Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора

$f = x y\left(x^{3}+y^{3}-3\right)$;

$f = e^{x y}$;

$f = \operatorname {arctg} \frac{x+y}{1-x y}$;

$f = x^{y}$.

$f = \frac{x}{x+y},(1 ; 0)$

$f = y^{2}\left(1-e^{x}\right),(0 ; 1)$;

$f = \ln \left(x^{2}+y\right),(0 ; 1)$

$f = y \sin (y / x),(2 ; \pi )$;

$f = \cos (x y-\cos y),(0 ; \pi / 2)$;

$f = \operatorname {arctg}(x / y),(1 ; 1)$;

$f = \arcsin \left(x / \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$, $(1 ;-1)$;

$f = (x y)^{x+y},(1 ; 1)$.

$f = x\left(1+y^{2} z^{3}\right)$

$f = \sin (x+y+z)$.

$f = \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$, $(1 ; 1 ; 1)$;

$f = x^{y^{z}},(e ; 1 ; 1)$.

$f = \frac{x^{4}+8 x y^{3}}{x+2 y}$

$f = \ln (x+y)$;

$f = \sin (x+\cos y)$;

$f = \cos \left(e^{2 y}-2 x\right)$.

$f = \sqrt{x y^{3} z^{5}}$

$f = x^{3} \sin y+y^{3} \sin z+z^{3} \sin x$;

$f = e^{x y z}$

$f = \operatorname {arctg} \frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}$.

$f = (x-a)^{p}(y-b)^{q}, a, b \in R$;

$f = (x+y) /(x-y)$;

$f = \left(x^{2}+y^{2}\right) e^{x+y}$;

$f = \ln \left(x^{x} y^{y}\right)$.

$f = x(1+y)$

$f = x \sin^{2} y$

$f = (1 / y) e^{x y}$

$f = y \ln x$

$f = \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$;

$f = \arcsin x y$.

$f = e^{x y},(1 ;-1)$

$f = e^{x^{2} / y},(1 ; 1)$;

$f = (x / y) e^{x^{2}} (0 ; 1)$

$f = x^{2} \operatorname {ch} 3 y-y^{2},(0 ; 0)$;

$f = x \cos x y,(\pi / 2 ;-1)$;

$f = 4 y^{2}+\sin^{2}(x-y),(0 ; 0)$;

$f = (2 x+y) \ln (x / y)$, $(1 ; 1)$;

$f = e^{y \ln x},(2 ; 1)$;

$f = e^{x y-\pi \sin y},(0 ; 0)$;

$f = \ln \frac{2-y-x^{2}}{2+y+x^{2}},(1 ; 0)$;

$f = \operatorname {arctg}\left(x^{2}-2 y\right),(1 ; 0)$;

$f = y \operatorname {arctg} \frac{x}{1+2 y},(0 ; 0)$

$f = (x+y)^{x y},(1 ; 0)$;

$f = (\sin x)^{\cos y},(\pi / 6 ; \pi / 2)$.

$f = x^{2}+y^{2}-x y-7 y$;

$f = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$;

$f = \cos (x+y)$.

$f = x y+y z+x z$

$f = \ln (x+y+z)$.

$f = x^{4}+2 y^{3}+3 z^{2}-2 x y+4 x z+2 y z$

$f = (1+x)^{\alpha }(1+y)^{\beta }(1+z)^{\gamma }, \alpha , \beta , \gamma \in R$.

$f = z /\left(x^{2}+y^{2}\right)$;

$f = (x / y)^{1 / z}$.

$f = x^{2} y$

$f = x^{3}+y^{3}+3 x y(y-x)$;

$f = \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$;

$f = x y z$.

$f = e^{x^{2} y},(0 ; 1)$

$f = \sin (2 x+y),(0 ; \pi )$;

$f = x \cos y+y \sin x,(0 ; 0)$;

$f = x^{4}+x y^{2}+y z^{2}+z x^{2},(0 ; 1 ; 2)$.

$f = \cos (x+y)$

$f = \ln \left(x^{x} y^{y} z^{z}\right)$.

$f = e^{a x+b y}$;

$f = \ln (x+y+z)$.

$f = x^{4}+4 x^{3} y+2 x y^{2} z-3 x y z^{2}$;

$f = x^{4}+5 x^{3} y-x^{2} y+z^{3}+x z^{3}$.

$\varphi (x ; y) = f(u), u = x+y$

$\varphi (x ; y) = f(u), u = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$\varphi (x ; y ; z) = f(u), u = x y z$

$\varphi (x ; y) = f(u ; v ; w), u = x^{2}+y^{2}, v = x^{2}-y^{2}, w = 2 x y$.

Доказать, что двумерному уравнению Лапласа

удовлетворяют следующие функции:

1. $u = e^{x}(x \cos y-y \sin y)$;

2. $u = x \operatorname {ch} x \sin y+y \operatorname {sh} x \cos y$;

3. $u = \operatorname {arctg}(y / x)$;

4. $u = \ln r, r = \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$.

Найти функцию $\varphi (t)$, если известно, что функция $u = \varphi \left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x}\right)$ удовлетворяет уравнению Лапласа.

Доказать, что если функция $u(x ; y)$ удовлетворяет уравнению Лапласа, то функция

также удовлетворяет этому уравнению.

функция $u = 1 / r, r = \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}$ удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа

если функция $u(x ; y ; z)$ удовлетворяет уравнению Лапласа, то функция

также удовлетворяет этому уравнению;

если функции $u_{1}(x ; y ; z), u_{2}(x ; y ; z)$ удовлетворяют уравнению Лапласа, то функция $v = u_{1}+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) u_{2}$ удовлетворяет бигармоническому уравнению

функция $u(t,x) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} e^{x/(4a^2t)}$ удовлетворяет уравнению теплопроводности

если функция $u(t, x)$ удовлетворяет уравнению теплопроводности, то функция

также удовлетворяет этому уравнению.

Пусть $f$ и $g$ — дважды дифференцируемые функции. Доказать, что функция

удовлетворяет уравнению

Найти функцию $u(x ; y)$, удовлетворяющую условиям:

1. $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = 0, u(x ; x) = x, \frac{\partial u(x, x)}{\partial x} = x^{2}$;

2. $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = x+y, u(x ; 0) = \sin x, u(0 ; y) = y$.

$u = x /\left(x^{2}-a^{2} t^{2}\right)$;

$u = A \sin \omega x \cos a \omega t$;

$u = f(x+a t)+g(x-a t)$, где $f$ и $g$ — произвольные дважды дифференцируемые функции.

$u = x f(x+y)+y g(x+y), \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 ;$

$u = f(x+2 t) e^{x / 2-t}+g(x-2 t), \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial u}{\partial t}+4 \frac{\partial u}{\partial x} = 0$;

$u = f(x y)+\sqrt{x y} g\left(\frac{y}{x}\right), x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$;

$u = \dfrac {f(x-t)+g(x+t)}{x}, \quad \dfrac {\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = \dfrac {\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\dfrac {2}{x} \dfrac {\partial u}{\partial x}$;

$u = f(x+2 \sqrt{-y})+g(x-2 \sqrt{-y}), \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{1}{2} \frac{\partial u}{\partial y} = 0$, $y < 0$;

$u = f(x y)+g\left(\frac{x}{y}\right), x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = y \frac{\partial u}{\partial y}-x \frac{\partial u}{\partial x}$;

$u = f(x) g(y), u \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}$;

$u = f(x+g(y)), \quad \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$.

Доказать, что $n$ раз дифференцируемая однородная степени $\alpha (\S 2,(1))$ в области $G \subset R^{3}$ функция $f$ удовлетворяет в области $G$ уравнению

Вычислить $\left(x \frac{\partial }{\partial x}+y \frac{\partial }{\partial y}+z \frac{\partial }{\partial z}\right)^{2} f$, если $f = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, $x^{2}+y^{2}+z^{2} > 0$.

$2 x^{2}+2 y^{2}+u^{2}-8 x u-u+8 = 0,(2 ; 0 ; 1)$;

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}-u^{2} / c^{2} = 1,(a ; b ; c)$.

$e u = e^{x+y+u}$;

$u = x+\operatorname {arctg}(y /(u-x))$.

$2 x y u^{2}+\left(4 y^{3}-2 x^{3}\right) u+3 x^{2} y^{2}-4 = 0, u(2 ; 1) = 2$;

$u^{3}-3 x y u-2 = 0, u(1 ; 1) = 2$;

$u^{3}+x u+y^{2} = 0, u(-2 ; 1) = 1$;

$x+u = e^{u y}, u(0 ; 0) = 1$;

$u^{3}+2 y u+x y = 0, u(1 ;-1) = -1$;

$y-u = e^{x u}, u(1 ; 1) = 0$.

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+u^{2} / c^{2} = 1$;

$x+y+u = e^{u}$;

$u = \ln (y u-x)$;

$u / \sqrt{x^{2}-y^{2}} = \operatorname {tg}\left(u / \sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)$.

$f(x u ; y u) = 0$;

$f(x ; x+y ; x+y+u) = 0$ где $f$ — дважды дифференцируемая функция, определяется дважды дифференцируемая функция $u(x ; y)$. Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$.

$f(x+u ; y+u) = 0$;

$f(x / u ; y / u) = 0$ где $f$ — дважды дифференцируемая функция, определяется дважды дифференцируемая функция $u(x ; y)$. Найти $d^{2} u(x ; y)$.

$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$;

$x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$;

$y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-x \frac{\partial u}{\partial x}-y \frac{\partial u}{\partial y} = 0$.

$\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} = a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, u = x-a t, v = x+a t ;$

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}-6 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial z}{\partial x}+3 \frac{\partial z}{\partial y} = 0, u = y-3 x, v = y+2 x$;

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0, u = x^{2}, v = x+y$;