§ 2.15

Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды

[36/44%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
2.15.2 · Задачи[36/44%]
Задача 2.15.1

Доказать, что ряды абсолютно сходятся.

?
(1)

∑n=1∞sin⁡(2n+π/4)nn+23\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin (2 n+\pi / 4)}{n \sqrt[3]{n+2}};

(2)

∑n=1∞arctg⁡(−n)n2n6+3n+14\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\operatorname {arctg}(-n)^{n}}{\sqrt[4]{2 n^{6}+3 n+1}}

(3)

∑n=1∞cos⁡(πn/4)(n+2)ln⁡3(n+3)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos (\pi n / 4)}{(n+2) \sqrt{\ln^{3}(n+3)}};

(4)

∑n=1∞(−1)n+1ln⁡2n2n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1} \ln^{2} n}{2^{n}};

(5)

∑n=1∞(−1)nn5arcsin⁡π4n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[5]{n}} \arcsin \frac{\pi }{4 n};

(6)

∑n=1∞cos⁡3n⋅arctg⁡n+1n3+2\sum_{n = 1}^{\infty } \cos^{3} n \cdot \operatorname {arctg} \frac{n+1}{n^{3}+2};

(7)

∑n=1∞n2+3n3+4nln⁡(1+(−1)nn)\sum_{n = 1}^{\infty } \sqrt{\frac{n^{2}+3}{n^{3}+4 n}} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n}\right);

(8)

∑n=1∞n3sin⁡n⋅e−n\sum_{n = 1}^{\infty } n^{3} \sin n \cdot e^{-\sqrt{n}}.

Задача 2.15.2

Доказать, что ряды абсолютно сходятся.

?
(1)

∑n=1∞(−n)n(2n)!\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-n)^{n}}{(2 n) !};

(2)

∑n=1∞(−1)n(2n)!!(n+1)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(2 n) ! !}{(n+1)^{n}}

(3)

∑n=1∞(−1)nln⁡2(n+1)nn+1\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n} \ln^{2}(n+1)}{n \sqrt{n+1}}

(4)

∑n=1∞(−1)n(n+1)/2⋅2n+n23n+n3\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n(n+1) / 2} \cdot \frac{2^{n}+n^{2}}{3^{n}+n^{3}};

(5)

∑n=1∞(−1)nsin⁡3nnln⁡(n+1)⋅ln⁡2(n+2)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n} \sin 3 n}{n \ln (n+1) \cdot \ln^{2}(n+2)};

(6)

∑n=1∞(sin⁡nn23−sin⁡(sin⁡nn23))\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\sin \left(\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}\right)\right)

(7)

∑n=1∞(1nsin⁡(1/n)−cos⁡1n)cos⁡πn\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{1}{n \sin (1 / n)}-\cos \frac{1}{n}\right) \cos \pi n;

(8)

∑n=1∞(−1)n(arctg⁡1n−arcsin⁡1n)\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n}\left(\operatorname {arctg} \frac{1}{\sqrt{n}}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{n}}\right).

Задача 2.15.3

Исследовать на сходимость ряды.

?
(1)

∑n=1∞(−1)nn+13\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n+1}};

(2)

∑n=1∞(−1)n+1ln⁡nn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1} \ln n}{\sqrt{n}};

(3)

∑n=1∞(−1)n−1ln⁡ln⁡(n+2)ln⁡(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1} \ln \ln (n+2)}{\ln (n+1)};

(4)

∑n=1∞(−1)nn(n+2)n+14\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n} n}{(n+2) \sqrt[4]{n+1}};

(5)

∑n=1∞cos⁡(π4+πn)sin⁡1n\sum_{n = 1}^{\infty } \cos \left(\frac{\pi }{4}+\pi n\right) \sin \frac{1}{n};

(6)

∑n=1∞(−1)n(1−cos⁡πn)\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\pi }{\sqrt{n}}\right);

(7)

∑n=1∞(−1)n+11n2+1n\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt[n]{n^{2}+1}};

(8)

∑n=1∞(−1)nn+2n2+4arctg⁡πn\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{n+2}{\sqrt{n^{2}+4}} \operatorname {arctg} \frac{\pi }{\sqrt{n}}.

Задача 2.15.4

Исследовать на сходимость ряды.

?
(1)

∑n=1∞(−1)n(n−1)/21n\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n(n-1) / 2} \frac{1}{\sqrt{n}};

(2)

∑n=1∞sin⁡nn5;\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin n}{\sqrt[5]{n}} ;

(3)

∑n=1∞cos⁡(n+π/4)ln⁡2(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos (n+\pi / 4)}{\ln^{2}(n+1)};

(4)

∑n=1∞(−1)ncos⁡22nn\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{\cos^{2} 2 n}{\sqrt{n}};

(5)

∑n=1∞(−1)n⋅sin⁡2(n/2)n+15\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \cdot \frac{\sin^{2}(n / 2)}{\sqrt[5]{n+1}};

(6)

∑n=1∞∑k=1n1kln⁡(n+2)cos⁡3n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}}{\ln (n+2)} \cos 3 n;

(7)

∑n=1∞∑k=1n1k!n5sin⁡2n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k !}}{\sqrt[5]{n}} \sin 2 n;

(8)

∑n=1∞(−1)n(n−1)/21n+1(1+2n)2\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n(n-1) / 2} \frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2}.

Задача 2.15.5

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды.

?
(1)

∑n=1∞(−1)n−1n+13n+2\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1} \frac{\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt{n}+2}

(2)

∑n=1∞(−1)nn22n3n+1\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{n^{2} 2^{n}}{3^{n}+1}

(3)

∑n=1∞(−1)nnln⁡(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n \ln (n+1)}

(4)

∑n=1∞(n+1)sin⁡2n\sum_{n = 1}^{\infty }(n+1) \sin 2 n

(5)

∑n=1∞(−1)nn(n+1)n+2tg⁡1n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n} n}{(n+1) \sqrt{n+2}} \operatorname {tg} \frac{1}{\sqrt{n}};

(6)

∑n=1∞(−1)nnln⁡(n+1)ln⁡ln⁡(n+2)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n \ln (n+1) \ln \ln (n+2)}.

Задача 2.15.6

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды.

?
(1)

∑n=1∞(−1)n+1(n+4)n2+13(2+n2+3)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}(n+4)}{\sqrt[3]{n^{2}+1}\left(2+\sqrt{n^{2}+3}\right)};

(2)

∑n=1∞cos⁡(πn+π6)ln⁡(1+2n)\sum_{n = 1}^{\infty } \cos \left(\pi n+\frac{\pi }{6}\right) \ln \left(1+\frac{2}{n}\right);

(3)

∑n=1∞(−1)n2n3+(−1)n−1\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2 \sqrt[3]{n}+(-1)^{n-1}};

(4)

∑n=1∞ln⁡2ln⁡(n+2)ln⁡(n+1)sin⁡πn4\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\ln^{2} \ln (n+2)}{\ln (n+1)} \sin \frac{\pi n}{4};

(5)

∑n=1∞(−1)n2+(−1)nnln⁡(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2+(-1)^{n}}{n \ln (n+1)};

(6)

∑n=1∞cos⁡n⋅cos⁡(1/n)n4\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos n \cdot \cos (1 / n)}{\sqrt[4]{n}}

Задача 2.15.7

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды.

?
(1)

∑n=1∞ln⁡6nncos⁡πn6\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\ln^{6} n}{\sqrt{n}} \cos \frac{\pi n}{6};

(2)

∑n=1∞(−1)[n]n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n};

(3)

∑n=1∞(−1)nn2+2n+3−n2−2n+3n\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{\sqrt{n^{2}+2 n+3}-\sqrt{n^{2}-2 n+3}}{n};

(4)

∑n=1∞cos⁡4nn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos^{4} n}{n}

(5)

∑n=1∞sin⁡4n−3/8n+1\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin^{4} n-3 / 8}{\sqrt{n+1}};

(6)

∑n=1∞(−1)nn3/2+ln⁡3nn3/2ln⁡(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n} n^{3 / 2}+\ln^{3} n}{n^{3 / 2} \ln (n+1)}.

Задача 2.15.8

Исследовать на сходимость ряды.

?
(1)

∑n=1∞sin⁡3nn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin^{3} n}{\sqrt{n}};

(2)

∑n=1∞cos⁡52nln⁡(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos^{5} 2 n}{\ln (n+1)}

(3)

∑n=1∞sin⁡nn+sin⁡n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin n}{\sqrt{n}+\sin n};

(4)

∑n=1∞sin⁡(sin⁡nn3)\sum_{n = 1}^{\infty } \sin \left(\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n}}\right);

(5)

∑n=1∞(e(cos⁡n)/n−cos⁡1n)\sum_{n = 1}^{\infty }\left(e^{(\cos n) / \sqrt{n}}-\cos \frac{1}{n}\right);

(6)

∑n=1∞(−1)nn+(−1)n/(2n)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{n} /(2 \sqrt{n})};

(7)

∑n=1∞cos⁡nn2/3+(−1)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos n}{n^{2 / 3}+(-1)^{n}};

(8)

∑n=1∞sin⁡nncos⁡1n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin n}{\sqrt{n}} \cos \frac{1}{n}

(9)

∑n=1∞(−1)nnarctg⁡n+1n3\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} n \operatorname {arctg} \frac{n+1}{n^{3}};

(10)

∑n=1∞(nn−1)cos⁡n\sum_{n = 1}^{\infty }(\sqrt[n]{n}-1) \cos n;

(11)

∑n=1∞(−1)nsin⁡(n2−1−n)\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \sin \left(\sqrt{n^{2}-1}-n\right);

(12)

∑n=1∞(−1)nsh⁡n2+12n3−n2\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \operatorname {sh} \frac{n^{2}+1}{2 n^{3}-n^{2}}.

Задача 2.15.9

Исследовать на сходимость ряды.

?
(1)

∑n=1∞1n4cos⁡π(n2+1)n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt[4]{n}} \cos \frac{\pi \left(n^{2}+1\right)}{n};

(2)

∑n=1∞sin⁡(πn2+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right);

(3)

∑n=1∞sin⁡(n+1/n)ln⁡ln⁡(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin (n+1 / n)}{\ln \ln (n+1)};

(4)

∑n=1∞(−1)[ln⁡n]n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{[\ln n]}}{n};

(5)

∑n=1∞sin⁡n2\sum_{n = 1}^{\infty } \sin n^{2};

(6)

∑n=1∞sin⁡n⋅sin⁡n2n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin n \cdot \sin n^{2}}{n}

(7)

∑n=1∞cos⁡nln⁡2(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos n}{\ln^{2}(n+1)};

(8)

∑n=1∞cos⁡nn+ln⁡n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos n}{n+\ln n}

(9)

∑n=1∞sin⁡nln⁡n+1tg⁡1n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin n}{\ln n+1} \operatorname {tg} \frac{1}{\sqrt{n}};

(10)

∑n=1∞cos⁡narctg⁡ln⁡nn+1\sum_{n = 1}^{\infty } \cos n \operatorname {arctg} \frac{\ln n}{\sqrt{n+1}};

(11)

∑n=1∞(etg⁡1n−1)sin⁡nln⁡(n+1)\sum_{n = 1}^{\infty }\left(e^{\operatorname {tg} \frac{1}{n}-1}\right) \frac{\sin n}{\ln (n+1)};

(12)

∑n=1∞(−1)nln⁡cos⁡nn+2\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \ln \cos \frac{\sqrt{n}}{n+2}.

Задача 2.15.10

Пусть f(x)=Pˉm(x)/Qp(x)f(x) = \bar{P}_{m}(x) / Q_{p}(x), где

Pm(x)=xm+a1xm−1+…+am−1x+amQp(x)=xp+b1xp−1+…+bp−1x+bp \begin{gathered} P_{m}(x) = x^{m}+a_{1} x^{m-1}+\ldots +a_{m-1} x+a_{m} \\ Q_{p}(x) = x^{p}+b_{1} x^{p-1}+\ldots +b_{p-1} x+b_{p}\end{gathered}
  • многочлены, причем Qp(x)≠0Q_{p}(x) \neq 0 при x⩾1x \geqslant 1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд ∑n=1∞(−1)nf(n)\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} f(n).
?
Задача 2.15.11

Исследовать на сходимость ряд ∑n=3∞annln⁡(n+1)\sum_{n = 3}^{\infty } \frac{a_{n}}{n \ln (n+1)}, где

an={1, если n=5k+1 и n=5k+2,−1, если n=5k,n=5k−1,n=5k−2,k∈N. a_{n} = \begin{cases} 1, \text{ если } n = 5 k+1 \text{ и } n = 5 k+2, \\ -1, \text{ если } n = 5 k, n = 5 k-1, n = 5 k-2, \end{cases} \quad k \in N.
?
Задача 2.15.12

Найти все значения α\alpha, при которых ряд абсолютно сходится (а) или условно сходится (б):

?
(1)

∑n=1∞(−1)n−1nα\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha }};

(2)

∑n=1∞(−1)nn−α\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n-\alpha }

(3)

∑n=1∞(−1)nnα+n−1\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha +n^{-1}}};

(4)

∑n=1∞ln⁡(1+(−1)n−1(n+1)α)\sum_{n = 1}^{\infty } \ln \left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^{\alpha }}\right);

(5)

∑n=1∞(−1)n(2n+(−1)n)α\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\left(2 n+(-1)^{n}\right)^{\alpha }};

(6)

∑n=1∞(−1)n−1(n+1+(−1)n)α\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{\left(\sqrt{n+1}+(-1)^{n}\right)^{\alpha }}.

Задача 2.15.13

Найти все значения α\alpha, при которых ряд абсолютно сходится (а) или условно сходится (б):

?
(1)

∑n=1∞(−1)[n]nα\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{[n]}}{n^{\alpha }};

(2)

∑n=1∞cos⁡nnα\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos n}{n^{\alpha }};

(3)

∑n=1∞sin⁡2nln⁡2nnα\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin 2 n \ln^{2} n}{n^{\alpha }};

(4)

∑n=1∞(−1)n−1(1⋅3⋅5…(2n−1)2⋅4⋅6…(2n))α\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2 n)}\right)^{\alpha }

(5)

∑n=1∞α(α−1)(α−2)…(α−(n−1))n!\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2) \ldots (\alpha -(n-1))}{n !}

(6)

∑n=1∞sin⁡nxnln⁡α(n+1),0<x<π\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin n x}{n \ln^{\alpha }(n+1)}, \quad 0 < x < \pi.

Задача 2.15.14

Найти все значения α\alpha, при которых ряд абсолютно сходится (а) или условно сходится (б):

?
(1)

∑n=1∞(−1)nsin⁡2nαn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n} \sin^{2 n} \alpha }{n};

(2)

∑n=1∞(−1)n−12ncos⁡2nαn\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1} \frac{2^{n} \cos^{2 n} \alpha }{\sqrt{n}};

(3)

1+13α−12α+15α+17α−14α+…1+\frac{1}{3^{\alpha }}-\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{5^{\alpha }}+\frac{1}{7^{\alpha }}-\frac{1}{4^{\alpha }}+\ldots;

(4)

1+13α−11α+15α+17α−13α+19α+111α−15α+…1+\frac{1}{3^{\alpha }}-\frac{1}{1^{\alpha }}+\frac{1}{5^{\alpha }}+\frac{1}{7^{\alpha }}-\frac{1}{3^{\alpha }}+\frac{1}{9^{\alpha }}+\frac{1}{11^{\alpha }}-\frac{1}{5^{\alpha }}+\ldots

Задача 2.15.15

Найти все значения α\alpha и β\beta, при которых ряд абсолютно сходится (а) или условно сходится (б):

?
(1)

∑n=1∞(−1)n−1(1+α)(2+α)…(n+α)nβn!\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1} \frac{(1+\alpha )(2+\alpha ) \ldots (n+\alpha )}{n^{\beta } n !};

(2)

11α−12β+13α−14β+15α−16β+…\frac{1}{1^{\alpha }}-\frac{1}{2^{\beta }}+\frac{1}{3^{\alpha }}-\frac{1}{4^{\beta }}+\frac{1}{5^{\alpha }}-\frac{1}{6^{\beta }}+\ldots;

(3)

1−22β+13α+14α−25β+16α+17α−28β+19α+…1-\frac{2}{2^{\beta }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\frac{1}{4^{\alpha }}-\frac{2}{5^{\beta }}+\frac{1}{6^{\alpha }}+\frac{1}{7^{\alpha }}-\frac{2}{8^{\beta }}+\frac{1}{9^{\alpha }}+\ldots.

Задача 2.15.16

Доказать, что ряды ∑n=1∞sin⁡(xn)nα\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin (x \sqrt{n})}{n^{\alpha }} и ∑n=1∞cos⁡(xn)nα\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos (x \sqrt{n})}{n^{\alpha }}, где x≠0x \neq 0, сходятся при α>1/2\alpha > 1 / 2 и расходятся при α<1/2\alpha < 1 / 2.

?
Задача 2.15.17

Показать, что ряд

1+13−12+15+17−14+19+111−16+… 1+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{11}}-\frac{1}{\sqrt{6}}+\ldots

полученный из сходящегося ряда ∑n=1∞(−1)n−1n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} перестановкой его членов, расходится.

?
Задача 2.15.18

Из гармонического ряда ∑n=1∞1n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n} выброшены все члены, номера которых содержат цифру 9. Доказать, что полученный ряд будет сходящимся, а его сумма меньше 20.

?
Задача 2.15.19

Пользуясь одним из равенств

1−12+13−14+…+12n−1−12n=1n+1+1n+2+…+12n1+12+13+…+1n=C+ln⁡n+εn \begin{gathered} 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2 n} \\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n} = C+\ln n+\varepsilon _{n}\end{gathered}

где εn→0\varepsilon_{n} \rightarrow 0 при n→∞n \rightarrow \infty (см. задачу 16)), доказать, что

∑n=1∞(−1)n−1n=ln⁡2 \sum _{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2
?
Задача 2.15.20

Пользуясь тем, что сумма ряда ∑n=1∞(−1)n−1n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n} равна ln⁡2\ln 2, найти суммы следующих рядов, полученных из данного перестановкой его членов:

?
(1)

1+13−12+15+17−14+19+111−16+…1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\ldots;

(2)

1−12−14+13−16−18+15−…1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\ldots;

(3)

1−12−14−16−18+13−110−112−114−116+15−…1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{3}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}-\frac{1}{14}-\frac{1}{16}+\frac{1}{5}-\ldots

Задача 2.15.21

Доказать, что если члены ряда ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n} переставить так, что каждую группу pp последовательных его положительных членов сменяет группа mm последовательных отрицательных членов, то сумма полученного ряда будет равна

ln⁡2+12ln⁡pm \ln 2+\frac{1}{2} \ln \frac{p}{m}
?
Задача 2.15.22

Пусть ряд ∑n=1∞un\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n} получен из ряда ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n} перестановкой его членов так, что члены одного знака расположены в новом ряду в порядке убывания их модулей, а отношение числа положительных слагаемых суммы ∑k=1nuk\sum_{k = 1}^{n} u_{k} к числу отрицательных слагаемых этой суммы имеет при n→∞n \rightarrow \infty предел, равный λ\lambda. Доказать, что

∑n=1∞un=ln⁡4λ \sum _{n = 1}^{\infty } u_{n} = \ln \sqrt{4 \lambda }
?
Задача 2.15.23

Доказать, что гармонический ряд ∑n=1∞1n\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n} останется расходящимся, если, не переставляя его членов, изменить знаки этих членов так, чтобы за каждой группой из pp положительных членов следовала группа mm отрицательных членов, где p≠mp \neq m. Показать, что при p=mp = m полученный ряд будет сходящимся.

?
Задача 2.15.24

Пусть α>0\alpha > 0 и SS — сумма ряда ∑n=1∞(−1)n−1nα\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha }}. Доказать, что 1/2<S<11 / 2 < S < 1.

?
Задача 2.15.25

Пусть an>0(n∈N)a_{n} > 0(n \in N) и lim⁡n→∞an=0\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = 0. Следует ли отсюда, что знакочередующийся ряд ∑n=1∞(−1)n−1an\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1} a_{n} сходится?

?
Задача 2.15.26

Пусть ряд ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} сходится и lim⁡n→∞bnan=1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}} = 1. Следует ли отсюда, что ряд ∑n=1∞bn\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n} также сходится?

?
Задача 2.15.27

Пусть ряды ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} и ∑n=1∞bn\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n} сходятся и при всех n⩾n0n \geqslant n_{0} выполняются неравенства

an⩽cn⩽bn a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}

Доказать, что ряд ∑n=1∞cn\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n} сходится.

?
Задача 2.15.28

Доказать, что ряд ∑n=1∞(−1)n−1an\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1} a_{n}, где an>0(n∈N)a_{n} > 0(n \in N), сходится, если существует число α>0\alpha > 0 такое, что

anan+1=1+αn+o(1n),n→∞ \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = 1+\frac{\alpha }{n}+o\left(\frac{1}{n}\right), \quad n \rightarrow \infty
?
Задача 2.15.29

Показать, что сумма не абсолютно сходящегося ряда не изменится, если члены этого ряда переставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения более, чем на mm мест, где mm — заданное число.

?
Задача 2.15.30

Показать, что члены не абсолютно сходящегося ряда можно без перестановки сгруппировать так, что полученный ряд будет абсолютно сходящимся.

?
Задача 2.15.31

Доказать, что ряд ∑n=1∞anbn\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} b_{n} сходится, если выполняются следующие условия:

?
(1)

ряд ∑n=1∞bn\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n} сходится;

(2)

ряд ∑n=1∞(an−an+1)\sum_{n = 1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n+1}\right) абсолютно сходится.

Задача 2.15.32

Доказать, что ряд ∑n=1∞anbn\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} b_{n} сходится, если выполняются следующие условия:

?
(1)

частичные суммы ряда ∑n=1∞bn\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n} ограничены, т. е. существует число M>0M > 0 такое, что для всех n∈Nn \in N выполняется неравенство ∣∑k=1nbk∣⩽M\left|\sum_{k = 1}^{n} b_{k}\right| \leqslant M;

(2)

ряд ∑n=1∞(an−an+1)\sum_{n = 1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n+1}\right) абсолютно сходится;

(3)

lim⁡n→∞an=0\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = 0.

Задача 2.15.33

Пусть заданы числовая последовательность {an}\left\{ a_{n}\right\} и строго возрастающая последовательность натуральных чисел {pk}\left\{ p_{k}\right\} такая, что

pk−pk−1<c p_{k}-p_{k-1} < c

cc — заданное число, k∈Nk \in N. Обозначим

A1=∑j=1p1aj,A2=∑j=p1+1p2aj,…,Ak=∑j=pk−1+1pkaj(k⩾2). A_{1} = \sum _{j = 1}^{p_{1}} a_{j}, \quad A_{2} = \sum _{j = p_{1}+1}^{p_{2}} a_{j}, \quad \ldots , \quad A_{k} = \sum _{j = p_{k-1}+1}^{p_{k}} a_{j} \quad (k \geqslant 2).

Доказать, что если lim⁡n→∞an=0\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = 0 и ряд ∑k=1∞Ak\sum_{k = 1}^{\infty } A_{k} сходится, то ряд ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} также сходится.

?
Задача 2.15.34

Пусть ряд ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} сходится условно. Обозначим

αn=∣an∣+an2,βn=∣an∣−an2;An=∑k=1nαk,Bn=∑k=1nβk\alpha_{n} = \frac{\left|a_{n}\right|+a_{n}}{2}, \quad \beta_{n} = \frac{\left|a_{n}\right|-a_{n}}{2} ; \quad A_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \alpha_{k}, \quad B_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \beta_{k}.

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞αn=lim⁡n→∞βn=0\lim_{n \rightarrow \infty } \alpha_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } \beta_{n} = 0;

(2)

ряды ∑n=1∞αn\sum_{n = 1}^{\infty } \alpha_{n} и ∑n=1∞βn\sum_{n = 1}^{\infty } \beta_{n} расходятся;

(3)

lim⁡n→∞AnBn=1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{A_{n}}{B_{n}} = 1.

Задача 2.15.35

Пусть ряд ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} сходится условно. Доказать, что можно так переставить члены этого ряда, что для полученного ряда ∑n=1∞a~n\sum_{n = 1}^{\infty } \tilde{a}_{n} будет

lim⁡n→∞∑k=1na~k=+∞ \lim _{n \rightarrow \infty } \sum _{k = 1}^{n} \tilde{a}_{k} = +\infty
?
Задача 2.15.36

Пусть Sn=∑k=1nsin⁡kk,AnS_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sin k}{k}, A_{n} и BnB_{n} — суммы соответственно всех положительных и отрицательных слагаемых, содержащихся в SnS_{n}. Доказать, что

lim⁡n→∞BnAn=−1 \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{B_{n}}{A_{n}} = -1
?