ; b), 1 \leqslant p < +\infty$ (см. пример 2).

Если $1 \leqslant p < q < +\infty$, то множество $R L_{q}[a ; b]$ является плотным подпространством пространства $R L_{p}[a ; b]$ (см. пример 2).

Всякое $n$-мерное нормированное пространство изоморфно с $R^{n}$ (см. задачу 60).

Пусть $X$ — полунормированное пространство. Элементы $x \in X$ и $y \in Y$ называют эквивалентными, если $\left\| x-y\right\| = 0$. Обозначим через $\tilde{X}$ множество, элементами которого являются классы эквивалентных элементов пространства $X$. Пусть $x \in \widetilde{x} \in \tilde{X}, y \in \widetilde{y} \in \widetilde{X}$, $\lambda$ — число. Определим $\widetilde{x}+\widetilde{y}$ как элемент множества $\tilde{X}$, содержащий $x+y$, а $\lambda \widetilde{x}$ — как элемент из $\tilde{X}$, содержащий $\lambda x$. Положим $\left\| \widetilde{x}\right\|_{\tilde{X}} = \left\| x\right\|_{X}$. Данные определения корректны, т. е. не зависят от выбора элементов $x \in \widetilde{x}, y \in \widetilde{y}$ и множество $\tilde{X}$ является линейным нормированным пространством с нормой $\left\| \widetilde{x}\right\|_{\tilde{X}}$.

Нормированное пространство $X$ является метрическим пространством с метрикой $\rho (x ; y) = \left\| x-y\right\|_{X}$.

Привести пример метрического пространства, в котором метрика не порождается нормой.

Будет ли в линейном пространстве всех числовых последовательностей метрика задачи 18.14 порождаться какой-либо нормой?

Доказать сформулированное утверждение. Множество в нормированном пространстве ограничено по норме тогда и только тогда, когда оно ограничено как множество метрического пространства в смысле метрики, порожденной этой нормой.

Доказать сформулированное утверждение. Метрики, порожденные двумя нормами линейного пространства, эквивалентны между собой (см. § 18, п. 1) тогда и только тогда, когда эквивалентны порожденные ими нормы.

Доказать сформулированное утверждение. Норма является непрерывной функцией в смысле метрики, порожденной этой нормой.

Доказать сформулированное утверждение. Если в нормированном пространстве $x_{n} \rightarrow x$ и $y_{n} \rightarrow y$, то $\left\| x_{n}-y_{n}\right\| \rightarrow \left\| x-y\right\| , n \rightarrow \infty$.

Доказать сформулированное утверждение. Если в нормированном пространстве $x_{n} \rightarrow x, y_{n} \rightarrow y$ и в $R \lambda_{n} \rightarrow \lambda , \mu_{n} \rightarrow \mu$, то $\lambda_{n} x_{n}+\mu_{n} y_{n} \rightarrow \lambda x+\mu y, n \rightarrow \infty$.

Доказать сформулированное утверждение. Если по крайней мере одно из множеств $E_{1}$ и $E_{2}$ нормированного пространства открытое, то и их алгебраическая сумма $E_{1}+E_{2}$ является открытым множеством.

Доказать сформулированное утверждение. В любом нормированном пространстве существуют два непересекающихся открытых множества, которые не содержатся ни в каких непересекающихся замкнутых множествах.

Доказать сформулированное утверждение. Всякое нормированное пространство содержится и плотно в некотором банаховом пространстве (это пространство называют пополнением исходного).

Доказать сформулированное утверждение. Все пополнения данного нормированного пространства (см. задачу 109) изоморфны между собой.

Доказать сформулированное утверждение. Произведение банаховых пространств (см. задачу 80) также является банаховым пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Система $\left\{ x_{\alpha }\right\} , \quad \alpha \in \mathbf{U}$, элементов полунормированного пространства $X$ полна тогда и только тогда, когда множество конечных линейных комбинаций ее элементов, т. е. ее линейная оболочка, образует плотное (см. задачу 95) в $X$ множество.

Доказать сформулированное утверждение. Система $\left\{ x_{\alpha }\right\} , \alpha \in \mathbf{U}$, элементов нормированного пространства полна тогда и только тогда, когда замыкание ее линейной оболочки (в смысле метрики, порожденной нормой) совпадает со всем пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Нормированное пространство сепарабельно (в смысле метрики, порожденной нормой) в том и только том случае, когда оно содержит счетную полную систему.

Доказать сформулированное утверждение. Система степеней $1, t, t^{2}, \ldots , t^{n}, \ldots$ полна в пространстве $C[a ; b]$ (см. задачу 8).

Доказать сформулированное утверждение.

Доказать сформулированное утверждение. Имеют место следующие вложения: