Банк задач по математике

Задача 1.23.1

Решить графически уравнение, указав для каждого корня интервал изоляции, длина которого не превосходит 0,5 :

?

(1)

$x^{3}-6 x+2 = 0$ ;

(2)

$x^{4}-4 x-1 = 0$ ;

(3)

$x^{3}+2 x+7,8 = 0$ ;

(4)

$x^{3}-1,75 x+0,75 = 0$ ;

(5)

$2 x^{3}-x^{2}-x-3 = 0$ ;

(6)

$x^{3}+x^{2}-5 x-12 = 0$ ;

(7)

$x^{3}-0,2 x^{2}-0,2 x-1,2 = 0$ ;

(8)

$0,3 x^{4}-0,7 x^{3}-0,3 x^{2}-2 = 0$ .

Задача 1.23.2

Решить графически уравнение, указав для каждого корня интервал изоляции, длина которого не превосходит 0,1 :

?

(1)

$2 x^{3}+x+1 = 0$ ;

(2)

$x^{4}-x-1 = 0$ ;

(3)

$x+e^{x} = 0$ ;

(4)

$x-\sin x-1 = 0$ ;

(5)

$x = \operatorname {ctg} x, x \in (0 ; \pi )$ ;

(6)

$x^{2}-\cos x = 0$ ;

(7)

$4 x-5 \ln x = 5$ ;

(8)

$x^{x} = 10$ .

Задача 1.23.3

Доказать, что с помощью сдвига вдоль оси $O x$ или сжатия (растяжения) вдоль оси $O x$ уравнение

a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n} = 0, \quad a_{0} \neq 0

можно привести к виду

b_{0} t^{n}+b_{2} t^{n-2}+\ldots +b_{n-1} t+b_{n} = 0

или к виду

c_{0} z^{n}+c_{1} z^{n-1}+\ldots +c_{n} = 0

где $\left|c_{0}\right| = \left|c_{n}\right|$ .

?

Задача 1.23.4

(1)(2)(3)

Пусть коэффициенты многочлена

P_{n}(x) = a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n}, \quad a_{0} \neq 0

удовлетворяют равенствам $a_{i} = a_{n-i}(i = 0,1, \ldots , n)$ . Доказать, что:

?

(1)

если $n$ нечетно, то $x = -1$ — корень многочлена и коэффициенты частного

Q_{n-1} = b_{0} x^{n-1}+b_{1} x^{n-2}+\ldots +b_{n-2} x+b_{n-1}

от деления $P_{n}(x)$ на $x+1$ удовлетворяют равенствам $b_{i} = b_{n-1-i} (i = 0,1, \ldots , n-1)$ ;

(2)

если $n$ четно, то замена $z = x+1 / x$ приводит уравнение $P_{n}(x) = 0$ к уравнению степени $n / 2$ и к $n / 2$ квадратным уравнениям;

(3)

если $n$ четно, то замена

z = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}

также приводит уравнение $P_{n}(x) = 0$ к уравнению степени $n / 2$ и к $n / 2$ квадратным уравнениям.

Задача 1.23.5

(1)(2)(3)

Пусть функция $f$ определена, дважды непрерывно дифференцируема на $\mathbb {R}$ и $f^{\prime \prime }$ не меняет знака на $\mathbb {R}$ . Доказать, что:

?

(1)

уравнение $f(x) = 0$ не может иметь более двух действительных корней;

(2)

если $f\left(x_{0}\right) f^{\prime }\left(x_{0}\right) < 0, f\left(x_{0}\right) f^{\prime \prime }\left(x_{0}\right) < 0$ , то уравнение $f(x) = 0$ имеет единственный корень в интервале $(x_{0} ; x_{0}-f\left(x_{0}\right) / f^{\prime }\left(x_{0}\right))$ ;

(3)

если $f^{\prime }\left(x_{0}\right) = 0, f\left(x_{0}\right) f^{\prime \prime }\left(x_{0}\right) < 0$ , то уравнение $f(x) = 0$ имеет по одному корню в интервалах $\left(-\infty ; x_{0}\right),\left(x_{0} ;+\infty \right)$ .

Задача 1.23.6

(1)(2)(3)

?

(1)

Пусть функция $f$ непрерывна на $[a ;+\infty )$ , дифференцируема на $(a ;+\infty ), f(a) < 0, f^{\prime }(x) \geqslant m > 0$ на $(a ;+\infty )$ . Доказать, что уравнение $f(x) = 0$ имеет и притом только один действительный корень на $(a ;+\infty )$ ;

(2)

привести пример, который показывал бы, что условие " $f(x) \geqslant m > 0$ на $(a ;+\infty )$ " нельзя заменить условием " $f^{\prime }(x) > 0$ ";

(3)

доказать, что при условиях 1) корень уравнения принадлежит промежутку $(a ; a-f(a) / m]$ .

Задача 1.23.7

(1)(2)

Корень $\xi$ уравнения $f(x) = 0$ называют $p$ -кратным $(p \in \mathbb {N})$ , если $f(x) = (x-\xi )^{p} \varphi (x)$ , где $\varphi (\xi ) \neq 0$ . Однократный корень называют простым. Доказать, что:

?

(1)

если $f$ дифференцируема в окрестности $p$ -кратного $(p \geqslant 2)$ корня $\xi$ уравнения $f(x) = 0$ , то $\xi$ является $(p-1)$ -кратным корнем уравнения $f(x) = 0$ ;

(2)

если $a^{2}-3 b < 0$ , то уравнение $x^{3}+a x^{2}+b x+c = 0$ имеет один простой действительный корень.

Задача 1.23.8

Доказать, что многочлен

x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\ldots +a_{n-1} x-a_{n}

где $a_{i} \geqslant 0(i = 1,2, \ldots , n-1), a_{n} > 0$ , имеет только один положительный корень, причем этот корень простой и не превосходит $\sqrt[n]{a_{n}}$ .

?

Задача 1.23.9

Доказать, что все корни производной многочлена

P_{4}(x) = (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)

действительны, и найти их интервалы изоляции, длина которых не более чем 0,5.

?

Задача 1.23.10

Доказать, что многочлен

a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n}, \quad a_{0} \neq 0

имеет по крайней мере один корень на интервале $(0 ; 1)$ , если

a_{0} /(n+1)+a_{1} / n+\ldots +a_{n-1} / 2+a_{n} = 0

?

Задача 1.23.11

Расположим по возрастанию номеров коэффициенты $a_{0}, a_{1}, \ldots$ ... $a_{n}$ , многочлена

P_{n}(x) = a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n}

пропуская коэффициенты, равные нулю. Числом перемен знака получившегося упорядоченного набора называют число пар соседних элементов, имеющих разные знаки.

Доказать, что число положительных корней многочлена не больше числа перемен знака в наборе его коэффициентов, не равных нулю.

?

Задача 1.23.12

(1)(2)

Доказать, что многочлен:

?

(1)

$x^{5}-2 x^{4}-x^{2}-5 = 0$ имеет и притом единственный действительный корень; указать для этого корня интервал изоляции, длина которого не более чем 0,1 ;

(2)

$x^{6}+2 x^{4}+x-3 = 0$ имеет и притом только два действительных корня; указать для этих корней интервалы изоляции, длина которых не более чем 0,1.

Задача 1.23.13

(1)(2)

Доказать, что все корни уравнения

a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n} = 0, \quad a_{0} \neq 0:

?

(1)

удовлетворяют неравенству $\left|\xi \right| < 1+M_{1} /\left|a_{0}\right|$ , где

M_{1} = \max \left\{ \left|a_{1}\right|,\left|a_{2}\right|, \ldots ,\left|a_{n}\right|\right\}

(2)

при $a_{n} \neq 0$ удовлетворяют неравенству $\left|\xi \right| > \left(1+M_{2} /\left|a_{n}\right|\right)^{-1}$ , где

M_{2} = \max \left\{ \left|a_{0}\right|,\left|a_{1}\right|, \ldots ,\left|a_{n-1}\right|\right\}

Задача 1.23.14

Пусть в уравнении

a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n} = 0, \quad a_{0} > 0

$a_{k}(k \geqslant 1)$ — отрицательный коэффициент с наименьшим номером, $A$ — наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Доказать, что все действительные корни этого уравнения удовлетворяют неравенству

\xi < 1+\sqrt[k]{A / a_{0}}

(теорема Лагранжа).

?

Задача 1.23.15

Пусть для многочлена

P_{n}(x) = a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n}

существует такое число $c > 0$ , что

P_{n}^{(k)}(c) \geqslant 0 \quad (k = 0,1, \ldots , n)

и пусть $a_{0} > 0$ . Доказать, что все действительные корни этого многочлена удовлетворяют неравенству $\xi \leqslant c$ (теорема Ньютона).

?

Задача 1.23.16

Пусть многочлен $P_{n}(x)$ представлен в виде

P_{n}(x) = Q(x)+R(x)

где $Q(x)$ содержит старший по степени член многочлена $P_{n}(x)$ с положительным коэффициентом и все члены с отрицательными коэффициентами, а $R(x)$ содержит все остальные члены $P_{n}(x)$ . Доказать, что если $Q(c) > 0$ при некотором $c > 0$ , то все действительные корни $P_{n}(x)$ меньше $c$ .

?

Задача 1.23.17

(1)(2)

Доказать, что уравнение $P(x) = 0$ не имеет отрицательных корней, и, пользуясь результатами задач $13-16$ , указать отрезок $[a ; b]$ , $0 < a < b$ , содержащий все положительные корни, если:

?

(1)

$P(x) = 2 x^{5}-100 x^{2}+2 x-1$ ;

(2)

$P(x) = x^{4}-35 x^{3}+380 x^{2}-1350 x+1000$ .

Задача 1.23.18

Указать отрезки $\left[a_{1} ; b_{1}\right], a_{1} < b_{1} < 0$ , и $\left[a_{2} ; b_{2}\right], 0 < a_{2} < b_{2}$ , содержащие соответственно все отрицательные и все положительные корни уравнения $3 x^{5}+7 x^{4}-8 x^{3}+5 x^{2}-2 x-1 = 0$ . Для положительных корней указать интервалы изоляции, длины которых не превосходят 0,5.

?

Задача 1.23.19

Доказать, что уравнение $x^{5}+x^{4}+x^{2}+10 x-5 = 0$ имеет единственный корень, и указать интервал его изоляции, длина которого не превосходит 0,1.

?

Задача 1.23.20

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что если $4 p^{3}+27 q^{2} > 0$ , то уравнение $x^{3}+p x + q = 0, p, q \in \mathbb {R}$ , имеет один действительный корень, а если $4 p^{3} + 27 q^{2} < 0$ , то это уравнение имеет три действительных корня;

(2)

при каком условии на $a, b, c$ все корни уравнения $x^{3}+a x^{2} + b x+c = 0$ действительны?

Задача 1.23.21

При каком условии на $p$ и $q$ все корни уравнения $x^{5}-5 p x^{2} + 5 p^{2} x+2 q = 0$ действительны?

?

Задача 1.23.22

При каком условии на $p$ и $q$ все корни уравнения $x^{m}+p x^{n} + q = 0$ , где $m > n > 0, m, n \in \mathbb {N}, q \neq 0, p \neq 0$ , действительны?

?

Задача 1.23.23

(1)(2)

Доказать, что уравнение

x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n-1}+\ldots +a_{n} x = a_{0}

где $a_{i} \in \mathbb {R}(i = 0,1, \ldots , n)$ :

?

(1)

имеет хотя бы один корень в интервале $(-2 ; 2)$ , если $\left|a_{0}\right| < 2$ ;

(2)

имеет корень в интервале $(-2 l ; 2 l)$ , где $l = \left(\left|a_{0}\right| / 2\right)^{1 /(2 n+1)}$ (теорема Чебышева).

Задача 1.23.24

(1)(2)

Указать в зависимости от значений $a \in \mathbb {R}$ количество действительных корней уравнения:

?

(1)

$x^{4}-4 a x^{3}-2 = 0$ ;

(2)

$2 x^{3}-3 a x^{2}+1 = 0$ .

Задача 1.23.25

(1)(2)(3)(4)

Найти все значения $a \in \mathbb {R}$ , при которых уравнение имеет указанное число действительных корней:

?

(1)

$2 x^{3}+13 x^{2}-20 x+a = 0$ , один корень;

(2)

$3 x^{3}+1,5 x^{2}-12 x+a = 0$ , один двукратный корень и один простой;

(3)

$3 x^{4}+8 x^{3}+a = 0$ , два простых корня;

(4)

$9 x^{4}+14 x^{3}-15 x^{2}+a = 0$ , четыре различных корня.

Задача 1.23.26

Доказать, что уравнение $2 e^{x}+x^{2}+18 x-6 = 0$ имеет единственный положительный корень; указать его интервал изоляции, длина которого не превосходит 0,2.

?

Задача 1.23.27

Указать в зависимости от значений а число корней уравнения:

?

(1)

$\ln x+a x = 0$

(2)

$x \ln x = a$ ;

(3)

$e^{x} = a x^{2}$

(4)

$\operatorname {ch} x = a x$ ;

(5)

$\cos^{3} x \sin x = a ; x \in [0 ; \pi ]$ .

Задача 1.23.28

(1)(2)(3)(4)

Указать все значения $a \in \mathbb {R}$ , при которых уравнение имеет указанное число действительных корней:

?

(1)

$e^{x} = a+x-x^{2}$ , два различных корня;

(2)

$x^{2}+x-\ln x+a = 0$ , один двукратный корень;

(3)

$x^{2} = a \ln x$ , два различных корня;

(4)

$6 \operatorname {arctg} x-x^{3}+a = 0$ , три различных корня.

Задача 1.23.29

(1)(2)

Дано уравнение $\ln x-a-b x = 0$ :

?

(1)

доказать, что это уравнение не может иметь более двух корней;

(2)

указать на координатной плоскости множества точек $(a ; b)$ , для которых число корней данного уравнения равно: $0,1,2$ .

Задача 1.23.30

(1)(2)

Дано уравнение $e^{x}-a-b x^{3} = 0$ :

?

(1)

доказать, что это уравнение не может иметь более четырех корней;

(2)

указать на координатной плоскости множества точек $(a ; b)$ , для которых число корней уравнения равно: $0,1,2,3,4$ .

Задача 1.23.31

(1)(2)(3)(4)

Пусть $a > 1$ . Доказать, что уравнение $a^{x} = b x$ :

?

(1)

имеет два действительных корня при $b > e \ln a$ ;

(2)

имеет один двукратный действительный корень при $b = e \ln a$ ;

(3)

не имеет действительных корней при $0 \leqslant b < e \ln a$ ;

(4)

имеет один простой корень при $b < 0$ .

Задача 1.23.32

Указать количество корней уравнения $x^{n} = a e^{x}, \quad n \in \mathbb {N}$ , в зависимости от $a \in \mathbb {R}$ .

?

Задача 1.23.33

Отделить действительные корни уравнения, указав интервалы изоляции, длины которых не превосходят единицы:

?

(1)

$x^{3}+2 x-7 = 0$ ;

(2)

$x^{3}-27 x-17 = 0$

(3)

$x^{3}-6 x^{2}+9 x-10 = 0$ ;

(4)

$x^{4}-2 x^{3}-5 x^{2}+2 x+2 = 0$ ;

(5)

$x^{4}-4 x^{3}-3 x+23 = 0$

(6)

$x^{4}+6 x^{3}-2 x^{2}+1 = 0$

(7)

$x^{5}-10 x^{3}+6 x+1 = 0$ ;

(8)

$x^{5}+5 x^{3}-7 x+2 = 0$

(9)

$x^{5}+7 x^{3}-5 x+11 = 0$

(10)

$x^{5}-2 x^{4}-5 x^{3}+19 x^{2}-17 x+1 = 0$ .

Задача 1.23.34

Отделить корни уравнения $\frac{p^{2}}{a^{2}+x}+\frac{q^{2}}{b^{2}+x}+\frac{r^{2}}{c^{2}+x} = 1$ , где $p, q, r, a, b, c \in \mathbb {R}, a^{2} > b^{2} > c^{2}, \quad p q r \neq 0$ .

?

Задача 1.23.35

Отделить действительные корни уравнения, указав для каждого корня интервал изоляции, длина которого не превосходит 0,1 :

?

(1)

$x-\sin 2 x = 0$

(2)

$x = 4 \cos x$

(3)

$e^{x}-x-5 / 4 = 0$

(4)

$2 x^{2}-e^{x+1} = 0$

(5)

$x+\ln (x+2) = 0$ .

Задача 1.23.36

Методом деления пополам решить уравнение с указанной погрешностью $\Delta$ :

?

(1)

$x^{4}+x-10 = 0, \Delta = 10^{-2}$ ;

(2)

$x^{3}-12 x-8 = 0, \Delta = 10^{-2}$

(3)

$x^{3}+x^{2}-5 x-12 = 0, \Delta = 10^{-2}$

(4)

$x^{4}+2 x^{3}+6 x^{2}-1 = 0, \Delta = 10^{-3}$

(5)

$x^{4}-2 x^{3}+x-1 = 0, \Delta = 10^{-3}$ ;

(6)

$(x-1)^{2}-2 \sin x = 0, \Delta = 10^{-2}$ ;

(7)

$e^{x} = 2(1-x)^{2}, \Delta = 10^{-2}$ ;

(8)

$10(x-1) = \sin x, \Delta = 10^{-3}$ ;

(9)

$10 \ln x = x^{3}-3, \Delta = 10^{-3}$ ;

(10)

$x e^{x} = 1, \Delta = 10^{-3}$ .

Задача 1.23.37

Шар радиуса 1 м с удельной плотностью 0,75 плавает в воде. Вычислить высоту выступающей из воды части шара с погрешностью $0,05 \mathrm{мм}$ .

?

Задача 1.23.38

Используя графики гипербол $x y = y+1$ и $x^{2}-y^{2} = 1$ и метод деления пополам, вычислить с погрешностью 0,01 координаты точек пересечения этих гипербол.

?

Задача 1.23.39

(1)(2)

?

(1)

Привести пример уравнения $f(x) = 0$ с корнем $\xi$ и его приближенным значением $x^{*}$ так, чтобы были выполнены неравенства

f^{\prime }(x) > 0 \text{ и }\left|x^{*}-\xi \right| \geqslant 10^{3}, \quad \left|f\left(x^{*}\right)\right| \leqslant 10^{-3},

т. е. удостовериться в том, что из "близости" $f\left(x^{*}\right)$ к нулю не следует “близость" $x^{*}$ к корню $\xi$ ;

(2)

привести пример уравнения $f(x) = 0$ с корнем $\xi$ и его приближенным значением $x^{*}$ так, чтобы выполнялись неравенства

f^{\prime }(x) > 0 \text{ и }\left|x^{*}-\xi \right| \leqslant 10^{-3}, \quad \left|f\left(x^{*}\right)\right| \geqslant 10^{3},

т. е. удостовериться в том, что из "близости" приближенного значения $x^{*}$ к корню $\xi$ не следует "близость" $f\left(x^{*}\right)$ к нулю.

Задача 1.23.40

(1)(2)(3)

Уравнение

3 x^{4}-16 x^{3}+192 = 0

при $x > 0$ равносильно каждому из следующих уравнений: а) $x = 2 \sqrt[4]{\frac{x^{3}-12}{3}}$ ; б) $x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{3}{2}\left(x^{4}+64\right)}$ ; в) $x = \frac{16}{3}\left(1-\frac{12}{x^{3}}\right)$ ; г) $x = \frac{3}{2}\left(\frac{x^{2}}{8}+\frac{8}{x^{2}}\right)$ .

?

(1)

Доказать, что уравнение (29) имеет два положительных корня, и отделить их;

(2)

указать из уравнений а)-г) то, для которого итерации наиболее быстро сходятся к меньшему положительному корню уравнения (29); вычислить этот корень с точностью до $10^{-3}$ ;

(3)

выполнить для большего корня уравнения (29) задание, аналогичное 2).

Задача 1.23.41

Методом итераций найти действительные корни уравнения с указанной погрешностью $\Delta$ :

?

(1)

$x^{3}+x = 1000, \Delta = 10^{-4}$

(2)

$x^{3}-3 x^{2}+8 x+10 = 0, \Delta = 10^{-5}$ ;

(3)

$x^{5}+5 x+1 = 0, \Delta = 10^{-5}$

(4)

$10 x = e^{-x}, \Delta = 5 \cdot 10^{-4}$ ;

(5)

$4^{x} = 8 x, \Delta = 10^{-5}$

(6)

$4 e^{x} = 5(x+1), \Delta = 10^{-4}$ ;

(7)

$x^{3}-2 x-5 = 0, \Delta = 10^{-10}$ ;

(8)

$\sin x = 2 x-0,5, \Delta = 5 \cdot 10^{-5}$ ;

(9)

$x-\sin x = 0,25, \Delta = 10^{-3}$ .

Задача 1.23.42

(1)(2)

Выяснить, при каких значениях:

?

(1)

$a > 0$ уравнение $x = a^{x}$ имеет решение;

(2)

a сходится итерационная последовательность $x_{0} = a, x_{n} = a^{x_{n-1}}, n \in \mathbb {N}$ .

Задача 1.23.43

(1)(2)

Найти с четырьмя верными знаками после запятой:

?

(1)

наименьший положительный корень уравнения $x \sin x+1 = 0$ ;

(2)

два положительных корня — наименьший и ближайший к нему — уравнения $\cos x \operatorname {ch} x = 1$ .

Задача 1.23.44

Решить с погрешностью не более чем $10^{-4}$ уравнение $4 x -5 \ln x = 5$ , выбрав для каждого корня сходящийся итерационный процесс.

?

Задача 1.23.45

Решить методом хорд уравнение с указанной погрешностью $\Delta$ :

?

(1)

$x^{3}-4 x+2 = 0, \Delta = 10^{-3}$ ;

(2)

$x^{4}+x-1 = 0, \Delta = 10^{-3}$ ;

(3)

$x^{3}-3,2 x^{2}+3,1 x-2,2 = 0, \Delta = 10^{-3}$ ;

(4)

$0,1 \sin x = x+2, \Delta = 10^{-3} ;$

(5)

$\cos x = x^{2}, \Delta = 10^{-3}$ ;

(6)

$x^{3}-5 x+1 = 0, \Delta = 10^{-5}$ .

Задача 1.23.46

(1)(2)(3)

Методом хорд и методом касательных решить уравнение с указанной погрешностью $\Delta$ :

?

(1)

$x^{2} = 13, \Delta = 10^{-8}$ ;

(2)

$2 x^{3}+2 x^{2}-11 x+3 = 0, \Delta = 10^{-6}$ ;

(3)

$x^{3}+x^{2}+2 x-3 = 0, \Delta = 5 \cdot 10^{-5}$ .

Задача 1.23.47

Методом касательных решить уравнение с указанной погрешностью $\Delta$ :

?

(1)

$x^{3}-2 x-2 = 0, \Delta = 5 \cdot 10^{-5}$ ;

(2)

$x^{3}+x-3 = 0, \Delta = 5 \cdot 10^{-5}$ ;

(3)

$2 x^{3}-7 x^{2}+x+9 = 0, \Delta = 10^{-3}$

(4)

$x^{2}+1 / x^{2} = 10 x, \Delta = 10^{-3} ;$

(5)

$x = \cos x, \Delta = 10^{-6}$ ;

(6)

$x \lg x = 1, \Delta = 10^{-4}$ ;

(7)

$x+e^{x} = 1, \Delta = 10^{-5}$ ;

(8)

$x \operatorname {th} x = 1, \Delta = 10^{-6}$ ;

(9)

$\operatorname {tg} x = x, \Delta = 5 \cdot 10^{-5}$ (наименьший положительный корень);

(10)

$\operatorname {ctg} x = 1 / x-x / 2, \Delta = 10^{-3}$ (найти только два положительных корня — наименьший и ближайший к нему).

Задача 1.23.48

Методом касательных вычислить отрицательный корень уравнения $x^{4}-3 x^{2}+75 x-10000 = 0$ с тремя верными знаками после запятой.

?

Задача 1.23.49

Найти с четырьмя верными знаками чисто мнимые корни уравнения $z \sin z+1 = 0$ .

?

Задача 1.23.50

(1)(2)(3)

Решить уравнение $x^{3}+1,1 x^{2}+0,9 x-1,4 = 0$ :

?

(1)

методом деления пополам с точностью $5 \cdot 10^{-3}$ ;

(2)

методом хорд с точностью $5 \cdot 10^{-4}$ ;

(3)

методом касательных с точностью $5 \cdot 10^{-4}$ .

Задача 1.23.51

К какому из корней уравнения $x^{3}-x = 0$ сходится последовательность, построенная по методу касательных, в зависимости от выбора начального приближения $x_{0} \in \mathbb {R}$ ?

?

Задача 1.23.52

Доказать, что для уравнения $\sqrt{\left|x\right|} \operatorname {sign} x = 0$ метод касательных не сходится.

?

Задача 1.23.53

Проверить, что для функции $f(x) = \frac{\ln 2}{\pi } \sin \left(2 \pi \frac{\ln x}{\ln 2}\right)+1$ последовательность, построенная по методу касательных, начиная с $x_{0} = 1$ , сходится к числу, не являющемуся корнем уравнения $f(x) = 0$ .

?

Задача 1.23.54

Используя метод касательных, построить итерационный процесс 2 -го порядка для вычисления $\sqrt{a}$ .

?

Задача 1.23.55

Доказать, что если $x_{0} > 0, x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)$ , то

x_{n+1}-\frac{1}{8 m}\left(x_{n}-\frac{a}{x_{n}}\right)^{2} \leqslant \sqrt{a} \leqslant x_{n+1}

где $m = \min \left\{ x_{n}, a / x_{n}\right\}$ .

?

Задача 1.23.56

Доказать, что если $\xi$ — двукратный корень уравнения $f(x) = 0$ , то для его нахождения можно использовать итерационный процесс

x_{n+1} = x_{n}-2 f\left(x_{n}\right) / f^{\prime }\left(x_{n}\right)

(модифицированный метод Ньютона). Указать достаточные условия сходимости последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ к корню $\xi$ .

?

Задача 1.23.57

Какую точность дает двукратное применение комбинированного метода при вычислении корня уравнения $x^{4}-x-1 = 0$ начиная с интервала $(1,22 ; 1,23)$ ?

?

Задача 1.23.58

(1)(2)(3)(4)

Решить уравнение $x^{3}-4,1 x^{2}+6,1 x-1,6 = 0$ :

?

(1)

методом деления пополам с точностью $5 \cdot 10^{-3}$ ;

(2)

методом хорд с точностью $5 \cdot 10^{-4}$ ;

(3)

методом касательных с точностью $5 \cdot 10^{-4}$ ;

(4)

комбинированным методом с точностью $5 \cdot 10^{-4}$ .

Задача 1.23.59

Вычислить комбинированным методом наибольший корень уравнения $x^{5}-x-0,2 = 0$ с точностью $10^{-4}$ .

?

Задача 1.23.60

Вычислить комбинированным методом корни уравнения

x^{4}-3 x^{2}+75 x-10000 = 0

из интервалов $(-11 ;-10)$ и $(9 ; 10)$ с точностью $10^{-4}$ .

?

Задача 1.23.61

Вычислить наименьший положительный корень уравнения с точностью $10^{-6}$ .

x \sin x = 0,5

?

Задача 1.23.62

(1)(2)

Решить комбинированным методом с указанной погрешностью $\Delta$ уравнение:

?

(1)

$2 x^{2}-e^{1-x} = 0, \Delta = 10^{-5}$ ;

(2)

$2-x-\lg x = 0, \Delta = 10^{-6}$ .

Задача 1.23.63

Доказать, что метод Ньютона (метод касательных) имеет второй порядок.

?

Задача 1.23.64

Доказать, что итерационная формула $x_{n+1} = \frac{x_{n}^{3}+2 a x_{n}}{3 x_{n}^{2}+a}$ для решения уравнения $x^{2} = a, a > 0$ , имеет третий порядок.

?

Задача 1.23.65

(1)(2)

Используя разложение функции по формуле Тейлора до второго порядка, получить итерационную формулу для решения уравнения $f(x) = 0$ и доказать, что она имеет третий порядок:

?

(1)

$x_{n+1} = x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right) f^{\prime }\left(x_{n}\right)}{\left(f^{\prime }\left(x_{n}\right)\right)^{2}-f\left(x_{n}\right) f^{\prime \prime }\left(x_{n}\right) / 2}$ ;

(2)

$x_{n+1} = x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime }\left(x_{n}\right)}-\frac{f^{2}\left(x_{n}\right) f^{\prime \prime }\left(x_{n}\right)}{2\left(f^{\prime }\left(x_{n}\right)\right)^{3}}$ (формула Чебышева).

Задача 1.23.66

Доказать, что наименьший положительный корень $\xi$ уравнения $\operatorname {ctg} x = \lambda -x, \quad \lambda > 2$ , удовлетворяет неравенству

\xi < \frac{2}{\lambda +\sqrt{\lambda ^{2}-4}}

?

Задача 1.23.67

(1)(2)(3)

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность положительных корней уравнения $x \sin x = 1$ . Доказать, что при $n \rightarrow \infty$ :

?

(1)

$x_{n} = \pi n+o(1)$ ;

(2)

$x_{n} = \pi n+(-1)^{n} /(\pi n)+o(1 / n)$ ;

(3)

$x_{n} = \pi n+(-1)^{n} /(\pi n)-\left(1 /\left(\pi^{3} n^{3}\right)\right)\left(1-(-1)^{n} / 6\right)+o\left(1 / n^{3}\right)$ .

Задача 1.23.68

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность положительных корней уравнения $\operatorname {tg} x = 1 /\left(1+x^{2}\right)$ . Доказать, что при $n \rightarrow \infty$

x_{n} = \pi n+1 /(\pi n)^{2}+o\left(1 / n^{2}\right).

?

Задача 1.23.69

(1)(2)(3)

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность положительных корней уравнения $\operatorname {tg} x = x$ . Доказать, что при $n \rightarrow \infty$ :

?

(1)

$x_{n} = \frac{\pi }{2}+\pi n+o(1)$ ;

(2)

$x_{n} = \frac{\pi }{2}+\pi n-\frac{1}{\pi / 2+\pi n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$ ;

(3)

$x_{n} = \frac{\pi }{2}+\pi n-\frac{1}{\pi / 2+\pi n}-\frac{2}{3(\pi / 2+\pi n)^{3}}+o\left(\frac{1}{n^{3}}\right)$ .

Численное решение уравнений