Банк задач по математике

Задача 3.9.1

Пусть множество $G$ элементарно относительно оси $O z$ , т. е.

G = \left\{ (x ; y ; z): \quad (x ; y) \in \Omega , \varphi (x ; y) \leqslant z \leqslant \psi (x ; y)\right\}

где $\Omega$ — замкнутое измеримое множество в $R^{2}$ , функции $\varphi$ и $\psi$ непрерывны на $\Omega$ . Доказать, что для объема $G$ верна формула

V = \iint _{\Omega }(\psi (x ; y)-\varphi (x ; y)) d x d y

В частности, если $\psi (x ; y) \geqslant 0$ , а $\varphi (x ; y) = 0$ на $\Omega$ (т. е. $\Omega$ является основанием цилиндрического множества $G$ , а график $\psi$ - "крышкой"), то

V = \iint _{\Omega } \psi (x ; y) d x d y

?

Задача 3.9.2

Пусть промежуток $I$ является проекцией на ось $O x_{n}$ измеримого множества $G \subset R^{n}, \Omega \left(x_{n}\right)$ — сечение $G$ гиперплоскостью $x_{n} =$ const, , т. е. $\left(x^{\prime } = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n-1}\right)\right)$

\Omega \left(x_{n}\right) = \left\{ x^{\prime } \in R^{n-1}:\left(x^{\prime } ; x_{n}\right) \in G\right\} \subset R^{n-1},

и пусть для любого $x_{n} \in I$ множество $\Omega \left(x_{n}\right)$ измеримо в $R^{n-1}$ .

Доказать, что

\mu G = \int _{I} \mu \Omega \left(x_{n}\right) d x_{n}

В частности, для $R^{3}$ , обозначая $\mu G = V, \mu \Omega \left(x_{3}\right) = S(z)$ , имеем

V = \int _{I} S(z) d z

?

Задача 3.9.3

Пусть $A$ и $B$ — такие измеримые множества в $R^{n}$ , что для любого $x_{n}$ их сечения $\Omega_{A}\left(x_{n}\right)$ и $\Omega_{B}\left(x_{n}\right)$ измеримы в $R^{n-1}$ и $\mu \Omega_{A}\left(x_{n}\right) = \mu \Omega_{B}\left(x_{n}\right)$ . Доказать, что $\mu A = \mu B$ (принцип Кавальери).

?

Задача 3.9.4

¹Найти площадь области, ограниченной кривыми:

Большое количество задач о вычислении площадей плоских фигур, объемов тел, площадей поверхностей имеется в $[2, \S 7]$ . ↩

?

(1)

$4 y = x^{2}-4 x, x = y+3$ ;

(2)

$y^{2} = 10 x+25, y^{2} = 9-6 x$ ;

(3)

$y^{2} = 2 p x+p^{2}, y^{2} = q^{2}-2 q x, p > 0, q > 0$ ;

(4)

$x^{2}+y^{2} = 4, y^{2} = 4-4 x, x < 1$

(5)

$y^{2} = 2 x, y^{2} = 4 x-x^{2}, 2 x < y^{2}$ ;

(6)

$y = \cos x, y = \cos 2 x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi / 3$ ;

(7)

$2 x^{2}+2 y^{2} = 2 x+1, x^{2}+y^{2} = 1, x^{2}+y^{2} \geqslant 1$ ;

(8)

$\sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{a}, x+y = a$ ;

(9)

$(x+y)^{2}+x^{2} = a^{2}$ .

Задача 3.9.5

(1)(2)

Пусть $K^{\prime }$ — образ квадрата $K = [a ; a+h] \times [b ; b+h], k > 0$ , при отображении $u = \varphi (x ; y), v = \psi (x ; y)$ , пусть $S$ и $S^{\prime }$ — площади $K$ и $K^{\prime }$ .

Изобразить множество $K^{\prime }$ , найти отношение $S^{\prime } / S$ и его предел при $h \rightarrow 0$ , если:

?

(1)

$u = x y, v = y / x ; a > 0, b > 0$

(2)

$u+v = x, v = x y ; a = 0, b = 1,0 < h < 1$ .

Задача 3.9.6

Найти площадь области, ограниченной кривыми (можно использовать полярные координаты):

?

(1)

$x^{2}+y^{2} = 2 a x, x^{2}+y^{2} = 2 b x, y = x, y = 0, b > a > 0$ ;

(2)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = 2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right), x^{2}+y^{2} = a^{2}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geqslant a > 0\right)$ ;

(3)

$\left(x^{2}+y^{2}-a x\right)^{2} = a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2}+y^{2} = a \sqrt{3} y$ (область вне кардиоиды, но внутри окружности);

(4)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = a^{2} x^{2}-b^{2} y^{2}$ ;

(5)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} = a^{2}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ ;

(6)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = a\left(x^{3}-3 x y^{2}\right), a > 0$ ;

(7)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = a\left(x^{3}+y^{3}\right)$ .

Задача 3.9.7

(1)(2)

Найти площадь области, заданной на декартовой плоскости в полярных координатах:

?

(1)

$r \leqslant 1-\sin \varphi ;$

(2)

$3 \cos \varphi \leqslant r \leqslant 2-\cos \varphi$ .

Задача 3.9.8

Найти площадь области, ограниченной кривыми (можно воспользоваться обобщенными полярными координатами; см. задачу $119, \S 8)$ :

?

(1)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1$ ;

(2)

$\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}\right)^{2} = y^{2} / c^{2}$ ;

(3)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = x / p+y / q, p > 0, q > 0$ ;

(4)

$(x+y)^{4} = 6 x y^{2}$ (площадь петли);

(5)

$(x+y)^{4} = a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), x = 0, y = 0(x > 0, y > 0)$ ;

(6)

$\sqrt[4]{x / a}+\sqrt[4]{y / b} = 1, x = 0, y = 0, a > 0, b > 0$ ;

(7)

$x^{4}+y^{4} = 2 a^{2} x y$ ;

(8)

$x^{3}+y^{3} = a x y$ (площадь петли).

Задача 3.9.9

Найти площадь области, ограниченной данными линиями, используя подходящую замену координат:

?

(1)

$x = 2 y, y = 3 x, 3 x = 2-y, x = 4-2 y$ ;

(2)

$x+y = a, x+y = b, y = \alpha x, y = \beta x, 0 < a < b, 0 < \alpha < \beta$ ;

(3)

$x y = a^{2}, x y = b^{2}, x = p y, x = q y(x > 0), b > a > 0, q > p$ ;

(4)

$y^{2} = a x, y^{2} = b x, x = p y, x = q y, b > a > 0, q > p > 0$ ;

(5)

$y^{2} = a x, y^{2} = b x x^{2} = p y, x^{2} = q y, b > a > 0, q > p > 0$ ;

(6)

$x y = a^{2}, x y = b^{2}, x^{2} = p y, x^{2} = q y, b > a > 0, q > p > 0$ ;

(7)

$x^{2} = a y, x^{2} = b y, x^{3} = p y^{2}, x^{3} = q y^{2}, b > a > 0, q > p > 0$ ;

(8)

$\sqrt{x / a}+\sqrt{y / b} = 1, \sqrt{x / a}+\sqrt{y / b} = 2, x / a = y / b, x / a = 9 y / b$ , $a > 0, b > 0$

(9)

$x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = a^{2 / 3}, x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = b^{2 / 3}, y = x, y = 8 x, b > a > 0$ .

Задача 3.9.10

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} = 1

если $\Delta = a_{1} b_{2}-b_{2} a_{1} \neq 0$ .

?

Задача 3.9.11

Найти площадь расположенной в I квадранте фигуры, ограниченной двумя эллипсами $\frac{x^{2}}{\operatorname {ch}^{2} a_{j}}+\frac{y^{2}}{\operatorname {sh}^{2} a_{j}} = 1$ и двумя ортогональными им гиперболами $\frac{x^{2}}{\cos^{2} b_{j}}-\frac{y^{2}}{\sin^{2} b_{j}} = 1$ , где $j = 1,2,0 < a_{1} < a_{2}$ , $0 < b_{1} < b_{2}$ .

?

Задача 3.9.12

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (см. формулы (24), (25)).

?

(1)

$\left|x+y\right| < \pi / 2, z = \cos x \cos y, z = 0,\left|x-y\right| < \pi / 2$ ;

(2)

$n \pi < x^{2}+y^{2} < (n+1) \pi , z = \sin \left(x^{2}+y^{2}\right), z = 0$ ;

(3)

$x^{2}+y^{2} = a x, z = x^{2}+y^{2}, z = 0$ ;

(4)

$y = x^{2}, y = 1, z = 0, z = x^{2}+y^{2}$ ;

(5)

$x+y+z = a, 4 x+y = a, 4 x+3 y = 3 a, y = 0, z = 0, a > 0$ ;

(6)

$x^{2}+y^{2} = R^{2}, x+y+z = a, x+y+z = -a$ ;

(7)

$x^{2} / a^{2}+z^{2} / c^{2} = 1, y = b x / a, y = 0, z = 0, a > 0, b > 0, c > 0 (x > 0)$ ;

(8)

$x^{2}+y^{2} = a y, z = x y, z = 0(x > 0)$ ;

(9)

$z = 6-x^{2}-y^{2}, z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

Задача 3.9.13

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (см. формулы (24), (25)).

?

(1)

$x^{2}+y^{2} = a^{2}, y+z = \pm a, y-z = \pm a$ ;

(2)

$z = x y, z = x+y, x+y = 1, x = 0, y = 0$ ;

(3)

$x = a, y = b, z^{2} = x y, a > 0, b > 0$ ;

(4)

$x / a+y / b+z / c = 1,3 x / a+y / b+z / c = 1,3 x / a+y / b-3 z / c = 1, y = 0, a > 0, b > 0, c > 0$ ;

(5)

$z = x^{2}+y^{2}, z = x+y$ ;

(6)

$y^{2}+z^{2} = x, x = y$ ;

(7)

$x^{2} / a^{2}+z^{2} / b^{2} = 1, x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1$ ;

(8)

$z^{2}-x^{2} = a^{2}, z^{2}-y^{2} = a^{2}, z = a \sqrt{2}, a > 0$ ;

(9)

$x^{2} z^{2}+a^{2} y^{2} = c^{2} x^{2}, x = a, a > 0$ .

Задача 3.9.14

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (можно воспользоваться цилиндрическими координатами).

?

(1)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = 2 x y, z = x+y, z = 0(x > 0)$ ;

(2)

$x^{2}+y^{2} = x, x^{2}+y^{2} = 2 x, z = x^{2}+y^{2}, z = 0$ ;

(3)

$x^{2}+y^{2} = 1, z = e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}, z = 0$

(4)

$x^{2}+y^{2} = z^{2}, x^{2}+y^{2}+a^{2} = 2 z^{2}, a > 0(z > 0)$ ;

(5)

$x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}, x^{2}+y^{2} > a\left|x\right|, a > 0$ ;

(6)

$x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2},\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right), a > 0,\left|x\right| \geqslant \left|y\right|$ ;

(7)

$y = x \operatorname {tg} \alpha , \quad y = x \operatorname {tg} \beta , \quad z = c \cdot \cos \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}} /(2 a)\right), \quad z = 0$ , $\sqrt{x^{2}+y^{2}} < a, c > 0,0 \leqslant \alpha < \beta \leqslant 2 \pi$ ;

(8)

$z = x^{2}+y^{2}, x^{4}+y^{4} = a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), z = 0$ ;

(9)

$x^{2}+y^{2} = 1, x^{2}+y^{2} = 4, z(x+y) = a x+b y, z = 0, x > 0 y > 0$ , $a > 0, b > 0$ .

Задача 3.9.15

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (можно воспользоваться цилиндрическими координатами).

?

(1)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1, x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 2 z, z = 0$ ;

(2)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1, c z = x y, z = 0, x > 0, y > 0$ ;

(3)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = x / p, z / c = \sqrt{x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}}, z = 0, p > 0$ ;

(4)

$\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}\right)^{2}+z^{2} / c^{2} = 1$ ;

(5)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} = 1, x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = z / c, c > 0$ ;

(6)

$x^{4} / a^{4}+y^{4} / b^{4} = x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}, x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = z / c, z = 0, c > 0$ ;

(7)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = z / c, x / a+z / c = 2, a > 0, c > 0$ .

Задача 3.9.16

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (можно использовать сферические координаты).

?

(1)

$x^{2}+y^{2}+z^{2} = 4, z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\left(z < \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ ;

(2)

$x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2 a z, z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\left(z > \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ ;

(3)

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} = a^{3} x, a > 0$ ;

(4)

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} = a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)$ ;

(5)

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} = a x y z, a > 0$ ;

(6)

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} = a z\left(x^{2}+y^{2}\right), a > 0$ ;

(7)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4} = a^{3} z, a > 0$ ;

(8)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}+z^{6} = a^{3} x y z, a > 0$ .

Задача 3.9.17

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (можно использовать сферические координаты).

?

(1)

$\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}\right)^{2} = x / p, p > 0$ ;

(2)

$\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}\right)^{2} = x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}$ ;

(3)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} = 1, x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = z / c, c > 0$ ;

(4)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{4} / c^{4} = 1$ ;

(5)

$\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}\right)^{2} = x y z / p^{3}$ , $p > 0$ .

Задача 3.9.18

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (все параметры положительны).

?

(1)

$\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}\right)^{2} = 2 x y / c^{2}, z^{2} = 2 x y, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(2)

$(x / a+y / b)^{2}+z^{2} / c^{2} = 1, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(3)

$x+y = 1, z^{2} = x y, z > 0$ ;

(4)

$(x / a+y / b)^{2}+z^{2} / c^{2} = 1,(x / a+y / b)^{2} = x / a, y > 0, z > 0$ ;

(5)

$x+y = 1, x^{3 / 2}+y^{3 / 2} = z, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(6)

$(x / a+y / b)^{2}+z^{2} / c^{2} = x / p+y / q, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(7)

$(x / a+y / b)^{2}+z^{2} / c^{2} = x / p-y / q, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(8)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z / c = 1, \quad (x / a)^{2 / 3}+(y / b)^{2 / 3} = 1, \quad z = 0$ , $\left((x / a)^{2 / 3}+(y / b)^{2 / 3} \leqslant 1\right)$

(9)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} = 1, \quad \left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}\right)^{2} = x^{2} / a^{2}-y^{2} / b^{2}$ , $\left(\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}\right)^{2} \leqslant x^{2} / a^{2}-y^{2} / b^{2}\right)$ .

Задача 3.9.19

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (все параметры положительны).

?

(1)

$\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}\right)^{2}+z^{4} / c^{4} = z / p$ ;

(2)

$(x / a+y / b+z / c)^{2} = z / p, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(3)

$(x / a+y / b+z / c)^{2} = x / p+y / q, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(4)

$(x / a+y / b+z / c)^{2} = x / p-y / q, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(5)

$(x / a+y / b+z / c)^{2} = x / a+y / b-z / p, x > 0, y > 0, z > 0$ ;

(6)

$\sqrt{x / a}+\sqrt{y / b}+\sqrt{z / c} = 1$ ;

(7)

$(x / a)^{2 / 3}+(y / b)^{2 / 3}+(z / c)^{2 / 3} = 1$ ;

(8)

$\left((x / a)^{2 / 3}+(y / b)^{2 / 3}\right)^{3}+(z / c)^{2} = 1$ ;

(9)

$\sqrt[3]{x / a}+\sqrt[3]{y / b}+\sqrt[3]{z / c} = 1, x > 0, y > 0, z > 0$ .

Задача 3.9.20

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (все параметры положительны).

?

(1)

$x y = a^{2}, x y = 3 a^{2}, x = 2 y, x = 3 y, z = x^{2}+y^{2}$ , $z = 0$ ;

(2)

$y^{2} = a x, y^{2} = b x, x = p y, x = q y, z = 1 / x y, z = 0, b > a, q > p$ ;

(3)

$y^{2} = 2 x, y^{2} = 3 x, x^{2} = y, x^{2} = 2 y, z = x y, z = 0$ ;

(4)

$x y = 1, x y = 4, y^{2} = x, y^{2} = 3 x, z^{2} = x y, z = 0$ ;

(5)

$x+y+z = a, x+y+z = 2 a, x+y = z, x+y = 2 z, y = x$ , $y = 3 x$ ;

(6)

$z = x^{2}+y^{2}, z = 2\left(x^{2}+y^{2}\right), x y = a^{2}, x y = 2 a^{2}, x = 2 y, 2 x = y$ , $x > 0, y > 0$

(7)

$x^{2}+z^{2} = a^{2}, x^{2}+z^{2} = b^{2}, x^{2}-y^{2}-z^{2} = 0, x > 0, b > a$ ;

(8)

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} = \ln \frac{x / a+y / b+z / c}{x / a+y / b}, x = 0, z = 0, \frac{y}{b}+\frac{z}{c} = 0, \frac{x}{a} + \frac{y}{b}+\frac{z}{c} = 1$ .

Задача 3.9.21

Найти объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями $a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z = \pm d_{1}, a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z = \pm d_{2}, \quad a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z = \pm d_{3}$ , считая, что

\Delta = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix} \neq 0.

?

Задача 3.9.22

Найти объем эллипсоида

\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z\right)^{2}+\left(a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z\right)^{2} = 1

при условии, что $\Delta \neq 0$ , где $\Delta$ из задачи 21.

?

Задача 3.9.23

Найти объем части цилиндра

\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z\right)^{2} \leqslant 1

отсеченной плоскостями $a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z = \pm d$ , при условии, что $\Delta \neq 0$ , где $\Delta$ из задачи 21.

?

Задача 3.9.24

(1)(2)

Пусть $V_{n}$ — объем $n$ -мерного шара радиуса $R$ . Доказать, что:

?

(1)

существует такое $c_{n} > 0$ , что для любого $R$ объем шара $V_{n} = c_{n} R^{n}$

(2)

$V_{2 k+1} = 2 \frac{(2 \pi )^{k}}{(2 k+1) ! !} R^{2 k+1}, V_{2 k} = \frac{(2 \pi )^{k}}{(2 k) ! !} R^{2 k}, k \in N$ .

Задача 3.9.25

(1)(2)

Найти объем четырехмерного прямого кругового:

?

(1)

цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $H$ ;

(2)

конуса с радиусом основания $R$ и высотой $H$ .

Задача 3.9.26

Пусть $y = y(x)$ — непрерывно дифференцируемая на отрезке $[a ; b]$ функция. Доказать, исходя из формулы (6), что площадь $\sigma$ поверхности, образованной при вращении графика этой функции вокруг оси $O z$ , равна

\sigma = 2 \pi \int _{a}^{b}\left|y(x)\right| \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x

(см. $[2, \S 8,(8)])$ :

?

Задача 3.9.27

Найти площадь части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2 a^{2}$ , заключенной внутри конуса $x^{2}+y^{2} = z^{2}$ .

?

Задача 3.9.28

Найти площадь поверхности $a z = x y, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ .

?

Задача 3.9.29

Найти площадь части цилиндра $x^{2}+z^{2} = a^{2}$ , заключенной внутри цилиндра $y^{2}+z^{2} = a^{2}$ .

?

Задача 3.9.30

Найти площадь части параболоида $y = x^{2}+z^{2}$ , расположенной в I квадранте и внутри цилиндра $x^{2}+z^{2} = 1$ .

?

Задача 3.9.31

Найти площадь части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ , заключенной внутри цилиндра $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1, b \leqslant a$ .

?

Задача 3.9.32

Найти площадь части цилиндра $z = x^{2}$ , отсеченной плоскостями $x+y = \sqrt{2}, x = 0, y = 0$ .

?

Задача 3.9.33

Найти площадь части поверхности $z^{2} = 2 x y$ , отсеченной плоскостями $x+y = 1, x = 0, y = 0$ .

?

Задача 3.9.34

Найти площадь части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ , расположенной вне цилиндров $x^{2}+y^{2} = \pm a x$ .

?

Задача 3.9.35

Найти площадь части цилиндра $x^{2}+y^{2} = a x$ , расположенной внутри шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}$ .

?

Задача 3.9.36

Найти площадь части конуса $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ , заключенной внутри цилиндра $x^{2}+y^{2} = 1$ .

?

Задача 3.9.37

Найти площадь части конуса $z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , заключенной внутри цилиндра $x^{2}+y^{2} = 2 x$ .

?

Задача 3.9.38

Найти площадь части конуса $x^{2} = y^{2}+z^{2}$ , отсеченной поверхностью $а у = x^{2}$ .

?

Задача 3.9.39

Найти площадь части поверхности $2 x = z^{2}-y^{2}$ , расположенной внутри цилиндра $y^{2}+z^{2} = 1$ .

?

Задача 3.9.40

Найти площадь части цилиндра $x^{2}+y^{2} = a^{2}$ , отсеченной плоскостями $x \pm z = 0(x > 0)$ .

?

Задача 3.9.41

Найти площадь части поверхности $x^{2}+y^{2} = 2 z$ , заключенной внутри цилиндра $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = x^{2}-y^{2}$ .

?

Задача 3.9.42

Найти плошадь части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ , заключенной внутри цилиндра $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = 2 a^{2} x y$ .

?

Задача 3.9.43

Найти площадь части поверхности $x^{2} / a-y^{2} / b = 2 z$ , отсеченной цилиндром $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1$ и расположенной при $z > 0$ ( $a > 0$ , $b > 0)$ .

?

Задача 3.9.44

Найти площадь части поверхности $x^{2} / a+y^{2} / b = 2 z$ , отсеченной цилиндром $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1(a > 0, b > 0)$ .

?

Задача 3.9.45

Найти площадь поверхности $(x+y)^{2}+z = 1, x > 0, y > 0$ , $z > 0$ .

?

Задача 3.9.46

Найти площадь поверхности $(x+y)^{2}+2 z^{2} = 2 a^{2}, x > 0, y > 0$ , $z > 0$ .

?

Задача 3.9.47

Найти площадь части сферического треугольника $x^{2}+y^{2} + z^{2}+z^{2} = a^{2}, x > 0, y > 0, z > 0, x+y < a$ .

?

Задача 3.9.48

Найти площадь части конической поверхности $z^{2} = x^{2}+y^{2}$ , имеющей краем винтовую линию $x = z \cos z, y = z \sin z, 0 \leqslant z \leqslant 2 \pi$ , и отрезок образующей.

?

Задача 3.9.49

Найти площадь части поверхности $\sin z = \operatorname {sh} x \operatorname {sh} y, y > 0$ , отсеченной плоскостями $x = 1$ и $x = 2$ .

?

Задача 3.9.50

Найти площадь части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}$ , ограниченной двумя параллелями $\psi = \psi_{1}, \psi = \psi_{2} > \psi_{1}$ и двумя меридианами $\varphi = \varphi_{1}$ , $\varphi = \varphi_{2} > \varphi_{1}$ , где $\varphi$ и $\psi$ — углы сферических координат.

?

Задача 3.9.51

Найти площадь поверхности тора $x = (b+a \cos \psi ) \cos \varphi , y = (b+a \cos \psi ) \sin \varphi , z = a \sin \psi , 0 < a \leqslant b$ .

?

Задача 3.9.52

(1)(2)

Пусть $I_{O}$ и $I_{C}$ — моменты инерции относительно начала координат $O$ и центра масс $C$ тела, и пусть $d = \left|C O\right|, d_{x} = \sqrt{y_{C}^{2}+Z_{C}^{2}}$ — расстояние от $C$ до оси $O X, M$ — масса тела. Доказать, что:

?

(1)

$I_{O} = I_{C}+m d^{2}$

(2)

$I_{x x} = I_{x^{\prime } x^{\prime }}+m d_{x}^{2}$ , где $I_{x^{\prime } x^{\prime }}$ — момент инерции тела относительно оси $C x^{\prime }$ , параллельной $O x$ и проходящей через $C$ .

Задача 3.9.53

(1)(2)(3)

Пусть для тела $\Omega \subset R^{3}$ площадь $S(x)$ его поперечного сечения плоскостью $x =$ const является непрерывной функцией $x \in [a ; b]$ , и пусть плотность $\rho$ тела зависит только от $x, \rho = \rho (x)$ . Доказать, что для массы тела $M$ , его статического момента $M_{y x}$ и момента инерции $I_{y z}^{\prime }$ верны формулы (см. $[2, \S 9,(15)-(17)]$ ) :

?

(1)

$M = \int_{a}^{b} S(x) \rho (x) d x$ ;

(2)

$M_{y z} = \int_{a}^{b} x S(x) \rho (x) d x$

(3)

$I_{y z}^{\prime } = \int_{a}^{b} x^{2} S(x) \rho (x) d x$

Задача 3.9.54

(1)(2)

Пусть тело $\Omega$ получено при вращении вокруг оси $O x$ фигуры, заданной неравенствами

0 \leqslant y_{1}(x) \leqslant y \leqslant y_{2}(x), \quad a \leqslant x \leqslant b

где $y_{1}(x)$ и $y_{2}(x)$ — непрерывные функции, и пусть плотность тела зависит только от $x, \rho = \rho (x)$ . Доказать, что (см. $[2, \S 9,(19),(20)]$ ):

?

(1)

$I_{x x} = \frac{\pi }{2} \int_{a}^{b}\left(y_{2}^{4}(x)-y_{1}^{4}(x)\right) \rho (x) d x ;$

(2)

$I_{y y} = \frac{1}{2} I_{x x}+\pi \int_{a}^{b} x^{2}\left(y_{2}^{2}(x)-y_{1}^{2}(x)\right) \rho (x) d x$ .

Задача 3.9.55

Пусть основанием прямого цилиндра является область площади $S$ , а "крышка" цилиндра плоская. Пусть $H$ — длина лежащего внутри цилиндра отрезка прямой, проходящей через центр масс основания параллельно образующим. Доказать, что объем цилиндра равен $S H$ .

?

Задача 3.9.56

(1)(2)(3)(4)

Для квадрата $\Omega = [0 ; \pi / 2] \times [0 ; \pi / 2]$ с плотностью $\rho (x ; y) = \rho_{0} \sin (x+y)$ найти:

?

(1)

массу;

(2)

координаты центра масс;

(3)

моменты инерции $I_{x x}$ и $I_{y y}$ относительно осей $O x$ и $O y$ ;

(4)

момент инерции относительно прямой $y = x$ .

Задача 3.9.57

(1)(2)(3)(4)

Для круга $\Omega = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x\right\}$ с плотностью $\rho (x ; y) = \rho_{0} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ найти:

?

(1)

массу;

(2)

координаты центра масс;

(3)

моменты инерции $I_{x x}$ и $I_{y y}$ относительно осей $O x$ и $O y$ ;

(4)

момент инерции относительно прямой $x = a$ .

Задача 3.9.58

(1)(2)(3)(4)

Для треугольника $\Omega = \left\{ x+y \geqslant a, a \geqslant x \geqslant 0, a \geqslant y \geqslant 0\right\}$ с плотностью $\rho (x ; y) = x$ найти:

?

(1)

массу;

(2)

координаты центра масс;

(3)

моменты инерции относительно осей $O x$ и $O y$ ;

(4)

момент инерции относительно прямой $y = y_{C}$ , где $y_{C}$ — ордината центра масс.

Задача 3.9.59

Пусть начало координат $O$ является центром масс плоской фигуры $\Omega$ , прямая $l$ проходит через $O$ и составляет с осью $O x$ угол $\alpha$ .

Доказать, что

I_{l} = I_{x x} \cos ^{2} \alpha -2 I_{x y} \sin \alpha \cos \alpha +I_{y y} \sin ^{2} \alpha

где $I_{l}$ — момент инерции $\Omega$ относительно оси $l, I_{x y}$ — центробежный момент инерции:

I_{x y} = \iint _{\Omega } x y \rho (x ; y) d x d y

?

Задача 3.9.60

Найти координаты центра масс однородной плоской $(\rho = 1)$ фигуры:

?

(1)

$y^{2} / a \leqslant x \leqslant 2 a-y, a > 0$

(2)

$x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2},\left|y\right| \leqslant x \operatorname {tg} \alpha , \alpha \in (0 ; \pi / 2)$

(3)

$y \leqslant a^{2} / x, y^{2} /(8 a) \leqslant x \leqslant 2 a, a > 0$ ;

(4)

$r \leqslant a(1+\sin \varphi )$ ;

(5)

ограниченной петлей декартова листа $x^{3}+y^{3} = 3 a x y$ ;

(6)

ограниченной аркой циклоиды $x = a(t+\sin t), y = a(1-\cos t)$ и прямой $y = 2 a$ ;

(7)

$\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqslant \sqrt{a}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ .

Задача 3.9.61

Найти статический момент однородного $(\rho = 1)$ тела $\left\{ \left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant z \leqslant 1-x^{2}-y^{2}\right\}$ относительно плоскости $O x y$ .

?

Задача 3.9.62

(1)(2)

Найти координаты центра масс однородного $(\rho = 1)$ тела:

?

(1)

$0 \leqslant b z \leqslant h(b-y), a^{2} y \geqslant b x^{2}, a > 0, b > 0, h > 0$ ;

(2)

$\left(y^{2}+2 z^{2}\right) / 4 \leqslant x \leqslant 2$ .

Задача 3.9.63

Найти координаты центра масс тела с плотностью $\rho$ :

?

(1)

$[0 ; a] \times [0 ; a] \times [0 ; a], \rho = \rho_{0}(x+y+z)^{2}$ ;

(2)

$x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, \rho = \rho_{0} / \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ;

(3)

$R^{2} \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 R^{2}, y \geqslant 0, \rho = \rho_{0}\left(z^{2}+x^{2}+y^{2}\right)$ ;

(4)

$\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant h, \rho = \rho_{0} z^{2}$ ;

(5)

$x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant h, \rho = \rho_{0} \sqrt{h-z}$ ;

(6)

$x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0, \rho = \rho_{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1 / 2}$ ;

(7)

$x^{2}+y^{2}-z^{2} \leqslant a^{2}, 0 \leqslant z \leqslant h, \rho = \rho_{0} z$ ;

(8)

$0 \leqslant z \leqslant x^{2}-y^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, \rho = \rho_{0} z$ .

Задача 3.9.64

По пространству вне шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant R^{2}$ распределена масса с плотностью $\rho = \rho_{0} / r^{3+\alpha }$ , где $\alpha > 0, \quad r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ . Найти эту массу.

?

Задача 3.9.65

По пространству вне эллипсоида $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} \geqslant 1$ распределена масса с плотностью

\rho = \rho _{0} \exp \left(-k \sqrt{x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}}\right), \quad k > 0.

Найти эту массу.

?

Задача 3.9.66

Найти момент инерции относительно координатных осей и относительно начала координат однородной $(\rho = 1)$ плоской фигуры:

?

(1)

$x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2},\left|y\right| \leqslant x \operatorname {tg} \alpha , \alpha \in (0 ; \pi / 2)$

(2)

$(x-a)^{2}+(y-a)^{2} \geqslant a^{2}, a \geqslant x \geqslant 0, a \geqslant y \geqslant 0$

(3)

$x / a+y / c \leqslant 1, x / b+y / c \geqslant 1, y \geqslant 0, a > b > 0, c > 0$ ;

(4)

$r \leqslant a \sin 2 \varphi , 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi / 2$ ;

(5)

$r \leqslant a(1-\sin \varphi )$ ;

(6)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} \leqslant 1$ ;

(7)

$x^{4}+y^{4} = a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ;

(8)

$x y = a^{2}, x y = 2 a^{2}, x = 2 y, y = 2 x(x > 0, y > 0)$ .

Задача 3.9.67

(1)(2)(3)

Найти полярный момент инерции относительно начала координат однородной $(\rho = 1)$ плоской фигуры:

?

(1)

$x / a+y / b \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, a > 0, b > 0$ ;

(2)

$a^{2} \geqslant y^{2} \geqslant a x \geqslant 0, a > 0$ ;

(3)

$r = a \sqrt{\cos 2 \varphi }$ .

Задача 3.9.68

(1)(2)

Найти момент инерции плоского однородного $(\rho = 1)$ правильного треугольника со стороной $a$ относительно оси:

?

(1)

содержащей его высоту;

(2)

проходящей через центр масс треугольника и составляющей с его высотой угол $\alpha$ .

Задача 3.9.69

(1)(2)

По шару радиуса $R$ распределена масса $M$ с плотностью $\rho$ .

Найти момент инерции шара относительно его диаметра, если:

?

(1)

плотность $\rho$ в точке пропорциональна расстоянию между этой точкой и центром шара;

(2)

плотность $\rho$ в точке обратно пропорциональна расстоянию между этой точкой и центром шара.

Задача 3.9.70

(1)(2)(3)(4)

Найти моменты инерции относительно координатных осей однородных $(\rho = 1)$ тел:

?

(1)

$[0 ; a] \times [0 ; b] \times [0 ; c]$ ;

(2)

$x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant z \leqslant H$ ;

(3)

$0 \leqslant R z \leqslant H \quad \left(R-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ .

(4)

Задача 3.9.71

Найти полярный момент инерции шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ с плотностью $\rho = \rho_{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ относительно его центра.

?

Задача 3.9.72

Найти момент инерции относительно плоскости $O x y$ однородного $(\rho = 1)$ тела $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z$ .

?

Задача 3.9.73

Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных $(\rho = 1)$ тел:

?

(1)

$x / a+y / b+z / c \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a > 0, b > 0, c > 0$ ;

(2)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} \leqslant 1$ ;

(3)

$\sqrt{x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}} \leqslant z / c \leqslant 1$ ;

(4)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} \leqslant 1, x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} \leqslant x / a, a > 0, b > 0$ , $c > 0$

(5)

$\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}\right) / 2 \leqslant z / c \leqslant x / a+y / b, a > 0, b > 0, c > 0$ .

Задача 3.9.74

Найти момент инерции относительно оси $O z$ однородных $(\rho = 1)$ тел:

?

(1)

$2 a x \geqslant z^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant a x$

(2)

$x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x+y+z \leqslant a \sqrt{2}, z \geqslant 0$

(3)

$0 \leqslant z \leqslant x^{2}+y^{2},\left|x+y\right| \leqslant 1,\left|x-y\right| \leqslant 1$ ;

(4)

$x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} ;$

(5)

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} \leqslant a^{3} z ;$

(6)

$(x / a)^{2 / 3}+(y / b)^{2 / 3}+(z / c)^{2 / 3} \leqslant 1$ ;

(7)

$\sqrt{y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}} \leqslant x / a \leqslant 1, a > 0, b > 0, c > 0$ .

Задача 3.9.75

(1)(2)

Найти момент инерции тора $x = (b+a \cos \psi ) \cos \varphi , y = (b + a \cos \psi ) \sin \varphi , z = a \sin \psi , 0 < a < b$ , относительно:

?

(1)

оси $O z$ ;

(2)

оси $O x$ .

Задача 3.9.76

Найти момент инерции однородного $(\rho = 1)$ цилиндра $x^{2} + y^{2} \leqslant R^{2},\left|z\right| \leqslant H$ относительно прямой $x = y = z$ .

?

Задача 3.9.77

Пусть начало координат $O$ совпадает с центром масс тела $G$ , ось $l$ проходит через точку $O$ и составляет с осями координат углы $\alpha , \beta$ и $\gamma$ . Доказать, что момент инерции $I_{l}$ тела относительно оси $l$ равен

$I_{l} = I_{x x} \cos^{2} \alpha +I_{y y} \cos^{2} \beta +I_{z z} \cos^{2} \gamma -2 I_{x y} \cos \alpha \cos \beta -2 l_{y z} \cos \beta \cos \gamma -2 I_{z x} \cos \gamma \cos \alpha$ где

$I_{x y} = \iiint_{G} x y \rho d x d y d z, I_{y z} = \iiint_{G} y z \rho d x d y d z, I_{z x} = \iiint_{G} z x \rho d x d y d z$

центробежные моменты инерции тела.

?

Задача 3.9.78

(1)(2)

Найти логарифмический потенциал, если $\Omega = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ , и, кроме того:

?

(1)

$\mu = \mathrm{const}$ ;

(2)

$\mu (x ; y) = f(r), r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

Задача 3.9.79

Найти ньютонов потенциал в точке $M_{0}$ , создаваемый шаром плотности $\rho_{0}$ ¹ и радиуса $R$ .

Всюду в задачах этого пункта $\rho_{0} = \operatorname {const}$ . ↩

?

Задача 3.9.80

Найти ньютонов потенциал в точке $M_{0}$ , создаваемый полым шаром с плотностью $\rho_{0}$ , если его внутренний и внешний радиусы есть $R_{1}$ и $R_{2}, R_{1} < R_{2}$ .

?

Задача 3.9.81

Найти ньютонов потенциал, создаваемый шаром $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}$ с плотностью $\rho (x ; y ; z) = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

?

Задача 3.9.82

Найти ньютонов потенциал в центре основания цилиндра с радиусом $R$ , высотой $H$ и плотностью $\rho_{0}$ .

?

Задача 3.9.83

(1)(2)

Материальный конус с образующей $l$ и высотой $h$ имеет плотность $\rho_{0}$ . Найти потенциал гравитационного поля конуса:

?

(1)

в его вершине;

(2)

в центре его основания.

Задача 3.9.84

Найти в точке $(0 ; 0, h)$ ньютонов потенциал полушара $x^{2} + y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$ с плотностью $\rho_{0}$ .

?

Задача 3.9.85

Найти в точке $(0 ; 0 ; h)$ ньютонов потенциал цилиндра $x^{2} + y^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant z \leqslant H$ с плотностью $\rho_{0}$ .

?

Задача 3.9.86

Найти ньютонов потенциал эллипсоида $\left(x^{2}+y^{2}\right) / a^{2}+z^{2} / b^{2} = 1$ с плотностью $\rho_{0}$ в его центре.

?

Задача 3.9.87

Найти силу притяжения материальной точки $M_{0}$ массы $m$ шаром радиуса $R$ с плотностью $\rho_{0}$ .

?

Задача 3.9.88

Из материального шара радиуса $R$ и плотности $\rho_{0}$ вырезан шаровой сектор с углом в осевом сечении $2 \alpha$ . Найти силу, с которой этот сектор притягивает точку массы $m$ , расположенную в его вершине.

?

Задача 3.9.89

(1)(2)(3)(4)

Для материального шара с плотностью $\rho = f(r)$ доказать, что:

?

(1)

точка вне шара притягивается шаром с такой же силой, как и точечной массой, равной массе шара и помещенной в его центре;

(2)

на точку внутри шара наружный шаровой слой не оказывает никакого действия;

(3)

потенциал в точке вне шара таков же, как и от точечной массы, равной массе шара и помещенной в его центр;

(4)

если шар полый, то потенциал шара в полости постоянен.

Задача 3.9.90

Найти силу, с которой цилиндр с плотностью $\rho_{0}$ , высотой $H$ и радиусом $R$ притягивает точку массы $m$ , расположенную в центре основания цилиндра.

?

Задача 3.9.91

Найти силу, с которой конус с плотностью $\rho_{0}$ , высотой $H$ и радиусом основания $R$ притягивает точку массы $m$ , расположенную в вершине конуса.

?

Задача 3.9.92

Найти силу притяжения материальной точки массы $m$ с координатами $(0 ; 0 ; h)$ материальным кругом $\left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, z = 0\right\}$ , по которому равномерно распределена масса с поверхностной плотностью $\rho_{0}$ .

?

Задача 3.9.93

Найти силу притяжения материальной точки массы $m$ с координатами $(0 ; 0 ; h)$ материальной плоскостью, по которой равномерно распределена масса с поверхностной плотностью $\rho_{0}$ .

?

Задача 3.9.94

Расстояние между центрами двух шаров равно $a$ , масса одного шара равна $M_{1}$ , другого - $M_{2}$ , плотность каждого шара постоянна.

Исходя из формул (21), (20) доказать, что сила притяжения одного шара другим равна силе притяжения между двумя материальными точками, помещенными в центры шаров и имеющими массы $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно. Найти эту силу.

?

Задача 3.9.95

Считая Землю жидким шаром со средней плотностью $\rho_{0}$ и радиусом $R$ , найти давление в нем как функцию расстояния $r$ до центра.

?

Задача 3.9.96

Тонкая пластинка имеет форму кругового кольца с центром в точке $O(0 ; 0)$ и радиусами $R_{1}$ и $R_{2}, R_{1} < R_{2}$ . Удельная теплоемкость пластинки равна $c = \left|x y\right|$ , плотность $\rho_{0}$ постоянна. Найти количество тепла, полученного пластинкой при ее нагревании от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ .

?

Задача 3.9.97

На тонкой пластинке, имеющей форму параболического сегмента с основанием $2 a$ и высотой $h$ , распределен электрический заряд с поверхностной плотностью $\sigma = 2 x+y$ . Найти полный заряд пластинки.

?

Задача 3.9.98

Горизонтальный уровень жидкости совпадает с плоскостью $O y z$ , ось $O x$ направлена вниз, в глубь жидкости. Плотность жидкости $\rho_{0}$ . Показать, что сила давления жидкости на вертикальную пластину $\Omega$ , расположенную в плоскости $O x y$ , равна

\rho _{0} \iint _{\Omega } x d x d y

a ее точка приложения находится на глубине $h$ , определяемой из формулы

h \iint _{\Omega } x d x d y = \iint _{\Omega } x^{2} d x d y

?

Задача 3.9.99

Показать, что кинетическая энергия твердого тела $G$ , вращающегося вокруг оси $O z$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ , равна

W_{k} = \frac{1}{2} I_{z z} \omega ^{2}

где $I_{z z}$ — осевой момент инерции тела.

?

Задача 3.9.100

Пусть тело $G$ вращается вокруг оси $O z$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ .

Главный вектор сил инерции (центробежных сил) $\mathbf{F} = \left(F_{x} ; F_{y} ; F_{z}\right)$ определяют по формулам

F_{x} = \omega ^{2} \int _{G} x \rho d V = \omega ^{2} M_{y z}, \quad F_{y} = \omega ^{2} M_{z x}, \quad F_{z} = 0

Главный момент $\mathbf{M} = \left(M_{x} ; M_{y} ; M_{z}\right)$ этих сил — по формулам

M_{x} = \omega ^{2} \int _{G} y z \rho d V = \omega ^{2} I_{y z}, \quad M_{y} = \omega ^{2} I_{z x}, \quad M_{z} = 0

Материальная пластина закреплена на оси $l$ и вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью $\omega$ . Как следует расположить ось $l$ , чтобы силы инерции (центробежные силы) не оказывали на нее никакого действия?

?

Задача 3.9.101

Пусть $G$ — тонкая однородная треугольная пластина массы $M$ с катетами $a$ и $b$ , вращающаяся вокруг оси $O z$ , содержащей катет $b$ . В какой точке следует поместить точечную массу и какой величины, чтобы, присоединив ее к пластинке, устранить реакции в точках закрепления оси вращения?

?

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Footnotes

Footnotes