Бесконечные произведения

Выяснить, сходится или расходится бесконечное произведение:

Доказать равенство. $\prod_{n = 2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) = \frac{1}{2}$.

Доказать равенство. $\prod_{n = 2}^{\infty } \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1} = \frac{2}{3}$.

Доказать равенство. $\prod_{n = 2}^{\infty }\left(1-\frac{2}{n(n+1)}\right) = \frac{1}{3}$.

Доказать равенство. $\prod_{n = 0}^{\infty }\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n}\right) = 2$.

Доказать равенство. $\prod_{n = 1}^{\infty } \cos \frac{\pi }{2^{n+1}} = \frac{2}{\pi }$.

Доказать равенство. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{1}{(2 n+1)^{2}}\right) = \frac{\pi }{4}$.

Указание. Воспользоваться формулой Валлиса (5).

Доказать равенство. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{1}{4 n^{2}}\right) = \frac{2}{\pi }$.

Указание. Воспользоваться формулой Валлиса (5).

Доказать равенство. $\prod_{n = 1}^{\infty } \cos \frac{x}{2^n} = \frac{\sin x}{x}$.

Доказать равенство. $\prod_{n = 1}^{\infty } \operatorname {ch} \frac{x}{2^n} = \frac{\operatorname {ch} x}{x}$.

Доказать равенство. $\prod_{n = 1}^{\infty } \frac{3 n}{3 n-1} \frac{3 n}{3 n+1} = \frac{2 \pi }{3 \sqrt{3}}$.

Доказать, что если бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty } p_{n}$ сходится, то сходятся и все его остаточные произведения $\prod_{m = n}^{\infty } p_{m}, n \in N$, и если сходится хотя бы одно остаточное произведение $\prod_{m = n}^{\infty } p_{m}$ и $p_{k} \neq 0$, $k = 1,2, \ldots , n-1$, то сходится и бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty } p_{n}$.

Доказать, что если бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty } p_{n}$ сходится, то $\lim_{n \rightarrow \infty } p_{n} = 1$.

Доказать: если бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty } p_{n}$ сходится и $Q_{n} = \prod_{m = n+1}^{\infty } p_{m}$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } Q_{n} = 1$

Доказать, что если бесконечное произведение сходится, то, начиная с некоторого номера, все его сомножители имеют один и тот же знак.

Доказать, что для того, чтобы бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty } p_{n}$, $p_{n} > 0, n \in N$, сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \ln p_{n}$, и что при выполнении этого условия

Следует ли из сходимости бесконечных произведений $\prod_{n = 1}^{\infty } p_{n}$ и $\prod_{n = 1}^{\infty } q_{n}, p_{n} > 0, q_{n} > 0, n \in N$, сходимость произведений:

Доказать: если для всех $n u_{n} \neq -1$ и для всех $n$, начиная с некоторого, выполняется неравенство $u_{n} > 0$ (или $u_{n} < 0$), то для сходимости бесконечного произведения $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+u_{n}\right)$ :

Доказать, что бесконечное произведение

сходится, а ряд

расходится.

Доказать: если $u_{n} \neq -1$ для всех $n$ и если сходятся ряды

то сходится и бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+u_{n}\right)$.

Доказать, что если бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+u_{n}\right)$, где

сходится, а оба ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}^{2}$ расходятся.

Доказать, что для того, чтобы бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty } p_{n}, p_{n} > 0, n \in N$, равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы $\sum_{n = 1}^{\infty } \ln p_{n} = -\infty$.

Доказать, что если $-1 < u_{n} < 0, n \in N$, и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}$ расходится, то $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+u_{n}\right) = 0$.

Доказать, что если $-1 < u_{n} < 0, n \in N$, ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}$ сходится, а ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}^{2}$ расходится, то $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+u_{n}\right) = 0$.

Доказать, что если бесконечное произведение абсолютно сходится, то оно сходится.

Доказать, что абсолютно сходящееся бесконечное произведение не зависит от порядка сомножителей.

Доказать, что для того, чтобы бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty } p_{n}, p_{n} > 0, n \in N$, сходилось, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon > 0$ нашлось такое $n_{0}$, что для всех $n > n_{0}$ и всех $k > 0$ выполнялось неравенство

Доказать, что для абсолютной сходимости бесконечного произведения $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+u_{n}\right)$, где $u_{n} \neq -1$ для всех $n$, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}$.

Доказать, что $\prod_{n = 1}^{\infty } \frac{e^{1 / n}}{1+1 / n} = e^{C}$, где $C$ — постоянная Эйлера:

Доказать, что если $\mathbf{F}(k)$ — полный эллиптический интеграл 1 -го рода (см. задачи 230 и $231 \S 6$), то

$\mathbf{F}(k) = \frac{\pi }{2} \prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+k_{n}\right), \quad k_{n} = \frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^{2}}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^{2}}} \quad k_{0} = k, \quad \left|k\right| < 1$.

Найти $\prod_{n = 1}^{\infty } \frac{(1+1 / n)^{n}}{e}$.

Выяснить, сходится или расходится бесконечное произведение

и можно ли говорить о его значении.

Доказать сходимость и найти следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 3}^{\infty } \frac{n^{2}-4}{n^{2}-1}$.

Доказать сходимость и найти следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)$.

Доказать сходимость и найти следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty } \frac{(2 n+1)(2 n+7)}{(2 n+3)(2 n+5)}$.

Доказать сходимость и найти следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty } a^{(-1)^{n} / n}, a > 0$.

Доказать, что $\prod_{n = 2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n^{x}}\right) = 0,0 < x \leqslant 1$.

Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений. $\prod_{n = 2}^{\infty } \frac{1}{n^{2}-1}$.

Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений. $\prod_{n = 1}^{\infty } \frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}$.

Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений. $\prod_{n = 2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n}\right)$.

Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений. $\prod_{n = 2}^{\infty }\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}\right)^{p}$.

Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений. $\prod_{n = 0}^{\infty } \sqrt{\frac{n+1}{n+2}}$.

Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений. $\prod_{n = 1}^{\infty } \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}$.

Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений. $\prod_{n = 1}^{\infty } \sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$.

Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений. $\prod_{n = 1}^{\infty } \sqrt[n^{2}]{n}$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n^{x}}\right)$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n^{x}}\right)$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{x}{n}\right) e^{-x / n}$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{x}{c+n}\right) e^{x / n}, \quad c > 0$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{x^{n}}{2^{n}}\right)$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{(1+1 / n)^{n^{2}}}{x^{n}}\right)$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{x}{\sqrt{n}}\right) \mathrm{exp}\left(\frac{x}{\sqrt{n}}+\frac{x^{2}}{2 n}\right)$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{\sin (x / n)}{x / n}\right)^{p}$.

Выяснить, при каких значениях $x$ сходятся бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty } \sqrt[n]{\ln (n+x)-\ln x}$.

Доказать абсолютную сходимость бесконечного произведения

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right)$.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 2}^{\infty }\left(1+\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\right)$.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 2}^{\infty }\left(1+\frac{(-1)^{n}}{\ln n}\right)$.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 2}^{\infty } \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{n}}$.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty } n^{(-1)^{n}}$.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty } \sqrt[n]{n^{(-1)^{n}}}$.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие бесконечные произведения. $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{(-1)^{n(n-1) / 2}}{n}\right)$.

При каких значениях $x$ бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}\right)$ сходится, абсолютно сходится, расходится, расходится к нулю?

Пусть $0 < x_{n} < \pi / 2, n \in N$. Доказать, что бесконечные произведения

сходятся тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}^{2}$.

Доказать, что бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty } \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}+\alpha_{n}\right)$, где $\left|\alpha_{n}\right| < \frac{\pi }{4}$, сходится, если абсолютно сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \alpha_{n}$.

Доказать, что

(Эйлер).

Доказать асимптотическое равенство

Доказать, что

Доказать, что:

Доказать, что $\frac{1}{\Gamma (x+1)} = e^{C x} \prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{x}{n}\right) e^{-x / n}$, где $C$ — постоянная Эйлера (Вейерштрасс).

Доказать, что $\Gamma (x) \Gamma (1-x) = \pi / \sin \pi x$.

Пусть $\zeta (x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{x}}$ (дзета-функция Римана) и $p_{n}, n \in N,$ — последовательные простые числа. Доказать, что

Доказать, что бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{1}{p_{n}}\right)^{-1}$ и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{p_{n}}$, где $p_{n} \quad (n \in N)$ — последовательные проістые числа, расходятся (Эйлер).

Доказать, что последовательность $x_{n} = \frac{n ! e^{n}}{n^{n+1 / 2}}$ имеет конечный не равный нулю предел $a$. Получить отсюда формулу Стирлинга

Пусть функции $f_{n}$ непрерывны на отрезке $[a ; b],\left|f_{n}(x)\right| \leqslant c_{n}$, $a \leqslant x \leqslant b, n \in N$, и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n}$ сходится. Доказать, что: