Поверхностные интегралы

Вычислить интегралы. $\iint_{S}(x+y+z) d S$, где:

Вычислить интегралы. $\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d S$, где:

Вычислить интегралы. $\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S$, где:

Вычислить интегралы. $\iint \frac{d S}{(1+x+y)^{2}}, S$ — поверхность тетраэдра $x+y+z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы. $\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}\right)^{-n / 2} d S, \quad n \in N, \quad S$ — сфера $x^{2}+y^{2} + z^{2} = R^{2}$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} z^{2} d S, S$ — часть конической поверхности $x = u \cos v \sin \alpha , \quad y = u \sin v \sin \alpha , \quad z = u \cos \alpha$,

$\alpha = \mathrm{const}, \alpha \in (0 ; \pi / 2)$, выделяемая условиями $u \in [0 ; 1], v \in [0 ; 2 \pi ]$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} z d S, S$ — поверхность

Вычислить интегралы. $\iint_{S} f(r) d S$, где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad f(r) = \begin{cases} 1-r^{2}, & r \leqslant 1, \\ 0, & r \geqslant 1, \end{cases} S$ — плоскость $x+y+z = a$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} f(r ; z) d S$, где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad f(r ; z) = \begin{cases} r^{2}, & r \leqslant z, \\ 0, & r \geqslant z, \end{cases} \quad S-$ сфера $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}$.

Доказать формулу Пуассона

где $f(t),\left|t\right| \leqslant \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$, — непрерывная функция, $S$ — сфе- pa $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1$.

Определить массу, распределенную:

Определить статический момент относительно плоскости $z = 0$ однородной ($\rho = \rho_{0} =$ const $)$ поверхности:

Определить аппликату центра масс полусферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}, z \geqslant 0$ с поверхностной плотностью:

Определить координаты центра масс однородных поверхностей:

Вычислить моменты инерции относительно координатных плоскостей однородной ($\rho = \rho_{0} =$ const $)$ поверхности:

Вычислить момент инерции однородной ($\rho = \rho_{0} =$ const) поверхности:

Найти величину силы, с которой однородная поверхность:

Найти величину силы, с которой однородная сфера радиуса $R$ и плотности $\rho = \rho_{0}$ притягивает точку массы $m$.

Определить электрический заряд, распределенный с плотностью $\rho = \rho_{0}\left|z\right|$ по поверхности:

Найти потенциал в точке $M_{0}\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)$ простого слоя (п. 1), распределенного:

Найти в точке $(0 ; 0 ; z)$ потенциал простого слоя, распределенного с плотностью $\mu$ :

Вычислить интегралы. $\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, S$ — нижняя сторона круга $x^{2}+y^{2} \leqslant 4$, $z = 0$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S}(2 z-x) d y d z+(x+2 z) d z d x+3 z d x d y, S$ — верхняя сторона треугольника $x+4 y+z = 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} f_{1}(x) d y d z+f_{2}(y) d z d x+f_{3}(z) d x d y$, где $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ — непрерывные функции, $S$ — внешняя сторона поверхности параллелепипеда $0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c$.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{2} d y d z+z^{2} d x d y, \quad S$ — внешняя сторона части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}, x \leqslant 0, y \geqslant 0$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y, S$ — внешняя сторона сферы $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2} = R^{2}$.

Вычислить интегралы. $\iint z^{2} d x d y, S$ — внутренняя сторона полусферы $(x-a)^{2} + (y-b)^{2}+z^{2} = R^{2}, z \geqslant 0$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S}(x-1)^{3} d y d z, S$ — внешняя сторона полусферы $x^{2}+y^{2} + z^{2} = 2 x, z \leqslant 0$.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы.

Вычислить интегралы. $\iint_{S}\left(2 x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d y d z, S$ — внешняя сторона боковой поверхности конуса $\sqrt{y^{2}+z^{2}} \leqslant x \leqslant H$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S}(y-z) d y d z+(z-x) d z d x+(x-y) d x d y, S$ — одна из сторон поверхности $x^{2}+y^{2} = z^{2}, 0 < z \leqslant H$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} y z^{2} d x d z, S$ — внутренняя сторона части цилиндрической поверхности $x^{2}+y^{2} = r^{2}, y \leqslant 0,0 \leqslant z \leqslant r$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} y z d x d y+z x d y d z+x y d z d x, S$ — внешняя сторона части цилиндра $x^{2}+y^{2} = r^{2}, x \leqslant 0, y \geqslant 0,0 \leqslant z \leqslant H$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{6} d y d z+y^{4} d z d x+z^{2} d x d y, S$ — нижняя сторона части эллиптического параболоида $z = x^{2}+y^{2}, z \leqslant 1$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y, S$ — верхняя сторона части гиперболического параболоида $z = x^{2}-y^{2},\left|y\right| \leqslant x \leqslant a$.

С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интегралы. $\iint_{S}(1+2 x) d y d z+(2 x+3 y) d z d x+(3 y+4 z) d x d y$, где $S$ :

С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интегралы. $\iint_{S} z d x d y+(5 x+y) d y d z$, где $S$ :

С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$, где $S$ :

С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{3} d y d z+y^{3} d z d x+z^{3} d x d y$, где $S$ :

С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{4} d y d z+y^{4} d z d x+z^{4} d x d y$, где $S$ :

Доказать для объема $V$ тела, ограниченного гладкой поверхностью $S$, формулу

Используя формулу из задачи 49, найти объем тела, ограниченного:

Вычислить интегралы. $\iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y$, где $S$ — внешняя сторона поверхности, образованной вращением вокруг оси $z$ кривой:

Вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$, где $S$ :

Вычислить интегралы. $\iint_{S} \left(z^{2}-y^{2}\right) d y d z+\left(x^{2}-z^{2}\right) d z d x+\left(y^{2}-x^{2}\right) d x d y$, $S$ — верхняя сторона полусферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}, z \geqslant 0$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{2} y d y d z+x y^{2} d z d x+x y z d x d y, \quad S$ — нижняя сторона части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$.

Вычислить интегралы. $\iint_{S} x^{2} y d y d z-x y^{2} d z d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) z d x d y, S$ — внешняя сторона части цилиндрической поверхности $x^{2}+y^{2} = R^{2}, 0 \leqslant z \leqslant H$.

Доказать, что если $S$ — замкнутая гладкая поверхность, $\mathbf{n}$ — ее внешняя нормаль, $\mathbf{l}$ — некоторый постоянный вектор, то

Пусть $G \in R^{3}$ — ограниченная область с гладкой границей $S$, $\mathbf{n}$ — внешняя нормаль к $S, \mathbf{r} = (\xi -x) \mathbf{i}+(\eta -y) \mathbf{j}+(\zeta -z) \mathbf{k}$ :

Доказать, что если $G \in R^{3}$ — ограниченная область с гладкой границей $S, \mathbf{n}$ — внешняя нормаль $S, u(x ; y ; z)$ и $v(x ; y ; z)$ — дважды непрерывно дифференцируемые в $\bar{G}$ функции, то

Доказать, что если $u(x ; y ; z)$ — гармоническая функция в ограниченной замкнутой области $\bar{G}$ с гладкой границей $S, \mathbf{n}$ — внешняя нормаль к $S, \mathbf{r} = (\xi -x) \mathbf{i}+(\eta -y) \mathbf{j}+(\zeta -z) \mathbf{k}$, то

Доказать, что если $u(x ; y ; z)$ — функция, гармоническая внутри сферы $S$ радиуса $R$ с центром в точке $\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)$, то

Используя формулу Стокса, вычислить интегралы. $\int_{L}(x+z) d x+(x-y) d y+x d z, L$ — эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, z = c$, ориентированный отрицательно относительно вектора $(0 ; 0 ; 1)$.

Используя формулу Стокса, вычислить интегралы. $\int_{L} y^{2} d x+z^{2} d y+x^{2} d z, L$ — граница треугольника с вершинами в точках $(a ; 0 ; 0),(0 ; a ; 0),(0 ; 0 ; a)$, ориентированная положительно относительно вектора $(0 ; 1 ; 0)$.

Используя формулу Стокса, вычислить интегралы.

Используя формулу Стокса, вычислить интегралы. $\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+\left(z^{2}-x^{2}\right) d y+\left(x^{2}-y^{2}\right) d z, L$ — кривая пересечения поверхности куба $\left|x\right| \leqslant a,\left|y\right| \leqslant a,\left|z\right| \leqslant a$ плоскостью $x + y+z = 3 a / 2$, ориентированная положительно относительно вектора $(1 ; 0 ; 0)$.

Используя формулу Стокса, вычислить интегралы. $\int_{L}(y-z) d x+(z-x) d y+(x-y) d z$, где:

Используя формулу Стокса, вычислить интегралы. $\int_{L} y d x-z d y+x d z, L$ — кривая $x^{2}+y^{2}+2 z^{2} = 2 a^{2}, y-x = 0$, ориентированная положительно относительно вектора $(1 ; 0 ; 0)$.

Используя формулу Стокса, вычислить интегралы. $\int_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) d x+\left(z^{2}+x^{2}\right) d y+\left(x^{2}+y^{2}\right) d z, L$ — кривая $x^{2} + y^{2}+z^{2} = 2 a x, x^{2}+y^{2} = 2 b x, z > 0,0 < b < a$, ориентированная положительно относительно вектора $(0 ; 0 ; 1)$.

Используя формулу Стокса, вычислить интегралы. $\int_{L} z^{3} d x+x^{3} d y+y^{3} d z, L$ — кривая $2 x^{2}-y^{2}+z^{2} = a^{2}, x+y = 0$, ориентированная положительно относительно вектора $(1 ; 0 ; 0)$.

Вычислить интегралы, если кривая $L$ ориентирована в направлении возрастания параметра $t$. $\int_{L} x d x+(x+y) d y+(x+y+z) d z, L$ — кривая $x = a \sin t$, $y = a \cos t, z = a(\sin t+\cos t), t \in [0 ; 2 \pi )$.

Вычислить интегралы, если кривая $L$ ориентирована в направлении возрастания параметра $t$. $\int_{L} y^{2} z^{2} d x+x^{2} z^{2} d y+x^{2} y^{2} d z, L$ — кривая $x = a \cos t, y = a \cos 2 t, z = a \cos 3 t, t \in [0 ; 2 \pi )$.

Вычислить интегралы, если кривая $L$ ориентирована в направлении возрастания параметра $t$. $\int_{L}(y+z) d x+(z+x) d y+(x+y) d z, L$ — кривая $x = a \sin^{2} t$, $y = a \sin 2 t, z = a \cos^{2} t, t \in [0 ; \pi )$.