Банк задач по математике

Задача 3.2.1

Найти функцию $s = f(x ; y)$ , если $s$ — площадь ромба, $x$ — его периметр, $y$ — сумма длин его диагоналей. Вычислить $f(1 ; 2)$ .

?

Задача 3.2.2

(1)(2)

Найти функцию $v = f(x ; y)$ , если $v$ — объем прямого кругового конуса, $x$ — длина его образующей, а $y$ :

?

(1)

высота конуса;

(2)

длина окружности основания.

Задача 3.2.3

Найти функцию $v = f(x ; y)$ , если $v$ — объем прямого кругового конуса, $x$ — величина угла между образующей и плоскостью основания конуса, $y$ — площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проходящей через центр вписанного в конус шара.

?

Задача 3.2.4

Найти функцию $s = f(x ; y ; z)$ , если $s$ — площадь равнобочной трапеции, $x, y$ — длины оснований, $z$ — длина боковой стороны трапеции. Вычислить:

$f(2 ; 1 ; 2)$ ;
$f(1 ; 4 ; 1)$ .

?

Задача 3.2.5

Найти функцию $s = f(x ; y ; z)$ , если $s$ — площадь треугольника, $x, y, z$ — длины его сторон.

?

Задача 3.2.6

Найти функцию $Q = f(x ; y ; z)$ , если $Q$ — площадь боковой поверхности правильной шестиугольной усеченной пирамиды, $x, y$ — стороны оснований, а $z$ — высота пирамиды.

?

Задача 3.2.7

Найти функцию $v = f\left(x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; x_{4}\right)$ , если $v$ — объем тетраэдра, а $x_{i}, i = 1,2,3,4$ , — площади его граней, причем двугранные углы, прилегающие к грани с площадью $x_{1}$ , равны между собой. Вычислить $f(1 ; 1 ; 1 ; 1)$ .

?

Задача 3.2.8

Найти области определения функции двух переменных, заданной формулой:

?

(1)

$u = \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}$ ;

(2)

$u = \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ ;

(3)

$u = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}}$ ;

(4)

$u = \ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)$ ;

(5)

$u = \ln \left(y^{2}-4 x+8\right)$ ;

(6)

$u = \ln \left(x^{2}+4 y^{2}-2 x-3\right)$ ;

(7)

$u = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-16\left(y^{2}+1\right)}}$ ;

(8)

$u = \ln \frac{x^{2}+y^{2}-x}{2 x-x^{2}-y^{2}}$ ;

(9)

$u = \sqrt{1-\left|x\right|-\left|y\right|}$ ;

(10)

$u = \frac{1}{5 x^{2}-4 x y+2 y^{2}+2 x-2 y+3}$ ;

(11)

$u = \frac{\ln x \ln y}{\sqrt{1-x-y}}$ ;

(12)

$u = \sqrt{4 x^{2}-x^{3}-4 x}$ ;

(13)

$u = \sqrt{\log_{a}\left(2-x^{2}-y^{2}\right)}$ ;

(14)

$u = \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}-a\right)\left(2 a-x^{2}-y^{2}\right)}$ ;

(15)

$u = \ln (3 x+y-3)+\frac{\ln (3-x)}{\sqrt{3 x-2 y+6}}$ ;

(16)

$u = \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{x+y-3}+\sqrt{42-6 x-7 y}$ ;

(17)

$u = \sqrt{y \sin x}$ ;

(18)

$u = \ln x-\ln \sin y$ ;

(19)

$u = \ln \sin \pi \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ;

(20)

$u = \sqrt{x} \ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi y}{x}\right)$ ;

(21)

$u = \arccos y$ ;

(22)

$u = \arccos (x+y)$ ;

(23)

$u = \arcsin \frac{x}{x+y}$ ;

(24)

$u = x^{y}$ .

Задача 3.2.9

Является ли множество, на котором определена функция $u = u(x ; y)$ , замкнутым (а), открытым (б), линейно связным (в), областью (г), замкнутой областью (д), выпуклым (е)? Функция $u(x ; y)$ задана формулой:

?

(1)

$u = \frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}$ ;

(2)

$u = \sqrt{x \sin y}$

(3)

$u = \ln \left(1-2 x-x^{2}-y^{2}\right)+\ln \left(1+2 x-x^{2}-y^{2}\right)$ ;

(4)

$u = \arcsin (y / x)$ ;

(5)

$u = \sqrt{x y}+\arcsin x$ ;

(6)

$u = \arccos \left(x / y^{2}\right)$ ;

(7)

$u = \arccos \left(2 y+2 y x^{2}-1\right)$ .

Задача 3.2.10

Найти множество значений функции, заданной формулой:

?

(1)

$u = x^{2}-2 x y+y^{2}+2 x-2 y-3$

(2)

$u = \sqrt{2+x+y-x^{2}-2 x y-y^{2}}$ ;

(3)

$u = \ln \left(4 x^{2}+2 y^{2}-4 x y+12 x-12 y+21\right)$ ;

(4)

$u = \log_{y} x+\log_{x} y$ ;

(5)

$u = e^{2 x y}-e^{x y}+2$ ;

(6)

$u = 3 \sin (y / x)+8 \sin^{2}(y / 2 x)$ ;

(7)

$u = 3 \sin (x-y)+6 \sin (x+y)+4 \cos (x-y)+8(x+y)$ ;

(8)

$u = \arccos \frac{1+x^{2} y^{2}}{2 x y}$ .

Задача 3.2.11

Найти множество значений функций $u = f(x ; y),(x ; y) \in E$ :

?

(1)

$u = x-2 y-3, E = \left\{ (x ; y): x+y = 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ;

(2)

$u = x^{2}-x y+y^{2}, E = \left\{ (x ; y):\left|x\right|+\left|y\right| = 1\right\}$ ;

(3)

$u = x^{2}+y^{2}-12 x+16 y+25, E = \left\{ (x ; y): x^{2}+y^{2} = 25\right\}$ ;

(4)

$u = \ln \left(2 x^{2}+3 y^{2}\right), E = \left\{ (x ; y): x+y = 2, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ;

(5)

$u = \sqrt[4]{x^{4}+y^{4}}, E = \left\{ (x ; y): x+y = 2\right\}$ .

Задача 3.2.12

Найти области определения функции трех переменных, заданной формулой:

?

(1)

$u = \ln (1-x-y-z)$

(2)

$u = \sqrt{1-\left|x\right|-\left|y\right|-\left|z\right|}$

(3)

$u = \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{z}}$

(4)

$u = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}$ ;

(5)

$u = \sqrt{16-x^{2}-z^{2}}$ ;

(6)

$u = \sqrt{\left(9-y^{2}-z^{2}\right)\left(y^{2}+z^{2}-4\right)}$ ;

(7)

$u = \ln \left(36-36 x^{2}-9 y^{2}-4 z^{2}\right)$ ;

(8)

$u = \frac{1}{\sqrt{z-x^{2}-y^{2}}}$ ;

(9)

$u = \ln \left(2 z^{2}-6 x^{2}-3 y^{2}-6\right)$ ;

(10)

$u = \sqrt{x^{2}+2 y^{2}+2 y z+z^{2}-2 y+1}$ ;

(11)

$u = \sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\right)$ ;

(12)

$u = \sqrt{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}-1}$ ;

(13)

$u = \frac{\ln x+\ln z}{\sqrt{y-1}}+\ln (5-x-y-z)$ ;

(14)

$u = \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{1-x-y}+\sqrt{3 x+y-3 z}$ ;

(15)

$u = \frac{\ln \left(z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}$ ;

(16)

$u = \frac{\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\right)}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$ ;

(17)

$u = \frac{\ln \left(4 z-z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)}{\sqrt{4-z-x^{2}-y^{2}}}$ ;

(18)

$u = \sqrt{z-x y}+\sqrt{1-z-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ;

(19)

$u = \arccos \left(2-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)$ ;

(20)

$u = \arcsin \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z-1}$ ;

(21)

$u = \arccos \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-3\right)+\arccos \sqrt{x^{2}+y^{2}-3}$ .

Задача 3.2.13

Доказать, что областью определения функции, заданной формулой

u = \arcsin x \arcsin (2 x+y) \arcsin (3 x+2 y+z)

является замкнутый параллелепипед, и найти его вершины.

?

Задача 3.2.14

Является ли множество, на котором определена функция $u(x ; y ; z)$ , замкнутым (а), открытым (б), линейно связным (в), областью (г), замкнутой областью (д), выпуклым (е)? Функция $u$ задана формулой:

?

(1)

$u = \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ;

(2)

$u = \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$ ;

(3)

$u = \ln (x y z)$ ;

(4)

$u = \sqrt{z^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ;

(5)

$y = \sqrt{z^{2}-x^{2}-y^{2}-1}$ ;

(6)

$u = \ln \left(z^{2}-x^{2}-y^{2}+1\right)$ ;

(7)

$u = \ln (y \ln (z-y))$ ;

(8)

$u = \arccos \frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}}$ ;

(9)

$u = (x y)^{z}$ ;

(10)

$u = z^{x y}$ .

Задача 3.2.15

Найти множество значений функций, заданной формулой:

?

(1)

$u = x^{2}+2 y^{2}+5 z^{2}+2 x y+4 y z-20 z$

(2)

$u = x^{2}+y^{2}+3 z^{2}+4 x y+2 x z+2 y z$

(3)

$u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x+5}+\sqrt{2 x^{2}+z^{2}+4 x+11}$ ;

(4)

$u = \sqrt{4 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-4 z+5}$

(5)

$u = 3 \ln (|x|+|y|+|z|)-\ln |x y z|$ .

Задача 3.2.16

(1)(2)(3)(4)

Найти множество значений функций $u = f(x ; y ; z),(x ; y ; z) \in E:$

?

(1)

$u = x^{2}+y^{2}+z^{2}, E = \left\{ (x ; y ; z): x+y+z = 6\right\}$ ;

(2)

$u = \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+3}, E = \left\{ (x ; y ; z): x+y-z = 1\right\}$ ;

(3)

$u = \sqrt{x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 y z}, E = \left\{ (x ; y ; z): x^{2}+y^{2}+z^{2} = 100\right\}$ ;

(4)

$u = \operatorname {arctg} \sqrt{x y}-(\ln (1+x z)) / 2, E = \left\{ (x ; y ; z): x = y = z\right\}$ .

Задача 3.2.17

(1)(2)(3)(4)

Найти область определения и множество значений функции четырех переменных, заданной формулой:

?

(1)

$u = 1 /\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-1\right)$ ;

(2)

$u = \sqrt{1-x_{1}^{2}}+\sqrt{4-x_{2}^{2}}+\sqrt{9-x_{3}^{2}}+\sqrt{16-x_{4}^{2}}$ ;

(3)

$u = \sqrt{7-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}-2 x_{3}-2 x_{4}}$ ;

(4)

$u = \ln \left(144\left(1-x_{1}^{2}\right)-36 x_{2}^{2}-16 x_{3}^{2}-9 x_{4}^{2}\right)$ .

Задача 3.2.18

Найти область определения функций $n$ переменных, заданной формулой:

?

(1)

$u = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1-\left|x_{i}\right|}$

(2)

$u = \sqrt{1-\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}+\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_{i}}$

(3)

$u = \ln \left(1-\sum_{i = 1}^{n}\left(x_{i}-i\right)^{2}\right)$ ;

(4)

$u = \ln \left(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}+\sum_{i < j = 1}^{n} x_{i} x_{j}\right)$

(5)

$u = \sqrt{\log_{a}\left(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}\right)}$ ;

(6)

$u = \sum_{i = 1}^{n} \arcsin \left(x_{i}-i\right)$ .

Задача 3.2.19

Найти $c$ -уровень функции двух переменных:

?

(1)

$u = y-x$ ;

(2)

$u = \sqrt{y-x}$ ;

(3)

$u = 1 /\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ;

(4)

$u = \ln \left(1-x^{2}-y^{2}\right)$ ;

(5)

$u = \sqrt{36-4 x^{2}-9 y^{2}}$ ;

(6)

$u = 1 / \sqrt{x^{2}-y^{2}}$ ;

(7)

$u = \sqrt{x} / y$ ;

(8)

$u = \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}$ ;

(9)

$u = \left((x-1)^{2}+y^{2}\right) /\left((x+1)^{2}+y^{2}\right)$ ;

(10)

$u = \ln \sqrt{\left((x-1)^{2}+y^{2}\right) /\left((x+1)^{2}+y^{2}\right)}$ ;

(11)

$u = x^{y}$ ;

(12)

$u = e^{2 x /\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ;

(13)

$u = \sqrt{y-\sin x}$ ;

(14)

$u = \ln x-\ln \sin y$ ;

(15)

$u = \arcsin (y / x)$ ;

(16)

$u = \operatorname {arctg}\left(2 y /\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right)$ ;

(17)

$u = \sqrt{1-2\left|x\right|-\left|y\right|}$ ;

(18)

(19)

$u = \min (x, y)$ ;

(20)

$u = \max (\left|x\right|,\left|y\right|)$ ;

(21)

$y = \min \left(x^{2}, y\right)$ ;

(22)

$u = \sqrt{\operatorname {sign}(\sin x \sin y)}$ .

Задача 3.2.20

Найти $c$ -уровень функции трех переменных:

?

(1)

$u = x+2 y+3 z$ ;

(2)

$u = e^{x+2 y+3 z}$ ;

(3)

$u = x^{2}+y^{2}+4 z^{2}$ ;

(4)

$u = 1 /\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x\right)$ ;

(5)

$u = \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ;

(6)

$u = x^{2}+y^{2}-z^{2}$ ;

(7)

$u = \ln \left(z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)$ ;

(8)

$u = (x-y)^{2}+z^{2}$ ;

(9)

$u = 1 / x+1 / z$ ;

(10)

$u = z /(x+y+z-1)$ ;

(11)

$u = 2 z /\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ;

(12)

$u = 2 z /\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ;

(13)

$u = \ln \left(\left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) /\left(1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\right)$ ;

(14)

$u = \sqrt{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-\left(3+x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)}$ ;

(15)

$u = \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ;

(16)

(17)

$u = \sqrt{\operatorname {sign} \sin \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}$ ;

(18)

$u = \arcsin \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right) / z^{2}}$ .

Задача 3.2.21

(1)(2)(3)(4)

Найти $c$ -уровень функции $n$ переменных:

?

(1)

$u = \frac{x_{1}}{n}$ ;

(2)

$u = \sqrt{n^{2}-\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}$ ;

(3)

$u = x_{1} / \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}$ ;

(4)

$u = \left(\left(x_{1}-1\right)^{2}+\sum_{i = 2}^{n} x_{i}^{2}\right) /\left(\left(x_{1}+1\right)^{2}+\sum_{i = 2}^{n} x_{i}^{2}\right)$ .

Задача 3.2.22

(1)(2)

Выяснить, верно ли равенство:

?

(1)

$f(x ; y ; z) = f(y ; x ; z)$ ;

(2)

$f(x ; y ; z) = f(z ; x ; y)$ ; если $f(x ; y ; z) = x e^{y-z}+y e^{z-x}+z e^{x-y}$ .

Задача 3.2.23

(1)(2)

Найти $f(x ; y)$ , если:

?

(1)

$f(x+y ; x-y) = y(x+y)$ ;

(2)

$f(x y ; y / x) = x^{2}-y^{2}$ .

Задача 3.2.24

Найти $f(x ; y) = \sqrt{y}+\varphi (\sqrt{x}-1)$ , если $f(x ; 1) = x$ .

?

Задача 3.2.25

Найти $f(x ; y) = x \varphi (y / x)$ , если $f(1 ; y) = \sqrt{1+y^{2}}$ .

?

Задача 3.2.26

Найти $f(x ; y) = \varphi (x y)+\sqrt{x y} \psi (y / x)$ , если $f(1 ; y) = 1, f(x ; x) = x$ .

?

Задача 3.2.27

Найти $f(x ; y) = \varphi (x y)+\psi (y / x)$ , если $f(x ; 1) = \sin (\pi x / 2)$ , $f(x ; x) = 1$ .

?

Задача 3.2.28

Найти $f(x ; y) = \varphi (x+2 \sqrt{y})+\psi (x-2 \sqrt{y}), x \geqslant 0$ ,

\text{ если } f(x ; 0) = \sin x, f\left(x ; x^{2} / 4\right) = \cos x-1

?

Задача 3.2.29

Найти $f(x ; y) = \varphi (x)+\psi \left(y+e^{x}\right)$ , если $f(0 ; y) = y^{2}$ ,

f\left(x ;-e^{x}\right) = x^{2}+1.

?

Задача 3.2.30

Найти $u = f(x / z ; y / z-x)$ , если $u = x$ при $y = x$ .

?

Задача 3.2.31

Найти $u = f\left(x^{2} z ; 2 y^{2} z-z^{4}\right)$ , если $u = z^{3} / x^{2}$ при $y = x, x > 0$ , $z > 0$ .

?

Задача 3.2.32

Найти $u = f\left(x / z ; x / y-x^{3} y\right)$ , если $u = x^{3} z$ при $y = x, y > 0$ .

?

Задача 3.2.33

Найти $u = f\left(\frac{z-x}{x z} ; \frac{z^{2}}{e^{y}-z}\right)$ , если $u = \left(1-\frac{z}{x}\right)^{2}$ при $y = \ln x$ , $z > 0$ .

?

Задача 3.2.34

Найти степень однородности или положительной однородности функции, заданной формулой:

?

(1)

$u = \sqrt{x^{2}+y^{2}} / x, x > 0$ ;

(2)

$u = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ;

(3)

$u = x^{\sqrt{2}} \sin \frac{y}{x}+y^{\sqrt{2}} \cos \frac{x}{y}$ ;

(4)

$u = \sqrt[6]{x^{6} z^{2}+2 x^{3} y^{4} z+x y^{2} z^{5}}$ ;

(5)

$u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$ ;

(6)

$u = \frac{x y+z t}{x y z+y z t}$ ;

(7)

$u = \sum_{i = 1}^{n-1} x_{i} x_{i+1}$ ;

(8)

$u = \sum_{i, j = 1}^{n} x_{i} x_{j} / \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}$ ;

(9)

$u = \sum_{i = 1}^{n-1} x_{i}^{\pi }\left(\ln x_{i+1}-\ln x_{i}\right)$ ;

(10)

$u = \left|\prod_{i = 1}^{n} x_{i}\right|^{\gamma }, \gamma \in R$ .

Задача 3.2.35

Доказать, что всякая однородная степени $\alpha$ функция

f\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right), \quad x_{n} \neq 0

представима в виде

f\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) = x_{n}^{\alpha } F\left(\frac{x_{1}}{x_{n}} ; \frac{x_{2}}{x_{n}} ; \ldots ; \frac{x_{n-1}}{x_{n}}\right).

?

Задача 3.2.36

(1)(2)

?

(1)

Пусть $G$ — область, состоящая из всех точек плоскости, за исключением луча $x = 2, y \geqslant 0$ . Доказать, что функция

u = \begin{cases} y^{4} / x, & \text{ если } x > 2, y > 0, \\ y^{3} & \text{ в остальных точках области } G \end{cases}

является локально однородной, но не однородной в области $G$ .

(2)

Доказать, что в выпуклой области всякая локально однородная функция является однородной.

Задача 3.2.37

Найти $\lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} u$ (а), $\lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} u$ (б), $\lim_{\substack {x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} u$ (в), если:

?

(1)

$u = \frac{x^{3}-y}{x^{3}+y}$ ;

(2)

$u = \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ ;

(3)

$u = \frac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}+x^{2}}$ ;

(4)

$u = \frac{x^{2} y+x y^{2}}{x^{2}-x y+y^{2}}$ ;

(5)

$u = \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}}$ ;

(6)

$u = \frac{x^{8}+x^{5}+x^{4}+y^{4}+y^{5}-y^{8}}{x^{4}+y^{4}}$ ;

(7)

$u = x+y \sin \frac{1}{x}$ ;

(8)

$u = x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x}$ ;

(9)

$u = \frac{y}{x} \operatorname {tg} \frac{x}{x+y}$ ;

(10)

$u = \log_{1+x}(1+x+y)$ .

Задача 3.2.38

(1)(2)

Построить функцию $u = f(x ; y)$ , определенную на всей плоскости, для которой:

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x ; y) = \lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} f(x ; y) = 0$ , а $\lim_{\substack {x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x ; y)$ не существует;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} f(x ; y) = 0$ , а повторные пределы $\lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x ; y)$ и $\lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} f(x ; y)$ не существуют.

Задача 3.2.39

Пусть функция $f$ определена на множестве $E$ , содержащем окрестность точки $\left(x_{0} ; y_{0}\right):\left|x-x_{0}\right| < \delta_{1},\left|y-y_{0}\right| < \delta_{2}$ , кроме, быть может, точек прямых $x = x_{0}$ и $y = y_{0}$ . Доказать, что если $\lim_{\substack {x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f = A$ и при любом $y \in \left(y_{0}-\delta_{2} ; y_{0}+\delta_{2}\right), y \neq y_{0}$ , существует $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f$ , то $\lim_{y \rightarrow y_{0}} \lim_{x \rightarrow x_{0}} f = A$ .

?

Задача 3.2.40

(1)(2)(3)(4)

Найти $\lim_{x \rightarrow \infty } \lim_{y \rightarrow \infty } u$ (а), $\lim_{y \rightarrow \infty } \lim_{x \rightarrow \infty } u$ (б), $\lim_{\substack {x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty }} u$ (в), если:

?

(1)

$u = \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{3}}$ ;

(2)

$u = \frac{x^{3}+x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}$ ;

(3)

$u = \sin \frac{\pi y^{2}}{x^{2}+3 y^{2}}$ ;

(4)

$u = \left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha } e^{-x^{2}-y^{2}}, \alpha \in R$ .

Задача 3.2.41

(1)(2)

Дана функция $u = \frac{x^{y}}{1+x^{y}}$ .

?

(1)

Найти:

$\lim_{x \rightarrow +\infty } \lim_{y \rightarrow +0} u$ ;
$\lim_{y \rightarrow +0} \lim_{x \rightarrow +\infty } u$ ;
$\lim_{x \rightarrow +\infty } \lim_{y \rightarrow -0} u$ ;
$\lim_{y \rightarrow -0} \lim_{x \rightarrow +\infty } u$ .

(2)

Доказать, что $\lim_{\substack {x \rightarrow +\infty \\ y \rightarrow 0}} u$ не существует.

Задача 3.2.42

Пусть $u_{m, n}(x) = \cos^{m}(\pi n ! x) = \cos^{m}(\pi n ! x), m, n \in N, x \in R$ . Определить, при каких значениях $x$ верно равенство

\lim _{n \rightarrow \infty } \lim _{m \rightarrow \infty } u_{m, n}(x) = \lim _{m \rightarrow \infty } \lim _{n \rightarrow \infty } u_{m, n}(x)

?

Задача 3.2.43

(1)(2)

Найти предел функции $u = f(x ; y)$ в точке $(0 ; 0)$ по прямой $x = \alpha t, y = \beta t, \alpha^{2}+\beta^{2} \neq 0$ ; доказать, что $\lim_{x \rightarrow 0} f(x ; y)$ не существует, если: $x \rightarrow 0$ $y \rightarrow 0$

?

(1)

$u = \frac{y-2 x^{2}}{y-x^{2}}$ ;

(2)

$u = \frac{x^{2} \sin y+y^{2} \sin x}{x^{4}+y^{2}}$ .

Задача 3.2.44

Найти предел функции $u = \frac{x y z}{x^{4}+y^{4}} \frac{z^{2}}{}$ в точке $(0 ; 0 ; 0)$ по прямой $x = \alpha t, y = \beta t, z = \gamma t, \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2} \neq 0$ ; доказать, что предел функции и в точке $(0 ; 0 ; 0)$ не существует.

?

Задача 3.2.45

Найти предел функции $u = x^{2} e^{y-x^{2}}$ по лучу

x = t \cos \varphi , \quad y = t \sin \varphi , \quad \varphi \in [0 ; 2 \pi ), \quad t \rightarrow +\infty

доказать, что $\lim_{\substack {x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty }} f(x ; y)$ не существует.

?

Задача 3.2.46

(1)(2)(3)(4)

Найти предел функции $u = f(x ; y)$ по лучу

x = t \cos \varphi , \quad y = t \sin \varphi , \quad \varphi \in [0 ; 2 \pi ), \quad t \rightarrow +\infty :

?

(1)

$u = e^{x y^{2} /\left(x^{2}+y^{2}\right)}$

(2)

$u = \ln \left|x+y\right| e^{x+y}$ ;

(3)

$u = e^{x^{2}-y^{2}} \sin 2 x y$ ;

(4)

$u = \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \ln \left(\frac{1}{x}+e^{1 / y}\right)$ .

Задача 3.2.47

Найти предел функции $u = \begin{cases} \frac{y e^{-1 / x^{2}}}{y^{2}+e^{-2 / x^{2}}}, & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0, \end{cases}$ в точке $(0 ; 0)$ по кривой

x = \alpha t^{m}, \quad y = \beta t^{n}, \quad \alpha ^{2}+\beta ^{2} \neq 0, \quad m, n \in N, \quad t > 0

доказать, что предел функции $и$ в точке $(0 ; 0)$ не существует.

?

Задача 3.2.48

Найти в точке $(0 ; 0)$ предел функции $u = f(x ; y)$ :

?

(1)

$u = \frac{x y}{1-\sqrt[3]{1+x y}}$ ;

(2)

$y = \frac{x^{2}+y}{\sqrt{x^{2}+y+9}-3}$ ;

(3)

$u = \frac{\sin \left(y-x^{2}\right)}{y-x^{2}}$

(4)

$u = \frac{x y^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{1-\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ;

(5)

$u = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}}{\operatorname {tg}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ;

(6)

$u = \frac{1-\sqrt[3]{\sin^{4} x+\cos^{4} y}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

(7)

$u = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ;

(8)

$u = \left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ;

(9)

$u = \left(1+x y^{2}\right)^{1 /\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ;

(10)

$u = (1+x y)^{1 /\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ;

(11)

$u = (1+x y)^{1 /(\left|x\right|+\left|y\right|)}$ ;

(12)

$u = \left(\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{-1 /\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ .

Задача 3.2.49

Найти:

?

(1)

$\lim_{\substack {x \rightarrow 2 \\ y \rightarrow 1}} \frac{x^{2}-4 y^{2}}{x^{2}+2 x-2 x y-4 y}$ ;

(2)

$\lim_{\substack {x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 2}} \frac{\sin x y}{x}$ ;

(3)

$\lim_{\substack {x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}}(1+x)^{1 /\left(x+x^{2} y\right)}$ ;

(4)

$\lim_{\substack {x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty }} x y \sin \frac{\pi }{x y}$ ;

(5)

$\lim_{\substack {x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty }} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+6}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{4}+y^{4}+2\left(1+x^{2} y^{2}\right)}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ;

(6)

$\lim_{\substack {x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty }}\left(\sqrt{4\left(x^{4}+y^{4}\right)+13\left(x^{2}+y^{2}\right)+8 x^{2} y^{2}-7}-2\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)$ .

Задача 3.2.50

Найти функции $f_{i}(x) x \in R^{n}, n > 1, i = 1,2, \ldots , n$ , для каждой из которых при $x \rightarrow \infty$ не существует ни конечного, ни бесконечного предела, а $\lim_{x \rightarrow \infty } \sum_{i = 1}^{n} f_{i}^{2}(x) = +\infty$ .

?

Задача 3.2.51

(1)(2)(3)

Выяснить, является ли функция

u = \begin{cases} x y /\left(x^{2}+y^{2}\right), & \text{ если } & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & \text{ если } & x^{2}+y^{2} = 0 \end{cases}

в точке $(0 ; 0)$ :

?

(1)

непрерывной по $x$ ;

(2)

непрерывной по $y$ ;

(3)

непрерывной.

Задача 3.2.52

(1)(2)(3)(4)

Найти значение $a$ , при котором функция

u = \begin{cases} \left(x^{2}-y^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right), & \text{ если } & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ a, & \text{ если } & x^{2}+y^{2} = 0 \end{cases}

в точке $(0 ; 0)$ является:

?

(1)

непрерывной по $x$ ;

(2)

непрерывной по $y$ ;

(3)

непрерывной по кривой $y = \alpha \sqrt{x}, \alpha \neq 0$ ;

(4)

непрерывной.

Задача 3.2.53

(1)(2)

Найти значение $a$ , при котором функция

u = \begin{cases} \left(x^{3}-x y^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right), & \text{ если } \quad x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ a, & \text{ если } \quad x^{2}+y^{2} = 0 \end{cases}

в точке $(0 ; 0)$ является:

?

(1)

непрерывной по прямой $x = \alpha t, y = \beta t, \alpha^{2}+\beta^{2} \neq 0$ ;

(2)

непрерывной.

Задача 3.2.54

(1)(2)(3)

Найти значение $a$ , при котором функция

u = \begin{cases} x^{2} y /\left(x^{4}+y^{2}\right), & \text{если } x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ a, & \text{если } x^{2}+y^{2} = 0, \end{cases}

в точке $(0 ; 0)$ является:

?

(1)

непрерывной по прямой $x = \alpha t, y = \beta t, \alpha^{2}+\beta^{2} \neq 0$ ;

(2)

непрерывной по кривой $y = \alpha x^{2}$ ;

(3)

непрерывной.

Задача 3.2.55

Является ли функция $u = \left(x+y^{2}\right) /\left(x-y^{2}\right)$ непрерывной на своей области определения?

?

Задача 3.2.56

Найти значение $a$ , при котором функция

u = \begin{cases} \frac{1}{x+y} e^{-1 /\left|x+y\right|}, & \text{ если } & x+y \neq 0 \\ a, & \text{ если } & x+y = 0 \end{cases}

является непрерывной в $R^{2}$ .

?

Задача 3.2.57

Найти значения $a$ и $b$ , при которых функция

u = \begin{cases} a, & \text{ если } x^{2}+y^{2} \leqslant 4, \\ \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}-\sqrt{x^{2}+y^{2}-4}, & \text{ если } 4 < x^{2}+y^{2} \leqslant 9, \\ b, & \text{ если } x^{2}+y^{2} > 9, \end{cases}

непрерывна в $R^{2}$ .

?

Задача 3.2.58

Найти значения $a$ и $b$ , при которых функция

u = \begin{cases} a, & \text{ если } x^{2}+y^{2} = 0, \\ \sqrt{5\left(x^{2}+y^{2}\right)-4-\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, & \text{ если } 1 \leqslant x^{2}+y^{2} < 4, \\ b, & \text{ если } x^{2}+y^{2} \geqslant 4, \end{cases}

является непрерывной на своей области определения.

?

Задача 3.2.59

Найти значения $a$ и $b$ , при которых функция

u = \begin{cases} a, & \text{ если } & \sum _{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = 0, \\ \sum _{i = 1}^{n} x_{i}^{2} / \ln \left(1-\sum _{i = 1}^{n} x_{i}^{2}\right), & \text{ если } & 0 < \sum _{i = 1}^{n} x_{i}^{2} < 1, \\ b, & \text{ если } & \sum _{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \geqslant 1, \end{cases}

непрерывна в $R^{n}$ .

?

Задача 3.2.60

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что:

?

(1)

функции $f_{i}\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) = x_{i}, \quad i = 1,2, \ldots , n$ , непрерывны в пространстве $R^{n}$ ;

(2)

если $g(x), x \in R$ , непрерывна, то функции

f_{i}\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) = g\left(x_{i}\right), \quad i = 1,2, \ldots , n

непрерывны в пространстве $R^{n}$ ;

(3)

функция $f\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) = \sum_{k = 1}^{n}\left|x_{k}\right|$ непрерывна в пространстве $R^{n}$ ;

(4)

функция $f\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) = \max_{k}\left|x_{k}\right|$ непрерывна в пространстве $R^{n}$ .

Задача 3.2.61

Доказать, что функция $f(x) = \rho (x ; E), \quad x \in R^{n}$ , где $E \subset R^{n}$ — произвольное непустое множество, непрерывна в пространстве $R^{n}$ .

?

Задача 3.2.62

Найти все точки разрыва, указать точки устранимого разрыва функции двух переменных:

?

(1)

$u = \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$ ;

(2)

$u = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ ;

(3)

$u = \frac{x y-2 x-y+2}{x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5}$ ;

(4)

$u = \begin{cases} x / \sqrt{x^{2}+y^{2}}, & \text{ если } x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & \text{ если } x^{2}+y^{2} = 0 \end{cases}$

(5)

$u = \begin{cases} \left(x^{3}+y^{3}\right) /(x+y), & \text{ если } & x+y \neq 0 \\ 3, & \text{ если } & x+y = 0 \end{cases}$

(6)

$u = \frac{1}{\sin^{2} x+\sin^{2} y}$ ;

(7)

$u = \begin{cases} x \sin (1 / y), & \text{ если } y \neq 0 \\ 0, & \text{ если } y = 0 \end{cases}$

(8)

$u = \frac{\sin^{2} x \sin y}{\sin^{4} x+\sin^{2} y}$ ;

(9)

$u = x \sin \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ ;

(10)

$u = \begin{cases} \left(x^{2}+y^{2}-1\right) \sin \frac{1}{1-x^{2}-y^{2}}, & \text{ если } x^{2}+y^{2} \neq 1, \\ 0, & \text{ если } x^{2}+y^{2} = 1 \end{cases}$

(11)

$u = \begin{cases} e^{-1 /\left|x-y\right|}, & \text{ если } y \neq x, \\ x^{2}-5 x+6, & \text{ если } y = x ; \end{cases} \quad$

(12)

$u = \frac{1}{\ln \left|1-x^{2}-4 y^{2}\right|}$ ;

(13)

$u = \operatorname {sign}(1-\left|x\right|-2\left|y\right|)$ ;

(14)

$u = [\sqrt{x^{2}+y^{2}}]$ ;

(15)

$u = [y / x]$ , здесь $[t]$ — целая часть числа $t$ ;

(16)

$u = \begin{cases} x^{2}+y^{2}, & \text{ если } & x^{2}+y^{2}-\text{ рациональное число, } \\ 0, & \text{ если } & x^{2}+y^{2}-\text{ иррациональное число. } \end{cases}$

Задача 3.2.63

Найти все точки разрыва функции трех переменных:

?

(1)

$u = \begin{cases} x^{2} y /\left(y^{2}+z^{2}\right), & \text{ если } y^{2}+z^{2} \neq 0 \\ 0, & \text{ если } y^{2}+z^{2} = 0 \end{cases}$

(2)

$u = \begin{cases} x^{2} y /\left(x^{2}+z^{2}\right), & \text{ если } & x^{2}+z^{2} \neq 0, \\ 0, & \text{ если } & x^{2}+z^{2} = 0 ; \end{cases}$

(3)

$u = \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2 z-14}$ ;

(4)

$u = \frac{1}{x^{2}+z^{2}+2\left(y^{2}-y z-y+1\right)}$ ;

(5)

$u = \sin \frac{x}{y z}$ ;

(6)

$u = \frac{x}{\sin (y z)}$ ;

(7)

$u = \begin{cases} \sin (x y z) / z, & \text{ если } z \neq 0, \\ x^{2}, & \text{ если } z = 0 \end{cases}$

(8)

$u = \begin{cases} \arccos \left(x^{2} /\left(x^{2}+z^{2}\right)\right), & \text{ если } x^{2}+z^{2} \neq 0, \\ \pi / 2, & \text{ если } x^{2}+z^{2} = 0 ; \end{cases}$

(9)

$u = \begin{cases} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 z} e^{-1 / z^{2}}, & \text{ если } z \neq 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 2 z, \\ 0, & \text{ если } z = 0 \text{ или } x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2 z ; \end{cases}$

(10)

$u = 1 /\left(\ln \left|x^{2}+y^{2}-z^{2}\right|\right)$ .

Задача 3.2.64

Найти область определения функции двух переменных

u = \arccos \frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}

и выяснить, является ли эта функция непрерывной на своей области определения.

?

Задача 3.2.65

Выяснить, является ли функция

u = \begin{cases} 2 \operatorname {arctg}\left(1 /\left(x^{2}-y^{2}\right)\right), & \text{ если } & x+y \neq 0 \\ \pi & \text{ если } & x+y = 0 \end{cases}

непрерывной на своей области определения.

?

Задача 3.2.66

Доказать, что если функция $f(x)$ непрерывна в точке $x^{0} \in R^{n}$ , $c \in R$ и $f\left(x^{0}\right) > c$ , то существует окрестность точки $x^{0}$ , для всех точек которой верно неравенство $f(x) > c$ .

?

Задача 3.2.67

Доказать, что $c$ -уровень непрерывной в $R^{n}$ функции есть замкнутое множество.

?

Задача 3.2.68

Пусть функция $f(x)$ непрерывна в пространстве $R^{n}$ и $c \in R$ . Доказать, что множество точек $x$ , для которых $f(x) < c$ , открыто в $R^{n}$ , а множество точек $x$ , для которых $f(x) \leqslant c$ , замкнуто.

?

Задача 3.2.69

Пусть $F \subset R^{n}$ — замкнутое множество, функция $f(x)$ непрерывна на $F$ и $c \in R$ . Доказать, что множество точек $x \in F$ , для которых $f(x) \geqslant c$ , замкнуто.

?

Задача 3.2.70

Доказать, что если функция $f(x ; y)$ в некоторой области $G$ непрерывна по $x$ и равномерно относительно $x$ непрерывна по $y$ , то $f(x ; y)$ непрерывна в $G$ .

?

Задача 3.2.71

Доказать, что если функция $f(x ; y)$ в области $G$ непрерывна по $x$ , а по $y$ удовлетворяет условию Липшица, т. е.

\left|f\left(x ; y^{\prime }\right)-f\left(x ; y^{\prime \prime }\right)\right| \leqslant L\left|y^{\prime }-y^{\prime \prime }\right|, \quad L-\mathrm{const}

то $f(x ; y)$ непрерывна в $G$ .

?

Задача 3.2.72

Доказать, что если функция $f(x ; y),(x ; y) \in E$ , непрерывна по $x$ , а по $y$ непрерывна и монотонна, то $f(x ; y),(x ; y) \in E$ , непрерывна.

?

Задача 3.2.73

Пусть функции

u_{1} = f_{1}\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right), \ldots , u_{m} = f_{m}\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right), \quad m \leqslant n

непрерывны в точке $\left(x_{1}^{0} ; x_{2}^{0} ; \ldots ; x_{n}^{0}\right)$ , а функция $F\left(u_{1} ; u_{2} ; \ldots ; u_{m}\right)$ непрерывна в точке

\left(f_{1}\left(x_{1}^{0} ; x_{2}^{0} ; \ldots ; x_{n}^{0}\right) ; \ldots ; f_{m}\left(x_{1}^{0} ; x_{2}^{0} ; \ldots ; x_{n}^{0}\right)\right)

Доказать, что композиция

u = F\left(f_{1}\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) ; \ldots ; f_{m}\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right)\right)

непрерывна в точке $\left(x_{1}^{0} ; x_{2}^{0} ; \ldots ; x_{n}^{0}\right)$ .

?

Задача 3.2.74

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на линейно связном множестве $E$ (§ 1, п. 2), и пусть $f(a) = A, f(b) = B, A < B, a, b \in E$ . Доказать, что для любого числа $C \in [A ; B]$ существует точка $c \in E$ такая, что $f(c) = C$ .

?

Задача 3.2.75

Дана функция

f(x) = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}, \quad 1 \leqslant k < n

Доказать, что на сфере $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2} = 1$ существует такая точка $c$ , что $f(c) = 1 / \pi$ .

?

Задача 3.2.76

(1)(2)

Пусть функция $f$ непрерывна и принимает как положительные, так и отрицательные значения на открытом множестве $E \subset R^{n}$ . Является ли множество точек $x \in E$ , в которых $f(x) \neq 0$ :

?

(1)

открытым в $R^{n}$ множеством;

(2)

областью?

Задача 3.2.77

(1)(2)(3)(4)

Исследовать на равномерную непрерывность функцию $f(x ; y)$ на множестве $X$ :

?

(1)

$f = 2 x+3 y+4, X = R^{2}$

(2)

$f = \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), X = \left\{ x^{2}+y^{2} \geqslant 1\right\}$ ;

(3)

$f = \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}, X = \left\{ x^{2}+y^{2} < 1\right\}$ ;

(4)

$f = \arcsin (y / x), X = \left\{ \left|y\right| < x\right\}$ .

Задача 3.2.78

Доказать, что если функция $f$ определена в области $G \subset R^{n}$ и $\lim_{\delta \rightarrow +0} \frac{\omega (\delta ; f ; G)}{\delta } = 0$ , то $f$ — постоянная функция.

?

Задача 3.2.79

Доказать, что для равномерной непрерывности функции $f(x)$ , $x \in E \subset R^{n}$ , на множестве $X \subset E$ необходимо и достаточно, чтобы $\lim_{\delta \rightarrow +0} \omega (\delta ; f ; X) = 0$ .

?

Задача 3.2.80

(1)(2)(3)(4)

Найти модуль непрерывности и исследовать на равномерную непрерывность функцию $f$ на ее области определения:

?

(1)

$f = a x+b y+c$ ;

(2)

$f = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ;

(3)

$f = \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ;

(4)

$f = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ .

Задача 3.2.81

Найти колебание функции $f$ на множестве $X$ :

?

(1)

$f = x+2 y+3, X = \left\{ \left|x\right|+\left|y\right| < 1\right\}$

(2)

$f = x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-1, X = \left\{ x^{2}+y^{2} = 1\right\}$ ;

(3)

$f = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ , а) $X = R^{2}$ , б) $X = \left\{ x^{2}+y^{2} > 2\right\}$ ;

(4)

$f = 1 /\left(x^{2}+x y+y^{2}-2 x-y+2\right), X = R^{2}$ ;

(5)

$f = x+\left|x-y\right|, X = \left\{ \left|x\right| \leqslant 1,\left|y\right| \leqslant 2\right\}$ ;

(6)

$f = (x+y) e^{x y}, X = \left\{ 0 < x+y \leqslant 1\right\}$ ;

(7)

$f = \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{4-y^{2}}+\sqrt{9-z^{2}}, X$ — область определения функции;

(8)

$f = \sqrt{144\left(1-x_{1}^{2}\right)-36 x_{2}^{2}-16 x_{3}^{2}-9 x_{4}^{2}}$ , $X$ — область определения функции.

Задача 3.2.82

Доказать, что если функция $f$ непрерывна в пространстве $R^{n}$ , то при любом неотрицательном $\varepsilon$ множество $E = \left\{ x \in R^{n}: \omega \left(f ; R^{n}\right) \geqslant \varepsilon \right\}$ замкнуто.

?

Задача 3.2.83

(1)(2)

Найти образ окружности $x^{2}+y^{2} = 1$ при отображении:

?

(1)

$u = 2 x, v = 3 y$ ;

(2)

$u = a x+a_{0}, v = b y+b_{0}$ .

Задача 3.2.84

(1)(2)

Найти образ прямой $x = a$ при отображении:

?

(1)

$u = y, v = x y$ ;

(2)

$u = x \cos y, v = x \sin y$ .

Задача 3.2.85

Найти образ квадрата $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ при отображении $u = x-x y, v = x y$ .

?

Задача 3.2.86

Найти образ области $G \subset R^{2}$ , заданной неравенствами

x y < 2, \quad x y > 1, \quad y < x+1, \quad y > x-1

при отображении $u = x y, v = x-y$ .

?

Задача 3.2.87

(1)(2)

?

(1)

Найти образ окружности $x^{2}+y^{2} = 2 x$ при отображении

u = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \quad v = \frac{y}{x^{2}+y^{2}}

доказать, что образом каждой прямой и каждой окружности при этом отображении является либо окружность, либо прямая;

(2)

найти образ окружности $x^{2}+y^{2} = 4$ при отображении

u = \frac{x^{2}+y^{2}-1}{(x+1)^{2}+y^{2}}, \quad v = \frac{2 y}{(x+1)^{2}+y^{2}}

Задача 3.2.88

(1)(2)(3)

Найти образы:

?

(1)

прямой $x = a$ ;

(2)

прямой $y = b$ ;

(3)

области $x^{2}+y^{2} < 1, x > 0, y > 0$ ; при отображении $u = x^{2}-y^{2}, \quad v = 2 x y$ .

Задача 3.2.89

(1)(2)

Найти образы:

?

(1)

окружностей: а) $x^{2}+y^{2} = 1$ , б) $x^{2}+y^{2} = 1 / 4$ , в) $x^{2}+y^{2} = 4$ ;

(2)

кривой $y = \left|x\right|, y \neq 0$ ; при отображении $u = \frac{x}{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), \quad v = \frac{y}{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)$ .

Задача 3.2.90

(1)(2)(3)(4)

Найти образы:

?

(1)

прямой $x = a$ ;

(2)

отрезка $x = a,\left|y\right| \leqslant \pi$ ;

(3)

прямой $y = b,\left|b\right| < \pi / 2$ ;

(4)

прямой $y = a x+b, a \neq 0$ ; при отображении $u = e^{x} \cos y, \quad v = e^{x} \sin y$ .

Задача 3.2.91

(1)(2)(3)(4)

Найти образы:

?

(1)

прямой $x = a$ ;

(2)

прямой $y = b$ ;

(3)

полуполосы $0 < x < \pi , y > 0 ;$

(4)

полосы $0 < x < \pi$ ; при отображении $u = \cos x \operatorname {ch} y, \quad v = \sin x \operatorname {sh} y$ .

Задача 3.2.92

(1)(2)

Найти образ пространства $R$ при отображении:

?

(1)

$u = \sin x, v = \cos 2 x$

(2)

$u = a x+a_{0}, v = b x+b_{0}, w = c x+c_{0}$ .

Задача 3.2.93

(1)(2)(3)

Найти образ пространства $R^{2}$ при отображении:

?

(1)

$u = y+2, v = 3 x+4 y+5, w = 6 x+7 y+8$ ;

(2)

$u = \cos x \cos y, v = \cos x \sin y, w = \sin x$ ;

(3)

$u = (2+\cos y) \cos x, v = (2+\cos y) \sin x, w = \sin y$ .

Задача 3.2.94

Найти образ прямой $x = a$ при отображении

u = x \cos y, \quad v = x \sin y, \quad w = y.

?

Задача 3.2.95

Найти образ пространства $R^{2}$ при отображении

u = \frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}, \quad v = \frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}, \quad w = \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}

Доказать, что при этом отображении образом каждой окружности является окружность.

?

Задача 3.2.96

Найти образ куба $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ при отображении

u = x(1-y), \quad v = x y(1-z), \quad w = x y z

?

Задача 3.2.97

Доказать, что отображение $f: E \rightarrow R^{m}, E \subset R^{n}$ , непрерывно в точке $x^{(0)} \in E$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $U\left(u^{(0)}\right)$ точки $u^{(0)} = f\left(x^{(0)}\right)$ существует такая окрестность $U\left(x^{(0)}\right)$ точки $x^{(0)}$ , что $f\left(U\left(x^{(0)}\right)\right) \subset U\left(x^{(0)}\right)$ .

?

Задача 3.2.98

Доказать, что отображение $f = \left(f_{1} ; f_{2} ; \ldots ; f_{m}\right): E \rightarrow R^{m}$ непрерывно в точке $x = \left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) \in E \subset R^{n}$ тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все координатные функции $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{m}$ .

?

Задача 3.2.99

(1)(2)

Пусть $f$ — отображение пространства $R^{n}$ в пространство $R^{m}$ .

Доказать, что для непрерывности отображения $f$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

?

(1)

прообраз каждого замкнутого множества есть замкнутое множество;

(2)

прообраз каждого открытого в $R^{m}$ множества есть множество, открытое в $R^{n}$ .

Задача 3.2.100

Доказать, что если при отображении $f$ пространства $R^{n}$ в пространство $R^{m}$ прообраз каждого открытого шара является открытым в $R^{n}$ множеством, то отображение $f$ непрерывно.

?

Задача 3.2.101

Доказать, что если отображение $f$ непрерывно на ограниченном замкнутом множестве, то оно равномерно непрерывно на этом множестве.

?

Задача 3.2.102

(1)(2)(3)

Пусть отображение $f$ — проектирование точек плоскости $(x ; y)$ на прямую $y = 0$ . Доказать, что:

?

(1)

$f$ равномерно непрерывно на любом плоском множестве $E$ ;

(2)

если $E$ — открытое множество, то $f(E)$ — открытое на прямой $y = 0$ множество;

(3)

если $E$ — замкнутое множество, то $f(E)$ не обязательно замкнуто.

Задача 3.2.103

(1)(2)(3)

Доказать, что при непрерывном отображении:

?

(1)

образ каждого ограниченного замкнутого множества ограничен и замкнут;

(2)

образ каждого связного множества есть связное множество;

(3)

образ каждого линейно связного множества есть множество линейно связное.

Задача 3.2.104

(1)(2)

Пусть $f$ — отображение множества $E \subset R^{n}$ в пространство $R^{m}, X \subset E, U \subset f(E)$ . Верны ли равенства:

?

(1)

$f^{-1}(f(X)) = X$ ;

(2)

$f\left(f^{-1}(U)\right) = U?$

Задача 3.2.105

(1)(2)

Доказать, что если $f$ — взаимно однозначное отображение множества $E$ на множество $f(E)$ , то для любой последовательности множеств $X_{k} \subset E, k \in N$ , верны равенства:

?

(1)

$f\left(\bigcup_{k = 1}^{\infty } X_{k}\right) = \bigcup_{k = 1}^{\infty } f\left(X_{k}\right)$ ;

(2)

$f\left(\bigcap_{k = 1}^{\infty } X_{k}\right) = \bigcap_{k = 1}^{\infty } f\left(X_{k}\right)$ .

Верны ли эти равенства, если $f$ не является взаимно однозначным отображением?

Задача 3.2.106

(1)(2)

Пусть $f$ — взаимно однозначное непрерывное отображение множества $E \subset R^{n}$ на множество $U \subset R^{m}$ . Верны ли следующие утверждения:

?

(1)

если $E$ не имеет изолированных точек, то и $U$ не имеет изолированных точек;

(2)

если $U$ не имеет изолированных точек, то и $E$ не имеет изолированных точек?

Задача 3.2.107

Построить взаимно однозначное непрерывное отображение $f$ , для которого обратное отображение не является непрерывным.

?

Задача 3.2.108

Доказать, что если $f$ — взаимно однозначное непрерывное отображение ограниченного замкнутого множества $F \subset R^{n}$ на множество $U \subset R^{m}$ , то обратное отображение $f^{-1}$ непрерывно на $U$ , т. е. $f$ является гомеоморфизмом.

?

Задача 3.2.109

Доказать, что $(n-1)$ -мерная сфера $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = 1$ с выброшенной точкой гомеоморфна пространству $R^{n-1}$ .

?

Задача 3.2.110

Построить отображение отрезка $0 \leqslant x \leqslant 1$ на квадрат $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ .

?

Задача 3.2.111

Построить непрерывное отображение отрезка $0 \leqslant x \leqslant 1$ на квадрат $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ (кривая Пеано).

?

Задача 3.2.112

Доказать, что не существует взаимно однозначного непрерывного отображения отрезка $0 \leqslant x \leqslant 1$ на квадрат $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ , т. е. что отрезок и квадрат не гомеоморфны.

?

Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность нескольких переменных. Отображения