Задачи

Среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь $S$, найти прямоугольник:

Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса $R$.

Найти на гиперболе $x^{2} / 2-y^{2} = 1$ точку, ближайшую к точке $(3 ; 0)$.

Найти на параболе $y = x^{2}$ точку, ближайшую к точке $A(2 ; 1 / 2)$.

Найти наибольшую площадь прямоугольника, две вершины которого лежат на осях $O x$ и $O y$ прямоугольной системы координат, третья — в точке $(0 ; 0)$, а четвертая — на параболе $y = 3-x^{2}$.

Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $A(1 ; 2)$ и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади.

Найти длину боковой стороны трапеции, имеющей наименьший периметр среди всех равнобедренных трапеций с заданной площадью $S$ и углом $\alpha$ между боковой стороной и нижним основанием.

Через точку $A(2 ; 1 / 4)$ проводятся прямые, пересекающие положительные полуоси в точках $B$ и $C$. Найти уравнение той прямой, для которой отрезок $B C$ имеет наименьшую длину.

Найти острые углы прямоугольного треугольника, имеющего наибольшую площадь среди всех треугольников, у которых сумма длин одного из катетов и гипотенузы постоянна.

Найти наименьшую длину отрезка, который делит равносторонний треугольник со стороной $a$ на две равновеликие фигуры.

Определить углы треугольника $A B C$ с наибольшей площадью, если задана длина его основания $B C$ и известно, что угол $B A C$ равен $\alpha$.

Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс

так, что стороны прямоугольника параллельны осям эллипса.

Вычислить наибольшую площадь трапеции, вписанной в полукруг радиуса $R$ так, что нижним основанием трапеции служит диаметр полукруга.

Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определить радиус полукруга, при котором площадь сечения будет наибольшей, если периметр сечения равен $p$.

Через какую точку эллипса $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1$ следует провести касательную, чтобы площадь треугольника, образованного этой касательной и положительными полуосями $O x$ и $O y$, была наименьшей?

Лист картона имеет форму прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Вырезая по углам этого прямоугольника квадраты и сгибая выступающие части крестообразной фигуры, получим открытую сверху коробку, высота которой равна стороне квадрата. Какой должна быть сторона квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

Из трех досок одинаковой ширины нужно сколотить желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

Найти высоту правильной треугольной призмы наибольшего объема, вписанной в шар радиуса $R$.

Круг радиуса $R$ разделен на два сегмента прямой $l$, отстоящей от центра круга на расстояние $h$. Среди всех прямоугольников, вписанных в меньший из этих сегментов, найти прямоугольник с наибольшей площадью.

Найти наибольший объем цилиндра, периметр осевого сечения которого равен $a$.

Вычислить наибольший объем цилиндра, полная поверхность которого равна $S$.

Консервная банка имеет цилиндрическую форму. Найти наиболее выгодные размеры банки, т. е. определить отношение диаметра основания к высоте цилиндра, имеющего при заданной полной поверхности наибольший объем.

Каким должен быть котел, состоящий из цилиндра, завершенного полусферами, со стенками заданной толщины, чтобы при данной вместимости $v$ на него пошло наименьшее количество материала?

Определить отношение радиуса основания к высоте цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.

Найти наибольшую полную поверхность цилиндра, вписанного в шар радиуса $R$.

Из всех цилиндров, вписанных в куб с ребром $a$ так, что ось каждого цилиндра совпадает с диагональю куба, а окружности оснований касаются граней куба, найти цилиндр наибольшего объема.

Найти высоту конуса наибольшего объема, вписанного в шар радиуса $R$.

Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса $R$.

В конус, радиус основания которого равен $R$, а высота $H$, вписан цилиндр наибольшего объема. Найти радиус основания и высоту этого цилиндра.

Из круглого листа жести вырезают сектор и свертывают его в коническую воронку. Каким должен быть угол сектора, чтобы воронка имела наибольший объем?

Найти наименьшую боковую поверхность конуса, имеющего объем $v$.

Найти наибольший объем конуса с данной образующей $l$.

Найти наименьший объем конуса, описанного около полушара радиуса $r$ (предполагается, что основания полушара и конуса лежат в одной плоскости и концентричны).

Рассмотрим пучок прямых, проходящих через точку $M(a ; b)$, где $a > 0, b > 0$, и пересекающих положительные полуоси $O x$ и $O y$. Найти наименьшую длину отрезка $P Q$, где $P$ и $Q$ — точки пересечения прямой пучка с положительными полуосями.

Камень брошен с заданной начальной скоростью под углом $\alpha$ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, при каком $\alpha$ дальность полета камня будет наибольшей.

Внутреннее сопротивление гальванического элемента равно $r$. При каком внешнем сопротивлении мощность тока, получаемого от этого элемента во внешней цепи, будет наибольшей?

В чашку, которая имеет форму полушара радиуса $R$, опущен однородный стержень длиной $l$, где $2 R < l \leqslant 4 R$. Найти положение равновесия стержня.

К реке, ширина которой равна $a$, под прямым углом построен канал шириной $b$. Найти наибольшую длину бревна, которое можно провести из реки в этот канал.

Чтобы уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадь, смачиваемая водой, должна быть возможно меньшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью поперечного сечения является такая, при которой ширина канала в два раза больше его высоты.

Из круглого бревна вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением. Считая, что прочность балки пропорциональна $a h^{2}$, где $a$ — основание, $h$ — высота прямоугольника, найти такое отношение $h / a$, при котором балка будет иметь наибольшую прочность.

Сосуд с вертикальной стенкой высоты $h$ стоит на горизонтальной плоскости. Из отверстия в стенке сосуда бьет струя. Определить положение отверстия, при котором дальность струи будет наибольшей, если скорость вытекающей жидкости равна $\sqrt{2 g x}$, где $x$ — глубина отверстия (закон Торричелли).

Завод $A$ нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен поселок $B$. Расстояние $A C$ от завода до железной дороги равно $a$, а расстояние $B C$ по железной дороге равно $b$. Стоимость перевозок грузов по шоссе в $k$ раз $(k > 1)$ выше стоимости перевозок по железной дороге. В какую точку $D$ отрезка $B C$ нужно провести шоссе от завода, чтобы стоимость перевозок грузов от завода $A$ к поселку $B$ была наименьшей?

На какой высоте над центром круглого стола радиуса $R$ следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей?

Светящаяся точка расположена на линии центров двух шаров и лежит вне этих шаров. При каком положении светящейся точки сумма площадей освещенных частей поверхностей шаров будет наибольшей?

Груз, лежащий на горизонтальной плоскости $P$, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу. Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью $P$, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен $k$.

Наблюдатель находится напротив картины, закрепленной на вертикальной стене. Нижний край картины расположен выше уровня глаз наблюдателя на $a$, верхний край — на $b$. На каком расстоянии от стены должен стоять наблюдатель, чтобы угол, под которым он видит картину, оказался наибольшим?

Точка $A\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ расположена внутри параболы $y^{2} = 2 p x, p > 0$, точка $B$ — на самой параболе, $F$ — ее фокус. Доказать, что длина ломаной $A B F$ будет наименьшей, если отрезок $A B$ параллелен оси параболы, а угол $F B A$ делится нормалью к параболе в точке $B$ пополам (принцип параболического зеркала).

Точки $A$ и $B$ расположены соответственно в верхней и нижней полуплоскостях прямоугольной системы $x O y$. Частица движется по ломаной $A M B$, где $M$ — точка оси $O x$. Скорости движения частицы в верхней и нижней полуплоскостях соответственно равны $v_{1}$ и $v_{2}$. Доказать, что время движения частицы будет наименьшим, если $\sin \alpha / \sin \beta = v_{1} / v_{2}$, где $\alpha , \beta$ — углы, образуемые отрезками $A M$ и $B M$ с нормалью к оси $O x$ (в оптике эти углы называют соответственно углом падения и углом отражения).