Асимптотические представления функций

Доказать асимптотическое равенство. $\int_{2}^{x} \frac{d t}{t^{\alpha } \ln^{\beta } t} \sim -\frac{1}{\alpha x^{\alpha } \ln^{\beta } x}, \quad x \rightarrow +\infty , \quad \alpha < 0, \quad \beta \in R$.

Доказать асимптотическое равенство. $\int_{0}^{x} t^{\alpha } e^{-1 / t} d t \sim x^{\alpha +2} e^{-1 / x}, \quad x \rightarrow +0$.

Доказать асимптотическое равенство. $\int_{a}^{x} \frac{(\ln t)^{\alpha }}{\sqrt{t^{2}+1}} d t \sim \frac{(\ln x)^{\alpha +1}}{\alpha +1}, \quad x \rightarrow +\infty , \quad \alpha > -1, \quad a > 1$.

Доказать асимптотическое равенство. $\int_{x}^{+\infty } \frac{\sin t}{\sqrt{t+1}} e^{-t} d t \sim \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{-x}(\sin x+\cos x), \quad x \rightarrow +\infty$.

Доказать асимптотическое равенство. $\int_{x}^{+\infty } \sqrt{t^{2}+1} \sin e^{t} d t \sim x e^{-x} \cos e^{x}, \quad x \rightarrow +\infty$.

Доказать асимптотическое равенство. $\int_{0}^{x} \sqrt{t^{2}+1} e^{t} \sin t d t \sim \frac{1}{2} x e^{x}(\sin x-\cos x), \quad x \rightarrow +\infty$.

Найти элементарную функцию, асимптотически равную при $x \rightarrow +\infty$ интегралу

Доказать, что $\int_{x}^{+\infty } \cos t^{2} d t = -\frac{\sin x^{2}}{2 x}+O\left(\frac{1}{x^{3}}\right), \quad x \rightarrow +\infty$.

Доказать, что $\int_{x}^{+\infty } \sin t^{2} d t = \frac{\cos x^{2}}{2 x}+O\left(\frac{1}{x^{3}}\right), \quad x \rightarrow +\infty$.

Доказать, что

Доказать формулу Стирлинга

где

— гамма-функция.

Доказать: если неотрицательная, непрерывная, не равная тождественно нулю функция $f$ имеет при $t > 1$ период $T$ :

то

Доказать, что

Найти асимптотический ряд для функции $f(x) = e^{-x}, x > 0$.

Установить следующие асимптотические разложения при $x \rightarrow +\infty$. $\int_{x}^{+\infty } \frac{e^{-x t}}{1+t^{2}} d t \sim \frac{1}{x}-\frac{2 !}{x^{3}}+\frac{4 !}{x^{5}}-\ldots$

Установить следующие асимптотические разложения при $x \rightarrow +\infty$. $\int_{x}^{+\infty } e^{x^{2}-t^{2}} d t \sim \frac{1}{2 x}-\frac{1}{2^{2} x^{3}}+\frac{1 \cdot 3}{2^{3} x^{5}}-\ldots$

Доказать, что если ряд (1) сходится к некоторой функции, то он является и асимптотическим разложением этой функции при $x \rightarrow +\infty$.

Доказать, что для того, чтобы ряд (1) являлся асимптотическим рядом при $x \rightarrow +\infty$ для функции $f$, необходимо и достаточно, чтобы

где $S_{n}(x)$ — частичная сумма ряда (1).

Доказать, что если

то для любых чисел $\lambda$ и $\mu$ имеет место

Доказать, что если имеют место асимптотические разложения (9), то

Доказать, что если $f_{n}(x) \sim \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{a_{n}}{x^{n}}, x \rightarrow +\infty$, и $a_{0} \neq 0$, то функция $1 / f(x)$ также имеет асимптотическое разложение

где коэффициент $d_{n}, n \in N$, этого разложения выражается через коэффициенты $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$.

Доказать: если функция $f$ непрерывна при $x \geqslant a > 0$ и имеет асимптотическое разложение, начинающееся с члена порядка $1 / x^{2}$ :

то

т. е. в указанном случае асимптотический ряд можно почленно интегрировать.

Доказать, что если функция $f$ раскладывается в асимптотический ряд

и если она имеет при $x \geqslant a$ непрерывную производную, которая также раскладывается при $x \rightarrow +\infty$ в асимптотический ряд, то этот ряд получается формальным почленным дифференцированием ряда (11):

Доказать: если функция $f$ имеет асимптотическое разложение (1) без свободного члена $(a_{0} = 0)$, то его можно формально потенцировать, т. е. асимптотическое разложение функции $e^{f(x)}$ при $x \rightarrow +\infty$ можно получить, если в ряде

заменить функцию $f$ ее асимптотическим разложением (1), формально произвести возведение в степень и объединить подобные члены.

Найти асимптотическое разложение (1) для функции $f(x) = e^{-x} \sin e^{x}, x \rightarrow +\infty$, и доказать, что производная $f^{\prime }(x)$ не раскладывается в степенной асимптотический ряд при $x \rightarrow +\infty$.

Найти асимптотическое разложение (1) при $x \rightarrow +\infty$ для функции

Доказать, что следующие последовательности являются асимптотическими (последовательность $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ строго возрастает):

Доказать, что если $\left\{ \varphi_{n}(x)\right\}$ — асимптотическая при $x \rightarrow x_{0}$ последовательность, то для того, чтобы ряд (5) являлся асимптотическим разложением функции $f$ при $x \rightarrow x_{0}$, необходимо и достаточно, чтобы

Доказать, что если $\varphi_{n}(x) \neq 0$ при $x \neq x_{0}, \quad n = 0,1, \ldots$, а $f$ раскладывается при $x \rightarrow x_{0}$ в асимптотический ряд (5), то его коэффициенты последовательно определяются по формулам

Разложить при $x \rightarrow +\infty$ в асимптотический ряд функцию

Доказать, что действительной и мнимой частью интеграла $\frac{1}{2} F\left(x^{2} ; \frac{1}{2}\right)$ являются неполные интегралы Френеля

Найти асимптотическое разложение неполной гамма-функции