§ 2.20

Степенные ряды

[32/63%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
2.20.2 · Задачи[32/63%]
Задача 2.20.1

Найти радиус сходимости RR степенного ряда.

?
(1)

∑n=0∞n2zn\sum_{n = 0}^{\infty } n^{2} z^{n}

(2)

∑n=0∞3n(z+1)n\sum_{n = 0}^{\infty } 3^{n}(z+1)^{n}

(3)

∑n=0∞(n+12n+3)nzn\sum_{n = 0}^{\infty }\left(\frac{n+1}{2 n+3}\right)^{n} z^{n};

(4)

∑n=0∞(n+1)(z−2)n4n+2\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(n+1)(z-2)^{n}}{4^{n+2}}

(5)

∑n=0∞nnzn\sum_{n = 0}^{\infty } n^{n} z^{n}

(6)

∑n=0∞(n+2n+5)n2zn\sum_{n = 0}^{\infty }\left(\frac{n+2}{n+5}\right)^{n^{2}} z^{n}.

Задача 2.20.2

Найти радиус сходимости RR степенного ряда.

?
(1)

∑n=1∞2ln⁡2n(z−3)n\sum_{n = 1}^{\infty } 2^{\ln^{2} n}(z-3)^{n};

(2)

∑n=1∞(zn)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right)^{n};

(3)

∑n=1∞n!(zn)n\sum_{n = 1}^{\infty } n !\left(\frac{z}{n}\right)^{n}

(4)

∑n=1∞nnn!zn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sqrt{n^{n}}}{n !} z^{n};

(5)

∑n=1∞2nz4nn2\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2^{n} z^{4 n}}{n^{2}};

(6)

∑n=1∞(n+1)23nz5n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(n+1)^{2}}{3^{n}} z^{5 n}.

Задача 2.20.3

Найти радиус сходимости RR степенного ряда.

?
(1)

∑n=1∞(n!)2(2n)!zn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(n !)^{2}}{(2 n) !} z^{n};

(2)

∑n=1∞zn(n!)α,α>0\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{z^{n}}{(n !)^{\alpha }}, \alpha > 0;

(3)

∑n=1∞n!e−nαzn,α>1\sum_{n = 1}^{\infty } n ! e^{-n^{\alpha }} z^{n}, \alpha > 1;

(4)

∑n=1∞(kn)!n!(n+1)!…(n+k−1)!,k∈N\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(k n) !}{n !(n+1) ! \ldots (n+k-1) !}, k \in N;

(5)

∑n=1∞n!zn!\sum_{n = 1}^{\infty } n ! z^{n !}

(6)

∑n=1∞(2−e)(2−e3)…(2−en)zn\sum_{n = 1}^{\infty }(2-\sqrt{e})(2-\sqrt[3]{e}) \ldots (2-\sqrt[n]{e}) z^{n}.

Задача 2.20.4

Найти радиус сходимости RR степенного ряда.

?
(1)

∑n=1∞n(cos⁡1n)2n3zn\sum_{n = 1}^{\infty } n\left(\cos \frac{1}{n}\right)^{2 n^{3}} z^{n};

(2)

∑n=1∞2ncos⁡(3πn/4)nzn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2^{n} \cos (3 \pi n / 4)}{n} z^{n};

(3)

∑n=1∞((1−1n)narctg⁡e−n)(z+1)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \operatorname {arctg} e^{-n}\right)(z+1)^{n};

(4)

∑n=1∞(n2+3n2+5)n3(z−1)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{n^{2}+3}{n^{2}+5}\right)^{n^{3}}(z-1)^{n};

(5)

∑n=1∞(1+arctg⁡n+1n2)n(z+2)2\sum_{n = 1}^{\infty }\left(1+\operatorname {arctg} \frac{n+1}{n^{2}}\right)^{n}(z+2)^{2};

(6)

∑n=1∞(ln⁡cos⁡13n)zn\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\ln \cos \frac{1}{3^{n}}\right) z^{n}.

Задача 2.20.5

Найти радиус сходимости RR степенного ряда.

?
(1)

∑n=1∞2n(1+i)3n(n+1)(n+2)zn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2^{n}(1+i)^{3 n}}{(n+1)(n+2)} z^{n};

(2)

∑n=1∞(1−i2)nz2n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{1-i}{2}\right)^{n} z^{2 n};

(3)

∑n=1∞(2+i5)n(3−i7)2n(z−i)3n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(2+i \sqrt{5})^{n}}{(3-i \sqrt{7})^{2 n}}(z-i)^{3 n};

(4)

∑n=1∞n!zn(1+i)(1+2i)…(1+ni)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n ! z^{n}}{(1+i)(1+2 i) \ldots (1+n i)}.

Задача 2.20.6

Найти интервал сходимости степенного ряда:

?
(1)

∑n=1∞(sin⁡(n+1−n))(x+1)n\sum_{n = 1}^{\infty }(\sin (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))(x+1)^{n};

(2)

∑n=1∞(sin⁡n22n)(x−3)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\sin \frac{n^{2}}{2^{n}}\right)(x-3)^{n};

(3)

∑n=1∞2nnnn(x−1)2n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2^{n} n}{n^{n}}(x-1)^{2 n};

(4)

∑n=1∞(arcsin⁡13n)(x−3)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\arcsin \frac{1}{3^{n}}\right)(x-3)^{n}

(5)

∑n=1∞(arctg⁡n2+3n23+1)−n(x−π3)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\operatorname {arctg} \frac{n^{2}+3}{n^{2} \sqrt{3}+1}\right)^{-n}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)^{n};

(6)

∑n=1∞1n!(nxe)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n !}\left(\frac{n x}{e}\right)^{n}.

Задача 2.20.7

Найти радиус сходимости RR и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости.

?
(1)

∑n=1∞(x−1)nnn.\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(x-1)^{n}}{n \sqrt{n}}.;

(2)

∑n=1∞(2n−13n+2)n(x+2)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{2 n-1}{3 n+2}\right)^{n}(x+2)^{n};

(3)

∑n=0∞(−1)nxn2n+1\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n} x^{n}}{2 n+1}

(4)

∑n=0∞(−1)n−12n+33n2+4x2n+1\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1} 2 n+3}{3 n^{2}+4} x^{2 n+1};

(5)

∑n=1∞1n3(x−13)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\left(\frac{x-1}{3}\right)^{n};

(6)

∑n=1∞n4+3n3+4n(x+2)n\sum_{n = 1}^{\infty } \sqrt{\frac{n^{4}+3}{n^{3}+4 n}}(x+2)^{n}.

Задача 2.20.8

Найти радиус сходимости RR и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости.

?
(1)

∑n=1∞5n+(−3)nn+1xn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{5^{n}+(-3)^{n}}{n+1} x^{n}

(2)

∑n=1∞(x+1)nn+1ln⁡3n−23n+2\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(x+1)^{n}}{\sqrt{n+1}} \ln \frac{3 n-2}{3 n+2};

(3)

∑n=1∞2n+13−2n−13n(x+3)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sqrt[3]{2 n+1}-\sqrt[3]{2 n-1}}{\sqrt{n}}(x+3)^{n};

(4)

∑n=1∞(an−1)xn,a>0\sum_{n = 1}^{\infty }(\sqrt[n]{a}-1) x^{n}, a > 0;

(5)

∑n=0∞3n(n3+2)(x−1)2n\sum_{n = 0}^{\infty } 3^{n}\left(n^{3}+2\right)(x-1)^{2 n};

(6)

∑n=1∞4n2(x+1)n2\sum_{n = 1}^{\infty } 4^{n^{2}}(x+1)^{n^{2}}.

Задача 2.20.9

Найти радиус сходимости RR и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости.

?
(1)

∑n=1∞(2n−1)!!n!(x+2)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(2 n-1) ! !}{n !}(x+2)^{n};

(2)

∑n=1∞(x+3)n2nn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(x+3)^{n^{2}}}{n^{n}}

(3)

∑n=1∞(1−1n)n2xn\sum_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n};

(4)

∑n=1∞(1+12+…+1n)(x−1)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{n}\right)(x-1)^{n};

(5)

∑n=1∞(2+(−1)n)nn(x+1)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\left(2+(-1)^{n}\right)^{n}}{n}(x+1)^{n};

(6)

∑n=1∞(1+2cos⁡(πn/4))nxnln⁡2(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(1+2 \cos (\pi n / 4))^{n} x^{n}}{\ln^{2}(n+1)}.

Задача 2.20.10

Найти радиус сходимости RR и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости.

?
(1)

∑n=1∞(x−1)nnα\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(x-1)^{n}}{n^{\alpha }};

(2)

∑n=1∞((2n−1)!!(2n)!!)αxn\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}\right)^{\alpha } x^{n};

(3)

∑n=1∞(ann+bnn2)xn,a>0,b>0\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{a^{n}}{n}+\frac{b^{n}}{n^{2}}\right) x^{n}, a > 0, b > 0;

(4)

∑n=1∞xnan+bn,a>0,b>0\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}, \quad a > 0, \quad b > 0;

(5)

∑n=1∞a(a−1)…(a−(n−1))n!⋅xn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{a(a-1) \ldots (a-(n-1))}{n !} \cdot x^{n};

(6)

∑n=1∞(−1)n−1(2n(n!)2(2n+1)!)α(x−1)n\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left(\frac{2^{n}(n !)^{2}}{(2 n+1) !}\right)^{\alpha }(x-1)^{n}.

Задача 2.20.11

Найти радиус сходимости RR и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости.

?
(1)

∑n=1∞3−nn2+n+1(x−1)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{3^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n^{2}+n+1}}(x-1)^{n};

(2)

∑n=0∞(−1)[n]nxn\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n} x^{n};

(3)

∑n=1∞(xsin⁡n)n\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{x}{\sin n}\right)^{n};

(4)

∑n=1∞(−1)n−1n!(ne)n(x−1)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n !}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}(x-1)^{n};

(5)

∑n=1∞10ν(n)n(1−x)n,ν(n)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{10^{\nu (n)}}{n}(1-x)^{n}, \quad \nu (n) — число цифр числа nn.

Задача 2.20.12

Найти область сходимости степенного ряда:

?
(1)

∑n=1∞2nxn2\sum_{n = 1}^{\infty } 2^{n} x^{n^{2}}

(2)

∑n=1∞(x−1)nan,a>0;\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(x-1)^{n}}{a^{\sqrt{n}}}, a > 0 ;

(3)

∑n=1∞n!an2xn,a>1\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n !}{a^{n^{2}}} x^{n}, a > 1.

Задача 2.20.13

Определить область сходимости гипергеометрического ряда 1+α⋅β1⋅γλ+α(α+1)β(β+1)1⋅2⋅γ(γ+1)x2+…1+\frac{\alpha \cdot \beta }{1 \cdot \gamma } \lambda +\frac{\alpha (\alpha +1) \beta (\beta +1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma (\gamma +1)} x^{2}+\ldots

…+α(α+1)…(α+n−1)β(β+1)…(β+n−1)1⋅2…γ(γ+1)…(γ+n−1)xn+… \ldots +\frac{\alpha (\alpha +1) \ldots (\alpha +n-1) \beta (\beta +1) \ldots (\beta +n-1)}{1 \cdot 2 \ldots \gamma (\gamma +1) \ldots (\gamma +n-1)} x^{n}+\ldots

Исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости.

?
Задача 2.20.14

Найти область сходимости ряда:

?
(1)

∑n=1∞(−1)n+1ln⁡nx3n(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n+1} \frac{\ln^{n} x}{3^{n}(n+1)};

(2)

∑n=1∞12n+3(1−x1+x)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{2 n+3}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{n};

(3)

∑n=1∞1(x−1)ntg⁡π2n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{(x-1)^{n}} \operatorname {tg} \frac{\pi }{2^{n}};

(4)

∑n=1∞(1+1n)−n2e−nx\sum_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}} e^{-n x};

(5)

∑n=1∞2ncos⁡nx\sum_{n = 1}^{\infty } 2^{n} \cos^{n} x;

(6)

∑n=1∞33n(n!)3(3n)!tg⁡nx\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{3^{3 n}(n !)^{3}}{(3 n) !} \operatorname {tg}^{n} x.

Задача 2.20.15

Пусть радиус сходимости степенного ряда ∑n=0∞cnzn\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n} равен RR. Найти радиус сходимости степенного ряда:

?
(1)

∑n=0∞cnkzn,k∈N\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n}^{k} z^{n}, \quad k \in N

(2)

∑n=0∞cnzkn,k∈N\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{k n}, \quad k \in N

(3)

∑n=0∞cn1+∣cn∣zn\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{c_{n}}{1+\left|c_{n}\right|} z^{n}.

Задача 2.20.16

Пусть радиусы сходимости степенных рядов ∑n=0∞anxn\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} и ∑n=0∞bnxn\sum_{n = 0}^{\infty } b_{n} x^{n} равны R1R_{1} и R2R_{2} соответственно. Найти условие, которому должен удовлетворять радиус сходимости RR степенного ряда:

?
(1)

∑n=0∞(an+bn)xn\sum_{n = 0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right) x^{n}

(2)

∑n=0∞anbnxn\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} b_{n} x^{n}

Задача 2.20.17

Доказать, что степенной ряд ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} сходится равномерно на любом отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости.

?
Задача 2.20.18

Пусть

l=lim⁡n→∞‾∣anan+1∣,L=lim‾⁡n→∞∣anan+1∣, l = \underline{\lim _{n \rightarrow \infty }}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|, \quad L = \varlimsup _{n \rightarrow \infty }\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|,

RR — радиус сходимости степенного ряда ∑n=0∞anxn\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n}. Доказать, что l⩽R⩽Ll \leqslant R \leqslant L.

?
Задача 2.20.19

Доказать, что степенные ряды ∑n=0∞anzn,∑n=0∞ann+1zn+1и∑n=1∞nanzn−1\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n}, \quad \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{a_{n}}{n+1} z^{n+1} \quad \text{и} \quad \sum_{n = 1}^{\infty } n a_{n} z^{n-1} имеют один и тот же радиус сходимости.

?
Задача 2.20.20

Доказать, что если функция f(z)f(z) представима в круге ∣z\mid z - z0∣<Rz_{0} \mid < R, где R>0R > 0, сходящимся к ней степенным рядом f(z)=∑n=0∞cn(z−z0)nf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}, то:

?
(1)

для nn-го остатка этого ряда справедлива асимптотическая формула

rn(z)=∑k=n+1∞cn(z−z0)no((z−z0)n) r_{n}(z) = \sum _{k = n+1}^{\infty } c_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n} o\left(\left(z-z_{0}\right)^{n}\right)

т.е.

∣rn(z)(z−z0)n∣→0 при z→z0 \left|\frac{r_{n}(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n}}\right| \rightarrow 0 \quad \text{ при } \quad z \rightarrow z_{0}
(2)

коэффициенты cnc_{n} степенного ряда определяются однозначно (единственность разложения регулярной функции в степенной ряд).

Задача 2.20.21

Найти радиус сходимости RR степенного ряда f(z)=∑n=0∞cnznf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n},

?
(1)

f(z)=1z2+a2,a≠0f(z) = \frac{1}{z^{2}+a^{2}}, \quad a \neq 0;

(2)

f(z)=1zm+a,a≠0,m∈Nf(z) = \frac{1}{z^{m}+a}, \quad a \neq 0, \quad m \in N;

(3)

z(x)=13z4+10z2+3z(x) = \frac{1}{3 z^{4}+10 z^{2}+3};

(4)

z(x)=12z3−6z2+z−3z(x) = \frac{1}{2 z^{3}-6 z^{2}+z-3}.

Задача 2.20.22

Найти радиус сходимости RR степенного ряда

1P(x)=∑n=0∞an(x−x0)n \frac{1}{P(x)} = \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}

не находя коэффициентов ana_{n}, если:

?
(1)

P(x)=x2−x−2,x0=0P(x) = x^{2}-x-2, x_{0} = 0

(2)

P(x)=x2+1,x0=−1P(x) = x^{2}+1, x_{0} = -1;

(3)

P(x)=x2−x−6,x0=1P(x) = x^{2}-x-6, x_{0} = 1;

(4)

P(x)=x2−x+1,x0=2P(x) = x^{2}-x+1, x_{0} = 2;

(5)

P(x)=2x2+3x−2,x0=−1/2P(x) = 2 x^{2}+3 x-2, x_{0} = -1 / 2;

(6)

P(x)=x3−8,x0=−3P(x) = x^{3}-8, x_{0} = -3.

Задача 2.20.23

Доказать, что если степенной ряд ∑n=0∞cnzn\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n} сходится в точке z0z_{0}, то он равномерно сходится на отрезке, соединяющем точку z=0z = 0 с точкой z=z0z = z_{0}.

?
Задача 2.20.24

Пусть сходится ряд ∑n=0∞an\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} и SS — его сумма. Обозначим

S=a0+a1+…+an(n=0,1,2,…),σ=S0+S1+…+Snn+1 S = a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n} \quad (n = 0,1,2, \ldots ), \quad \sigma = \frac{S_{0}+S_{1}+\ldots +S_{n}}{n+1}

Доказать, что:

?
(1)

для всех x∈(0;1)x \in (0 ; 1) сходится ряд ∑n=0∞anxn\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n};

(2)

для всех xx таких, что ∣x∣<min⁡(1;R)\left|x\right| < \min (1 ; R), где RR — радиус сходимости ряда ∑n=0∞anxn\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n}, выполняются равенства

∑n=0∞anxn=(1−x)∑n=0∞Snxn,S−∑n=0∞anxn=(1−x)∑n=0∞(S−Sn)xn∑n=0∞anxn=(1−x)2∑n=0∞(n+1)σnxn \begin{gathered} \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} = (1-x) \sum _{n = 0}^{\infty } S_{n} x^{n}, \quad S-\sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} = (1-x) \sum _{n = 0}^{\infty }\left(S-S_{n}\right) x^{n} \\ \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} = (1-x)^{2} \sum _{n = 0}^{\infty }(n+1) \sigma _{n} x^{n}\end{gathered} (n=0,1,2,…) (n = 0,1,2, \ldots )
Задача 2.20.25

Доказать, что если ряд ∑n=0∞an\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} сходится и его сумма равна SS, то существует

lim⁡x→1−0∑n=0∞anxn=S \lim _{x \rightarrow 1-0} \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} = S

Справедливо ли обратное утверждение?

?
Задача 2.20.26

Пусть an⩾0(n=0,1,2,…)a_{n} \geqslant 0(n = 0,1,2, \ldots ) и существует

lim⁡x→R−0∑n=0∞anxn=S \lim _{x \rightarrow R-0} \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} = S

Доказать, что ∑n=0∞anRn=S\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} R^{n} = S.

?
Задача 2.20.27

Доказать, что если степенной ряд ∑n=0∞anxn\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} сходится при x∈(0;1)x \in (0 ; 1),

lim⁡n→∞a1+2a2+…+nann=0,lim⁡x→1−0∑n=0∞anxn=A \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{1}+2 a_{2}+\ldots +n a_{n}}{n} = 0, \quad \lim _{x \rightarrow 1-0} \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} = A

To

∑n=0∞an=A \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} = A
?
Задача 2.20.28

Пусть радиус сходимости степенного ряда ∑n=0∞anxn\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} равен 1 и an>0(n=0,1,2,…)a_{n} > 0(n = 0,1,2, \ldots ). Доказать, что:

?
(1)

если сумма f(x)f(x) этого ряда ограничена на промежутке [0;1)[0 ; 1), то ряд ∑n=0∞an\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} сходится и lim⁡x→1−0f(x)=∑n=0∞an\lim_{x \rightarrow 1-0} f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n};

(2)

если ряд ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} расходится, то lim⁡x→1−0f(x)=+∞\lim_{x \rightarrow 1-0} f(x) = +\infty.

Задача 2.20.29

Пусть степенной ряд ∑n=0∞anxn\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n} сходится на интервале (0;1)(0 ; 1), а его сумма равна f(x)f(x). Если существует lim⁡x→1−0f(x)=A\lim_{x \rightarrow 1-0} f(x) = A, то говорят, что ряд ∑n=0∞an\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} суммируем методом Пуассона-Абеля, а число AA называют "обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой" данного числового ряда.

Показать, что следующие ряды суммируемы по методу Пуассона-Абеля, и найти соответствующие обобщенные суммы:

?
(1)

∑n=0∞(−1)n\sum_{n = 0}^{\infty }(-1)^{n};

(2)

12+∑n=1∞cos⁡nθ,−π⩽θ⩽π;\frac{1}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty } \cos n \theta , \quad -\pi \leqslant \theta \leqslant \pi ;

(3)

∑n=1∞sin⁡nθ,−π⩽θ⩽π\sum_{n = 1}^{\infty } \sin n \theta , \quad -\pi \leqslant \theta \leqslant \pi.

Задача 2.20.30

Доказать, что если ряд ∑n=0∞an\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} суммируем по методу средних арифметических (см. задачу 47 из § 16), то он суммируем и по методу Пуассона-Абеля к той же сумме (теорема Фробениуса).

?
Задача 2.20.31

Доказать, что если ряды ∑n=0∞an\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} и ∑n=0∞bn\sum_{n = 0}^{\infty } b_{n} суммируемы по методу Пуассона-Абеля к суммам AA и BB соответственно, то и ряд ∑n=0∞(a0bn+a1bn−1+…+an−1bn+anb0)\sum_{n = 0}^{\infty }\left(a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\ldots +a_{n-1} b_{n}+a_{n} b_{0}\right), т. е. произведение данных рядов, суммируем по методу Пуассона-Абеля к сумме ABA B.

?
Задача 2.20.32

Пусть an>0,bn>0,∀n∈Na_{n} > 0, b_{n} > 0, \forall n \in N. Доказать, что:

?
(1)

если lim⁡n→∞anbn=A\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}} = A и ряд ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} расходится, то

lim⁡x→1−0(∑n=1∞anxn/∑n=1∞bnxn)=A; \lim _{x \rightarrow 1-0}\left(\sum _{n = 1}^{\infty } a_{n} x^{n} / \sum _{n = 1}^{\infty } b_{n} x^{n}\right) = A;
(2)

если lim⁡n→∞AnBn=A\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{A_{n}}{B_{n}} = A, где An=∑k=1nak,Bn=∑k=1nbkA_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}, B_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}, и если ряд ∑n=1∞An\sum_{n = 1}^{\infty } A_{n} расходится, то

lim⁡x→1−0(∑n=1∞anxn/∑n=1∞bnxn)=A. \lim _{x \rightarrow 1-0}\left(\sum _{n = 1}^{\infty } a_{n} x^{n} / \sum _{n = 1}^{\infty } b_{n} x^{n}\right) = A.