Задачи

Проверить справедливость теоремы Ролля для функции $x(x^{2}-1)$ на отрезках $[-1 ; 1]$ и $[0 ; 1]$.

На интервалах $(-1 ; 1)$ и $(1 ; 2)$ найти точки, в которых касательная к графику функции $f(x) = \left(x^{2}-1\right)(x-2)$ горизонтальна.

На интервале $(0 ; 1)$ найти такую точку $\xi$, что касательная к графику функции $y = x^{3}$ в точке $(\xi ; \xi^{3})$ будет параллельна хорде графика, соединяющей точки $(0 ; 0)$ и $(1 ; 1)$.

Доказать, что между двумя действительными корнями многочлена с действительными коэффициентами имеется корень его производной.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема $n$ раз, на отрезке $[a ; b]$ и обращается на нем в нуль в $n+1$ точках, то существует такое $\xi \in (a ; b)$, что $f^{(n)}(\xi ) = 0$.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема $n$ раз на отрезке $[a ; b], a = x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{k} = b, x_{i} \in [a ; b], n_{i}$ — натуральные числа, $n_{1}+\ldots +n_{k} = n-1$ и $f^{(j_{i})}(x_{i}) = 0, j_{i} = 0,1, \ldots , n_{i}-1$, $i = 1,2, \ldots , k$, то на отрезке $[a ; b]$ существует такая точка $\xi$, что $f^{(n)}(\xi ) = 0$.

Доказать, что корни производной многочлена

действительные, простые и лежат на интервалах $(0 ; 1),(1 ; 2),(2 ; 3)$, $(3 ; 4)$.

Доказать, что все корни уравнения $\left(1+x^{2}\right)^{n} \frac{d^{n}\left(1+x^{2}\right)^{-1}}{d x^{n}} = 0$ действительные.

Доказать, что все корни уравнения $x^{2 n} e^{-1 / x} \frac{d^{n} e^{-1 / x}}{d x^{n}} = 0$ действительные.

Доказать, что все производные от многочлена с действительными коэффициентами, имеющего только действительные корни, также могут иметь только действительные корни.

Доказать, что корни всех производных (порядка $m < 2 n$) многочленов Лежандра

действительные, простые и лежат в интервале $(-1 ; 1)$.

Доказать, что у многочленов Лагерра

все корни положительны.

Доказать, что у многочленов Чебышева-Эрмита

все корни действительны и лежат в интервале $(-\sqrt{2 n+1} ; \sqrt{2 n+1})$.

Применив теорему Лагранжа к функции $1 / x^{\alpha }$, доказать, что при любом $n \in \mathbb {N}$ и любом $\alpha > 0$ справедливо неравенство

Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства:

Доказать, что при $x \geqslant 0$ справедливо равенство

где $1 / 4 \leqslant \theta (x) < 1 / 2$, причем $\lim_{x \rightarrow +0} \theta (x) = 1 / 4, \lim_{x \rightarrow +\infty } \theta (x) = 1 / 2$.

Доказать: если функция $f$ дифференцируема $n$ раз при $x \geqslant 0$, $f(0) = f^{\prime }(0) = \ldots = f^{(n-1)}(0) = 0$, а $f^{(n)}(x) > 0$ при $x > 0$, то и $f(x) > 0$ при $x > 0$.

Доказать: если функции $f$ и $g$ дифференцируемы $n$ раз при $x \geqslant 0$ и $f(0) = g(0), f^{\prime }(0) = g^{\prime }(0), \ldots , f^{(n-1)}(0) = g^{(n-1)}(0), f^{(n)}(x) > g^{(n)}(x)$ при $x > 0$, то и $f(x) > -g(x)$ при $x > 0$.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема и неограниченна на конечном интервале $(a ; b)$, то ее производная также неограниченна на этом интервале.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема на конечном или бесконечном интервале $(a ; b)$ и существуют равные конечные или одного и того же знака бесконечные пределы $\lim_{x \rightarrow a+0} f(x)$ и $\lim_{x \rightarrow b-0} f(x)$, то существует такая точка $\xi \in (a ; b)$, что $f^{\prime }(\xi ) = 0$.

Пусть $f(x)-f(0) = x f^{\prime }(\xi (x)), 0 < \xi (x) < x$. Доказать, что если $f(x) = x \sin (\ln x)$ при $x > 0$ и $f(0) = 0$, то функция $\xi (x)$ разрывна в сколь угодно малом интервале $(0 ; \varepsilon ), \varepsilon > 0$.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема при $x > a$ и $\lim_{x \rightarrow +\infty } f^{\prime }(x) = 0$, то $\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{f(x)}{x} = 0$.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема при $x > a$ и $\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{f(x)}{x} = 0$, то $\varliminf_{n \rightarrow +\infty }\left|f^{\prime }(x)\right| = 0$.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема на отрезке $[a ; b], a b > 0$, то

где $a < \xi < b$.

Доказать, что если функция $f$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке $[a ; b]$ и не является постоянной, то на этом отрезке существуют такие точки $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$, что

Доказать, что если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a ; b]$, дифференцируема на интервале $(a ; b)$ и не является линейной, то существует такая точка $\xi \in (a ; b)$, что

Доказать, что если функция $f$ дважды дифференцируема на отрезке $[a ; b]$ и $f^{\prime }(a) = f^{\prime }(b) = 0$, то существует такая точка $\xi \in (a ; b)$, что

Пусть функция $f$ непрерывна в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Доказать, что если существуют пределы $\lim_{x \rightarrow x_{0}-0} f^{\prime }(x)$ и $\lim_{x \rightarrow x_{0}+0} f^{\prime }(x)$, причем они не равны между собой, то функция $f$ недифференцируема в точке $x_{0}$.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки $x_{0}$, непрерывна в самой этой точке и существует конечный предел $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime }(x)$, то существует и производная $f^{\prime }\left(x_{0}\right)$, причем $f^{\prime }\left(x_{0}\right) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime }(x)$ (иначе говоря, доказать следствие 3 теоремы Лагранжа).

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема на отрезке $[1 ; 2]$, то существует такая точка $\xi \in (1 ; 2)$, что $f(2)-f(1) = \frac{\xi^{2}}{2} f^{\prime }(\xi )$.

Доказать, что если функция $f$ дифференцируема на отрезке $[a ; b]$, причем $f(a) = f(b)$, то существует такая точка $\xi \in (a ; b)$, что $f(a)-f(\xi ) = \left(\xi f^{\prime }(\xi )\right) / 2$.

Пусть функция $f$ непрерывно дифференцируема на интервале $(a ; b)$ и ее производная монотонна на этом интервале. Доказать, что если $f\left(x_{0}\right) = 0, x_{0} \in (a ; b)$, то $\lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{f^{\prime }(x)} = 0$.

Выяснить, будет ли всегда существовать такая точка $\xi \in (a ; b)$, что $f^{\prime }(\xi ) = 0$, если функция $f$ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного из следующих:

(1) функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$;

(2) функция $f$ имеет во всех точках интервала $(a,b)$ конечную или определенного знака бесконечную производную;

(3) $f(a) = f(b)$.

Являются ли условия теоремы Ролля необходимыми и достаточными для того, чтобы существовала такая точка $\xi \in (a ; b)$, что $f^{\prime }(\xi ) = 0$?

Выяснить, справедлива ли формула конечных приращений Лагранжа на отрезке $[-1 ; 1]$ для функции

Пусть функция $f$ непрерывно дифференцируема на интервале $(a ; b)$. Верно ли, что для любого $\xi \in (a ; b)$ существуют такие точки $x_{1} \in (a ; b)$ и $x_{2} \in (a ; b)$, что

Пусть функция $f$ при любом $x \in \mathbb {R}$ и любом $h > 0$ удовлетворяет условию $\left|f(x+h)-f(x-h)\right| < h^{2}$. Доказать, что $f(x) =$ const.

Пусть функция $f$ дифференцируема при всех $x \in \mathbb {R}$ и $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x) = 0$. Доказать, что существует точка $\xi$ такая, что $f^{\prime }(\xi ) = 0$.

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $[a ; b]$ и $f^{\prime }(a) f^{\prime }(b) < 0$. Доказать, что существует точка $x_{0} \in (a ; b)$ такая, что $f^{\prime }\left(x_{0}\right) = 0$.

Пусть функция $f(x)$ имеет непрерывную производную второго порядка на $\mathbb {R}$, и пусть существуют конечные пределы этой функции при $x \rightarrow -\infty$ и $x \rightarrow +\infty$. Доказать, что найдется точка $x_{0}$ такая, что $f^{\prime }\left(x_{0}\right) = 0$.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a ; b]$ и дифференцируема на интервале $(a ; b)$, где $a > 0$. Доказать, что существует точка $\xi \in (a ; b)$ такая, что

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0 ; 1]$, дифференцируема на интервале $(0 ; 1)$ и удовлетворяет условиям: $f(0) = 5$, $f(1) = 3, f^{\prime }(x) \geqslant -2$ для всех $x \in (0 ; 1)$. Доказать, что $f(x)$ — линейная на отрезке $[0 ; 1]$ функция.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0 ; 2]$, дифференцируема на интервале $(0 ; 2)$ и удовлетворяет условиям: $f(0) = -5$, $f(2) = -1 ; f(x) \leqslant -2$ для всех $x \in (0 ; 2)$. Доказать, что $f(x)$ — линейная на отрезке $[0 ; 2]$ функция.

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема при $x > 1$ и существует конечный $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$. Доказать, что $f^{\prime }(x)$ не может иметь при $x \rightarrow +\infty$ конечного предела, не равного нулю. Может ли $f^{\prime }(x)$ не иметь предела при $x \rightarrow +\infty$?

Пусть функция $f(x)$ определена на интервале $(a ; b)$ и для любых точек $x_{1}$ и $x_{2}$ из этого интервала справедливо неравенство $\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right| \leqslant \left|x_{2}-x_{1}\right|^{\alpha }$, где $\alpha > 1$. Доказать, что функция $f(x)$ постоянна на интервале $(a ; b)$.