Геометрический и физический смысл производной

Найти углы, под которыми график функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс:

Найти точки, в которых касательные к графику функции $y = f(x)$ параллельны оси абсцисс:

Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в указанной точке:

Написать уравнение касательной к эллипсу $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ в точке $\left(x_{0} ; y_{0}\right)$.

Найти точки пересечения с осью абсцисс касательных к эллипсам

в точках с абсциссой $x_{0}$.

Найти угол между касательными к кривой

проходящими через точку $(3 ; 4)$.

Написать уравнение нормали к графику функции $y = f(x)$ в указанной точке:

Написать уравнение нормали к эллипсу $3 x^{2}+2 x y+2 y^{2}+3 x- -4 y = 0$ в точке $(-2 ; 1)$.

Написать уравнение нормали к гиперболе $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ в точке $\left(x_{0} ; y_{0}\right)$.

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке $M$ :

Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются графики функций:

Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:

Доказать, что семейства парабол $y^{2} = p^{2}-2 p x$ и $y^{2} = 2 q x + q^{2}, p \neq 0, q \neq 0$, образуют ортогональную сетку, т. е. кривые этих семейств пересекаются под прямыми углами.

Доказать, что семейства гипербол $x^{2}-y^{2} = a$ и $x y = b$ образуют ортогональную сетку.

Доказать, что семейство эллипсов

и семейство гипербол

($a$ и $\alpha$ — постоянные, причем $a > 0, \alpha \neq \pi k / 2, k \in \mathbb {Z}$), образуют ортогональную сетку.

Определить угол между левой и правой касательными в точке $M$ графика функции $y = f(x)$ :

Вычислить в точке $(1 ; 2)$ параболы $y^{2} = 4 x$ длины отрезков:

Найти длину подкасательной графика функции $y = a^{x}, a > 0$, $a \neq 1$, в каждой его точке.

Найти длины подкасательной и поднормали графика функции $y = a x^{n}, n \in \mathbb {N}, a \neq 0$, в каждой его точке.

Найти длины подкасательной и поднормали:

Доказать, что подкасательные эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ и окружности $x^{2}+y^{2} = a^{2}$ в точках с равными абсциссами равны.

Доказать, что в точках с равными абсциссами поднормали графиков функций

где $f(x)$ — дифференцируемая функция, равны.

Найти длины подкасательной и поднормали для кривой:

Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали у циклоиды

в каждой ее точке, не лежащей на оси абсцисс.

Найти длины отрезков касательной и нормали у трактрисы $x = a(\ln \operatorname {tg}(t / 2)+\cos t), \quad y = a \sin t, \quad 0 < t < \pi , \quad a > 0$.

Доказать, что у кривой

сумма длин подкасательной и поднормали постоянна и равна $2 a$.

Доказать, что если $r = f(\varphi )$ — уравнение кривой в полярной системе координат и $\omega$ — угол, образованный касательной и полярным радиусом точки касания, то $\operatorname {tg} \omega = r /\left|r^{\prime }\right|$.

Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:

Под каким углом пересекаются кривые $r = \varphi$ и $r = 1 / \varphi$ в точке $(1 ; 1)$?

Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда $r = a \varphi$ и полярным радиусом точки касания при $\varphi \rightarrow +\infty$ стремится к $\pi / 2$.

Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой $r = a e^{b \varphi }$.

Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде $r = a(1+\cos \varphi )$ в точке с полярным углом $\varphi = \pi / 6$.

Поезд Москва-Тбилиси проходит путь в 2400 км за 44 ч 14 мин. Определить среднюю скорость поезда.

Определить среднюю скорость изменения функции $y = \sin (1 / x)$ на отрезке $[2 / \pi ; 6 / \pi ]$.

Тело с массой $m = 1,5$ движется прямолинейно по закону $S(t) = t^{2}+t+1$. Найти кинетическую энергию тела через 5 с после начала движения (масса $m$ задана в килограммах, путь $S$ — в метрах).

Точка движется по параболе $y = 8 x-x^{2}$ так, что ее абсцисса изменяется по закону $x = \sqrt{t}$ ($x$ измеряется в метрах, $t$ — в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения?

Радиус шара возрастает равномерно со скоростью $5 \mathrm{~ cm} / \mathrm{c}$. Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50 см?

Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан за $8 \mathrm{c}$. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения.

По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения

С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи ($x$ измеряется в метрах, $t$ — в секундах)?

Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью $3 \mathrm{M} /$ мин. Определить скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на $4 \mathrm{M}$.

Закон движения материальной точки, брошенной под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$, без учета сопротивления воздуха, имеет вид

где $t$ — время, $g$ — ускорение силы тяжести. Определить координаты вектора скорости и величину скорости.

Точка движется по спирали Архимеда $r = a \varphi$ так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна $6^{\circ }$ в секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса $r$, если $a = 10 \mathrm{M}$.

Расстояние $r$ спутника Земли от ее центра приближенно может быть выражено формулой

где $t$ — время, $a$ — большая полуось эллиптической орбиты, $\varepsilon$ — ее эксцентриситет, $P$ — период обращения спутника, $t_{0}$ — время прохождения через перигей. Найти величину скорости изменения расстояния $r$ (так называемую радиальную скорость спутника).

Количество тепла $Q$ Дж, необходимого для нагревания 1 кг воды от $0^{\circ } \mathrm{C}$ до $t^{\circ } \mathrm{C}$, определяется формулой

Определить теплоемкость воды при $t = 100^{\circ } \mathrm{C}$.

Масса $m(t)$ радиоактивного вещества изменяется по закону

где $t$ — время, $m_{0}$ — масса в момент времени $t_{0}, T$ — период полураспада. Доказать, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству вещества. Найти коэффициент пропорциональности.