Задачи

Доказать, что для любых трех точек $x, y, z$ метрического пространства $X$ справедливо неравенство

Доказать, что для любых четырех точек $x, y, u, v$ метрического пространства $X$ справедливо неравенство

Доказать, что нижеуказанные функции являются метриками на соответствующих множествах:

Доказать, что множество $l_{\infty }$ всевозможных последовательностей $x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ действительных чисел, для которых $\sup \left|x_{n}\right| < +\infty$, является метрическим пространством с метрикой $\rho (x ; y) = \sup \left|x_{n}-y_{n}\right|, x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right), y = \left(y_{1} ; \ldots ; y_{n} ; \ldots \right) \in l_{\infty }$.

Доказать, что множество $l_{p}, 1 \leqslant p < +\infty$, всевозможных последовательностей $x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ действительных чисел, для которых $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{p} < +\infty$, является метрическим пространством с метрикой

Будут ли образовывать метрические пространства последовательности $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ комплексных чисел с метриками, введенными в задачах 4 и $5\left(x_{n}, y_{n} \in C, \quad n = 1, \ldots , 2, \ldots \right)$?

Доказать, что множество $C L_{p}(\bar{G}), 1 \leqslant p < +\infty$, всех функций, непрерывных на замыкании $\bar{G}$ открытого измеримого по Жордану множества $G \subset R^{n}$, является метрическим пространством с метрикой

Является ли метрикой функция $\rho (x ; y) = \int_{a}^{b}\left|x(t)-y(t)\right| d t$ на множестве всех функций, интегрируемых по Риману на отрезке $[a ; b]$?

Пусть $(a ; b)$ — конечный или бесконечный интервал: $-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$. Доказать, что множество $C L_{p}(a ; b)$ всех непрерывных на интервале $(a ; b)$ функций, для которых интеграл $\int_{a}^{b}|x(t)|^{p} d t$ сходится, является метрическим пространством с метрикой

Является ли метрическим пространством множество всех действительных чисел, если под расстоянием между $x$ и $y$ понимать $\sin^{2}(x-y)$?

Является ли метрическим пространством множество точек окружности, если расстоянием между точками считать длину наименьшей дуги, соединяющей данные точки?

Является ли метрическим пространством множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a ; b]$ функций, если

Является ли метрическим пространством непустое множество $X$, если $\rho (x ; y) = 0$ при $x = y$ и $\rho (x ; y) = 1$ при $x \neq y$?

Будет ли на множестве всех числовых последовательностей $x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ ($x_{n} \in R$ или $x_{n} \in C, n = 1,2, \ldots$) метрикой функция

Является ли метрическим пространством семейство всех непустых подмножеств метрического пространства $X$, если "расстояние" между множествами $E_{1} \subset X$ и $E_{2} \subset X$ определить равенством

Пусть на множестве упорядоченных пар $(x ; y)$ элементов множества $X$ определена неотрицательная функция $\rho (x ; y)$, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, кроме первой, которая выполняется в ослабленном виде: для любого элемента $x \in X$ имеет место равенство $\rho (x ; x) = 0$. Элементы $x$ и $y$ множества $X$ назовем эквивалентными, если $\rho (x ; y) = 0$. Пусть $X^{*} = \left\{ x^{*}\right\}$ — множество всех классов эквивалентных элементов множества $X$. Доказать, что функция $\rho^{*}\left(x^{*}, y^{*}\right) = \rho (x ; y)$, где $x \in x^{*} \in X^{*}, y \in y^{*} \in X^{*}$, не зависит от выбора элементов $x$ и $y$ соответственно в классах $x^{*}, y^{*}$ и является метрикой на множестве $X^{*}$.

Доказать, что если $X$ и $Y$ — метрические пространства соответственно с метриками $\rho_{X}$ и $\rho_{Y}$, то функция

является метрикой в их произведении $X \times Y$, называемом в этом случае произведением метрических пространств $X$ и $Y$.

Пусть $\rho (x ; y)$ — метрика на множестве $X$. Доказать, что функции

являются метриками на множестве $X$, эквивалентными метрике $\rho$.

Привести пример последовательности непрерывных на отрезке $[a ; b]$ функций, сходящейся в пространстве $C L_{p}[a ; b], 1 \leqslant p < +\infty$ (см. задачу 3.7)), но не сходящейся равномерно на отрезке $[a ; b]$. (В случае отрезка будем писать $C L_{p}[a ; b]$ вместо $C L_{p}([a ; b]), 1 \leqslant p < +\infty$; см. задачу 7).

Привести пример последовательности функций, принадлежащих пространству $C L_{2}[0 ; 1]$, сходящейся в пространстве $C L_{1}[0 ; 1]$, но не сходящейся в пространстве $C L_{2}[a ; b]$.

Привести пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в каждой точке отрезка $[a ; b]$, но не сходящейся в пространстве $C L_{2}[a ; b]$.

Привести пример последовательности функций, сходящейся в пространстве $C L_{1}[0 ; 1]$, но не сходящейся ни в какой точке отрезка $[0 ; 1]$.

Будут ли эквивалентными на множестве непрерывных на отрезке $[a ; b]$ функций метрики пространств $C L_{1}[a ; b]$ и $C L_{2}[a ; b]$?

Доказать, что для эквивалентности метрик $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ на множестве $X$ достаточно, чтобы существовали две такие постоянные $c_{1} > 0$ и $c_{2} > 0$ и чтобы для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполнялось неравенство $c_{1} \rho_{1}(x ; y) \leqslant \rho_{2}(x ; y) \leqslant c_{2} \rho_{1}(x ; y)$. Показать, что это условие не является необходимым для эквивалентности метрик $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$.

Доказать, что в метрическом пространстве последовательность может иметь только один предел.

Доказать, что множество значений сходящейся последовательности точек метрического пространства является ограниченным множеством.

Может ли быть неограниченной последовательность функций $x_{n}:[0 ; 1] \rightarrow R, n = 1,2, \ldots$, сходящаяся в пространстве $C L_{2}[0 ; 1]$? (См. задачу 3,7).

Если $x^{(m)} = \left(x_{1}^{(m)} ; \ldots ; x_{n}^{(n)} ; \ldots \right) \in l_{\infty }, m = 1,2, \ldots$ (см. задачу 4$)$ и для каждого $n = 1,2, \ldots$ существует конечный предел $\lim_{m \rightarrow \infty } x_{n}^{(m)} = a_{n}$, то будет ли последовательность $\left(a_{1} ; \ldots ; a_{n} ; \ldots \right)$ всегда принадлежать $l_{\infty }$? Если $\lim_{m \rightarrow \infty } x_{n}^{(m)} = a_{n}$ и $a = \left(a_{1} ; \ldots ; a_{n} ; \ldots \right) \in l_{\infty }$, то будет ли верным утверждение, что $\lim_{m \rightarrow \infty } x^{(m)} = a$ в $l_{\infty }$?

Доказать, что для любых двух различных точек метрического пространства существуют непересекающиеся шары с центрами в этих точках.

Доказать, что множество $E$ метрического пространства ограничено тогда и только тогда, когда для любой точки $x \in X$ существует такое $\varepsilon > 0$, что шар с центром в точке $x$ радиуса $\varepsilon$ содержит в себе множество $E$.

Доказать, что если множество ограничено в пространстве $C[a ; b]$ непрерывных на отрезке $[a ; b]$ функций с метрикой

то оно ограничено и в любом пространстве $C L_{p}[a ; b], 1 \leqslant p < +\infty$ (см. задачу 7).

Верно ли, что если множество непрерывных на отрезке $[a ; b]$ функций ограничено в некотором пространстве $C L_{p}[a ; b], 1 \leqslant p < +\infty$, то оно ограничено и в пространстве $C[a ; b]$? (См. задачу 31.)

При каких условиях на последовательность $a_{n} \in R, a_{n} > 0$, $n = 1,2, \ldots$, в пространстве $l_{2}$ (см. задачу 24.5) будут ограниченными множества:

Может ли шар радиуса 4 быть собственным подмножеством шара радиуса 3?

Доказать, что $\varepsilon$-окрестность точки метрического пространства является открытым множеством.

Доказать, что множество внутренних точек любого множества метрического пространства является открытым множеством.

Доказать, что множество внутренних точек любого множества метрического пространства является объединением всех открытых множеств, содержащихся в данном множестве.

Привести пример открытого множества подпространства метрического пространства, которое не является открытым в самом пространстве.

Привести пример замкнутого множества подпространства метрического пространства, которое не является замкнутым в самом пространстве.

Доказать сформулированное утверждение. Подмножество $E$ подпространства $Y$ метрического пространства $X$ открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда оно является пересечением открытого (замкнутого) в $X$ множества с подпространством $Y$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $G$ — открытое, а $F$ — замкнутое множества метрического пространства $X$, то $G \backslash F$ — открытое в $X$ множество.

Доказать сформулированное утверждение. Пересечение конечной совокупности и объединение любой совокупности открытых множеств являются открытыми множествами. Привести пример бесконечного множества открытых множеств, пересечение которых не является открытым множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Объединение конечной совокупности и пересечение любой совокупности замкнутых множеств являются замкнутыми множествами.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы точка $x$ метрического пространства $X$ была точкой прикосновения множества $E \subset E$, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность точек $x_{n} \in E, n = 1,2, \ldots$, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x$.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы точка $x$ метрического пространства $X$ была предельной точкой множества $E \subset X$, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность точки $x$ содержала бесконечно много точек множества $E$.

Доказать сформулированное утверждение. Множество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит в себе множество всех своих предельных точек.

Доказать сформулированное утверждение. Замыкание множества в метрическом пространстве является замкнутым множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Замкнутый шар метрического пространства является замкнутым множеством.

Может ли замкнутый шар не быть замыканием открытого шара с тем же центром и радиусом?

Верны ли утверждения:

Верны ли утверждения:

Верны ли утверждения:

Верны ли утверждения:

Доказать сформулированное утверждение. Замыкание множества является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих в себе данное множество.

Доказать сформулированное утверждение. Граница множества является замкнутым множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Для любого множества $\bar{E} = E \cup \partial E$.

Доказать сформулированное утверждение. Непустое подмножество метрического пространства открыто тогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей.

Доказать сформулированное утверждение. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки.

Доказать сформулированное утверждение. Границы объединения, пересечения и разности двух множеств содержатся в объединении границ этих множеств.

Построить пример бесконечной совокупности множеств, граница объединения которых не содержится в объединении их границ.

Доказать сформулированное утверждение. Множество предельных точек множества замкнуто.

Доказать сформулированное утверждение. Для любого множества $\operatorname {diam} E = \operatorname {diam} \bar{E}$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $x(t)$ — непрерывная на метрическом пространстве $X$ функция, то для любого числа $a \in R$ множества $\left\{ t \in X \mid x(t) \leqslant a\right\}$ и $\left\{ t \in X \mid x(t) \geqslant a\right\}$ замкнуты, а множества $\left\{ t \in X \mid x(t) < a\right\}$ и $\left\{ t \in X \mid x(t) > a\right\}$ открыты.

Доказать сформулированное утверждение. Если $x(t)$ — непрерывная на подмножестве $E$ метрического пространства $X$ функция, то для любых чисел $a \in R$ множества $\left\{ t \in E \mid x(t) \leqslant a\right\}$ и $\left\{ t \in E \mid x(t) \geqslant a\right\}$ замкнуты, а множества $\left\{ t \in E \mid x(t) < a\right\}$ и $\left\{ t \in E \mid x(t) > a\right\}$ открыты в множестве $E$, рассматриваемом как подпространство метрического пространства $X$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $x(t)$ — непрерывная на подмножестве $E$ метрического пространства $X$ функция, то для любых чисел $a \in R, b \in R, a < b$, множество $\left\{ t \in E \mid a < x(t) < b\right\}$ является открытым в $E$ множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Параллелепипед

является открытым, а параллелепипед

• замкнутым в пространстве $l_{p}$ множеством, $1 \leqslant p < +\infty$ (см. задачу 5).

Доказать сформулированное утверждение. Если $x(t) \in C[a ; b]$ (см. 31), то множество функций

замкнуто в пространстве $C[a ; b]$.

Будет ли замкнутым в пространстве $C[a ; b]$ (см. 31) множество многочленов:

Доказать сформулированное утверждение. Если $A$ и $B$ — замкнутые (открытые) множества соответственно в метрических пространствах $X$ и $Y$, то $A \times B$ является замкнутым (открытым) множеством в произведении $X \times Y$ метрических пространств $X$ и $Y$ (см. задачу 17).

Доказать сформулированное утверждение. Если связное множество содержит более одной точки, то оно не имеет изолированных точек.

Доказать сформулированное утверждение. Объединение двух пересекающихся связных множеств является связным множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы объединение $A \cup B$ двух связных множеств $A$ и $B$ метрического пространства было связным, необходимо и достаточно, чтобы $(\bar{A} \cap B) \cup (A \cap \bar{B}) \neq \varnothing$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $A$ и $B$ — непустые открытые (замкнутые) множества метрического пространства и $\bar{A} \cap \bar{B} = \varnothing$, то множество $A \cup B$ несвязно.

Доказать сформулированное утверждение. Если сумма и пересечение двух замкнутых множеств метрического пространства связны, то и оба этих множества связны.

Доказать сформулированное утверждение. Объединение возрастающей последовательности связных множеств является связным множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Объединение любой совокупности связных множеств, имеющих непустое пересечение, является связным множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Если для любых двух точек множества $A$ существует связное множество, содержащее эти точки и содержащееся в множестве $A$, то $A$ является связным множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Замыкание связного множества связно.

Доказать сформулированное утверждение. Если $A$ — связное множество и $A \subset B \subset \bar{A}$, то $B$ — также связное множество.

Доказать сформулированное утверждение. Подмножество числовой прямой является связным тогда и только тогда, когда оно является конечным или бесконечным промежутком.

Доказать сформулированное утверждение. Множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны, несвязно.

Доказать сформулированное утверждение. Множество точек плоскости, у которых по крайней мере одна координата иррациональна, является связным множеством.

Доказать сформулированное утверждение. Для того чтобы множество $A \times B$, лежащее в произведении $X \times Y$ метрических пространств $X$ и $Y$, было связным (см. задачу 17$), A \subset X, B \subset X$, необходимо и достаточно, чтобы оба множества $A$ и $B$ были связны.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $R^{n}$ является областью.

Доказать сформулированное утверждение. Открытый шар в пространстве $R^{n}$ является областью.

Доказать сформулированное утверждение. Открытый шар в пространстве $l_{\infty }$ является областью (см. задачу 4).

Доказать сформулированное утверждение. Если последовательность точек метрического пространства сходится, то она фундаментальная.

Доказать сформулированное утверждение. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то сходится и вся последовательность, причем к тому же пределу, что и указанная подпоследовательность.

Доказать сформулированное утверждение. Являются полными следующие пространства:

Доказать сформулированное утверждение. Множество $l_{\infty }^{(0)}$ всех последовательностей действительных чисел $x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$, стремящихся к нулю с метрикой

является полным пространством.

Доказать сформулированное утверждение. Метрическое пространство $S$ всех последовательностей действительных чисел $x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ с метрикой

$\rho (x ; y) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} \frac{\left|x_{n}-y_{n}\right|}{1+\left|x_{n}-y_{n}\right|}, \quad x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right), y = \left(y_{1} ; \ldots ; y_{n} ; \ldots \right) \in S$, полно.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $C[a ; b]$ (см. задачу 31) полно.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $C^{n}[a ; b]$ всех функций, имеющих на отрезке $[a ; b]$ непрерывную производную порядка $n$ с метрикой

является полным.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $C^{\infty }[a ; b]$ всех бесконечно дифференцируемых на отрезке $[a ; b]$ функций с метрикой

является полным.

Доказать сформулированное утверждение. Функцию $x(t)$ называют удовлетворяющей условию Гёльдера степени $\alpha$ на отрезке $[a ; b]$, если существует такая постоянная $c > 0$, что для всех $t_{1}, t_{2} \in [a ; b]$ выполняется неравенство $\left|x\left(t_{2}\right)-x\left(t_{1}\right)\right| \leqslant c\left|t_{2}-t_{1}\right|^{\alpha }$. Пространство $H^{\alpha }[a ; b]$ всех функций, удовлетворяющих на отрезке $[a ; b]$ условию Гёльдера степени $\alpha > 0$ с метрикой

является полным.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $C(R)$ всех непрерывных на числовой оси $R$ функций с метрикой

является полным.

Доказать сформулированное утверждение. Подпространство непрерывно дифференцируемых функций пространства $C[a ; b]$ (см. задачу 31) не является полным.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $C L_{1}[a ; b]$ (см. задачу 3,5$)$) не является полным.

Доказать сформулированное утверждение. Пространство $C L_{p}[a ; b], 1 \leqslant p < +\infty$ (см. задачу 7), не является полным.

Обозначим посредством $C B(a ; b)$ подпространство пространства $B(a ; b)$ (см. пример 1) ограниченных функций на конечном или бесконечном интервале $(a ; b),-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$, состоящее из всех непрерывных функций. Будет ли пространство $C B(a ; b)$ полным?

Если метрическое пространство $X$ является полным с метрикой $\rho (x ; y)$, то будет ли оно полным с метриками $\rho_{1}(x ; y), \rho_{2}(x ; y)$ и $\rho_{3}(x ; y)$ задачи 18?

Доказать сформулированное утверждение. В полном метрическом пространстве замкнутое подмножество полно.

Доказать сформулированное утверждение. Полное подпространство метрического пространства замкнуто.

Доказать сформулированное утверждение. Если множество $A$ плотно в метрическом пространстве $X$ и $A \subset B \subset X$, то множество $B$ также плотно в $X$.

Доказать сформулированное утверждение. Если множества плотны в метрическом пространстве, то их объединение также плотно в этом пространстве.

Привести пример двух плотных в метрическом пространстве множеств, пересечение которых не плотно в нем.

Будет ли множество всех многочленов в пространстве $C[a ; b]$ (см. задачу 31):

Доказать сформулированное утверждение. Множество непрерывных кусочно линейных функций плотно в пространстве $C[a ; b]$ (см. задачу 31).

Доказать сформулированное утверждение.

Доказать сформулированное утверждение. В полном метрическом пространстве замыкание всякого его подпространства является замкнутым множеством.

Числовую последовательность называют финитной, если в ней только конечное число членов отличны от нуля.

Доказать, что подпространство финитных последовательностей пространства $l_{\infty }^{(0)}$ (см. задачу 90) не является полным. Является ли какое-нибудь из пространств $l_{\infty }^{(0)}$ и $l_{\infty }$ его пополнением?

Будет ли подпространство финитных последовательностей (см. задачу 111) пространства $l_{p}, 1 \leqslant p < +\infty$ (см. задачу 5), плотным в этом пространстве?

Пусть $(a ; b)$ — конечный или бесконечный интервал: $-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$. Функцию $x(t)$ называют финитной на интервале $(a ; b)$, если ее носителем¹ является компакт, содержащийся в интервале $(a ; b): \operatorname {supp} x \subset (a ; b)$.

Будет ли множество $C_{0}^{\infty }(a ; b)$ бесконечно дифференцируемых финитных на интервале $(a ; b)$ функций плотно в пространстве:

$C L_{p}(a ; b), \quad 1 \leqslant p < +\infty$ (см. задачу 7$) ; C B(a ; b)$ (см. задачу 89$)$?

Будет ли множество непрерывных финитных (см. задачу 113) на интервале $(a ; b),-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$, функций плотным в пространстве $C B(a, b)$ ограниченных непрерывных на интервале $(a, b)$ функций (см. задачу 100)?

Доказать сформулированное утверждение. Две фундаментальные последовательности $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right)$ и $\left(y_{1} ; \ldots ; y_{n} ; \ldots \right)$ метрического пространства $X$ называют эквивалентными, если

Пусть $X^{*}$ — множество всех классов, эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей пространства $X$. Тогда если $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right) \in x^{*}, \left(y_{1} ; \ldots ; y_{n} ; \ldots \right) \in y^{*}$, то:

Доказать сформулированное утверждение. Отображение $f$, ставящее в соответствие каждой точке $x \in X$ класс эквивалентных фундаментальных последовательностей $x^{*}$ (см. задачу 115), содержащий стационарную последовательность $\left\{ x ; x ; \ldots ; x ; \ldots \right\}$, является изометричным отображением $X$ в $X^{*}$.

Доказать сформулированное утверждение. Если $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots \right) \in x^{*}$ (см. задачу 115) и $f\left(x_{n}\right) = x_{n}^{*}$ (см. задачу 116), то $\lim_{n \rightarrow \infty } \rho^{*}\left(x_{n}^{*} ; x^{*}\right) = 0$ и множество $f(X)$ плотно в пространстве $X^{*}$.