Разные задачи на сходимость рядов

Сложить ряды $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$ и вычислить сумму получившегося ряда, если:

Найти разность расходящихся рядов $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$ и вычислить сумму получившегося ряда, если он сходится:

Пусть $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n}$ — ряд, полученный при перемножении рядов $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$. Найти $c_{n}$, если:

Пусть ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n}$ есть разность рядов $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$. Выяснить, можно ли утверждать, что этот ряд расходится, если:

Показать, что квадрат сходящегося ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ — есть ряд расходящийся.

Пусть $\alpha > 0, \beta > 0$. Показать, что произведение двух сходящихся рядов

есть ряд сходящийся, если $\alpha +\beta > 1$, и расходящийся, если $\alpha +\beta < 1$.

Показать, что:

Показать, что ряд, полученный при перемножении двух расходящихся рядов

абсолютно сходится.

Пусть ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$, где $a_{n} > 0(n \in N)$, сходится, а ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$, где $b_{n} > 0(n \in N)$, расходится. Показать, что произведение этих рядов есть ряд расходящийся.

Доказать, что если ряды

сходятся и их суммы равны соответственно $A, B$ и $C$, то справедливо равенство $C = A B$.

Используя оценку (5), найти наименьший номер $n_{0}$ такой, чтобы для ряда $\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1} a_{n}$, где $a_{n} > 0$, при всех $n \geqslant n_{0}$ выполнялось неравенство $r_{n} < 10^{-3}$, если:

Сколько членов ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ нужно взять, чтобы ошибка при замене суммы $S$ этого ряда его $n$-й частичной суммой $S_{n}$ не превышала $\alpha$, т. е. чтобы $\left|S-S_{n}\right| = \left|r_{n}\right| \leqslant \alpha$, если:

Оценить порядок убывания при $n \rightarrow \infty$ остатка $r_{n}$ ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$, получив асимптотическую формулу вида $r_{n} \sim M n^{p}$ при $n \rightarrow \infty$, где $M > 0$ и $M$ не зависит от $n$, если:

Привести пример такого сходящегося ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$, что ряд

расходится.

Исследовать на сходимость ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$, если:

Доказать, что гипергеометрический ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$, где $a_{1} = 1$,

$\alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0, n \geqslant 2$, сходится, если $\gamma > \alpha +\beta$.

Найти все значения $\alpha$, при которых сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}^{\alpha }$, если:

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} e^{-n x_{0}}$ сходится, то ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} e^{-n x}$ сходится абсолютно при любом $x > x_{0}$.

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} n^{-\alpha }$, где $\alpha > 0$, сходится, то

Пусть ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ с положительными членами сходится. Следует ли отсюда, что $a_{n} = o(1 / n)$ при $n \rightarrow \infty$?

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ с неотрицательными членами сходится, то ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sqrt{a_{n}}}{n}$ также сходится.

Известно, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$, где $a_{n} \geqslant 0 \quad (n \in N)$, расходится. Следует ли отсюда, что сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$, если:

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ с положительными членами расходится, то:

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ с положительными членами сходится, то:

Доказать, что если $a_{n}$ монотонно стремится к нулю и, кроме того, $\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = +\infty$, то ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ расходится, причем

Обозначим $\Delta a_{n} = a_{n}-a_{n+1}, \quad \Delta^{2} a_{n} = \Delta a_{n}-\Delta a_{n+1}$.

Доказать, что если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ удовлетворяет при всех $n \in N$ условию $\Delta^{2} a_{n} \geqslant 0$ (такую последовательность называют выпуклой) и ограничена, то ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }(n+1) \Delta^{2} a_{n}$ сходится.

Доказать, что если $a_{n} \neq 0(n \in N), a_{n}$ монотонно стремится к нулю и $\sum_{k = n}^{\infty } a_{k} = O\left(a_{n}\right)$, то

Доказать, что если существуют пределы

причем $\left|\lambda \mu \right| < 1$, то ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ абсолютно сходится.

Привести пример такого сходящегося ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}^{3}$ расходится.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел, $a_{n}$ монотонно стремится к нулю, а ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ расходится. Доказать, что ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } a_{n_{k}}$, где $\left\{ n_{k}\right\}$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая при всех $k \in N$ условию $n_{k+1}-n_{k} < c$ ($c$ не зависит от $k$), также расходится.

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ с положительными членами сходится, то существует последовательность $\left\{ b_{n}\right\}$, монотонно стремящаяся к $+\infty$ и такая, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} b_{n}$ также сходится.

Пусть $f(x)$ — положительная, строго возрастающая при $x > 0$ функция, $g(x)$ — функция, обратная к $f$. Доказать, что если ряды

где $a_{n} > 0, b_{n} > 0(n \in N)$, сходятся, то ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} b_{n}$ также сходится, причем

Пусть члены ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ положительны, и пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел такая, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n}^{-1}$ расходится. Обозначим

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ :

Доказать, что если для ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ с положительными членами существует

то при $A > 1$ этот ряд сходится, а при $A < 1$ расходится (признак Бертрана).

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — монотонно возрастающая последовательность положительных чисел. Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$ сходится, если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ ограничена, и расходится, если эта последовательность не ограничена.

Пусть заданы последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ положительных чисел и число $p \in N(p > 1)$ такие, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}^{p}$ сходится. Обозначим

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}^{p}$ сходится и справедливо неравенство

Пусть ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ с положительными членами сходится. Обозначим

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n}$ сходится и справедливо неравенство

Пусть заданы две последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$ и $\left\{ b_{n}\right\}$ положительных чисел, а также числа $p$ и $q$ такие, что $p > 1,1 / p+1 / q = 1$.

Доказать, что если ряды $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}^{p}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}^{q}$ сходятся, то:

Пусть $S_{n}$ и $\sigma_{n}-n$-е частичные суммы соответственно рядов $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$, причем $b_{n} > 0(n \in N)$, ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$ расходится и существует

Доказать, что

Пусть $S_{n}-n$-я частичная сумма расходящегося ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ с положительными членами, и пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{S_{n}} = 0$.

Доказать, что

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } n a_{n}$ сходится, то при любом $m \in N$ сходится ряд

причем

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — монотонно возрастающая последовательность положительных чисел такая, что $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = \infty$. Обозначим через $\lambda$ число, обладающее тем свойством, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}^{-\alpha }$ при всех $\alpha > \lambda$ сходится, а при всех $\alpha < \lambda$ расходится (такое число называют показателем сходимости последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$).

Доказать, что

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ абсолютно сходится и каждая его часть вида $a_{m}+a_{2 m}+a_{3 m}+\ldots (m \in N)$ имеет сумму 0, то $a_{n} = 0$ для всех $n \in N$.

Пусть ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ сходится условно, и пусть $-\infty \leqslant \alpha \leqslant \beta \leqslant +\infty$.

Доказать, что перестановкой членов этого ряда можно образовать ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}^{\prime }$ такой, что

где

Ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ называют безусловно сходящимся, если он сходится к одной и той же сумме при любой перестановке его членов. Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ сходится безусловно тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно.

Доказать, что если ряды, получаемые при всевозможных перестановках членов данного ряда, сходятся, то они имеют одну и ту же сумму.

Пусть задана числовая последовательность $a_{0}, a_{1} \ldots , a_{n} \ldots$; обозначим

Если существует конечный $\lim_{n \rightarrow \infty } \sigma_{n} = \sigma$, то говорят, что ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n}$ суммируется методом средних арифметических, а число $\sigma$ называют обобщенной (в смысле Чезаро) суммой этого ряда.

Доказать, что метод средних арифметических (Чезаро) является:

Показать, что ряд суммируется методом Чезаро (см. задачу 47), найдя $\sigma_{n}$ и $\sigma$ :