1.13.2

Задачи

[223/97%]
Показать
LaTeX
Задача 1.13.1

Найти f′(x0)f^{\prime }\left(x_{0}\right), если:

?
(1)

f=x2,x0=0,1;f = x^{2}, x_{0} = 0,1 ;

(2)

f=2sin⁡3x,x0=π/6f = 2 \sin 3 x, x_{0} = \pi / 6;

(3)

f=1+ln⁡2x,x0=1f = 1+\ln 2 x, x_{0} = 1;

(4)

f=x+ctg⁡x,x0=π/4f = x+\operatorname {ctg} x, x_{0} = \pi / 4.

Задача 1.13.2

Найти f′(x)f^{\prime }(x) и указать область существования производной, если:

?
(1)

f=x3+2xf = x^{3}+2 x;

(2)

f=1/xf = 1 / x;

(3)

f=xf = \sqrt{x};

(4)

f=xx3f = x \sqrt[3]{x};

(5)

f=1/(1+x2)f = 1 /\left(1+x^{2}\right);

(6)

f=2x+1f = 2^{x+1};

(7)

f=ln⁡xf = \ln x;

(8)

f=sin⁡2xf = \sin 2 x;

(9)

f=ctg⁡x+2f = \operatorname {ctg} x+2;

(10)

f=arcsin⁡xf = \arcsin x;

(11)

f=arccos⁡3xf = \arccos 3 x;

(12)

f=7arctg⁡(x+1)f = 7 \operatorname {arctg}(x+1).

Задача 1.13.3

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=x3+x2+x+1y = x^{3}+x^{2}+x+1.

?
Задача 1.13.4

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=ax3+bx2+cx+dy = a x^{3}+b x^{2}+c x+d.

?
Задача 1.13.5

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=7x13+13x−7y = 7 x^{13}+13 x^{-7}.

?
Задача 1.13.6

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=ln⁡3x+e2y = \frac{\ln 3}{x}+e^{2}.

?
Задача 1.13.7

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=ax2+bx3+cx4y = \frac{a}{x^{2}}+\frac{b}{x^{3}}+\frac{c}{x^{4}}.

?
Задача 1.13.8

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=x+x3+x4y = \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}.

?
Задача 1.13.9

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=35x5/3+x−2+2xy = \frac{3}{5} x^{5 / 3}+x^{-2}+\frac{2}{x}.

?
Задача 1.13.10

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=x3x23+x7x3y = x^{3} \sqrt[3]{x^{2}}+x^{7} \sqrt[3]{x}.

?
Задача 1.13.11

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=x5−x−5y = x^{\sqrt{5}}-x^{-\sqrt{5}}.

?
Задача 1.13.12

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=ax+bcx+d,c≠0y = \frac{a x+b}{c x+d}, c \neq 0.

?
Задача 1.13.13

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=x2−5x+6x2+x+7y = \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}+x+7}.

?
Задача 1.13.14

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=x2+x23y = \frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt[3]{x^{2}}}.

?
Задача 1.13.15

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=5xcos⁡xy = 5 x \cos x.

?
Задача 1.13.16

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=(x+1)tg⁡xy = (x+1) \operatorname {tg} x.

?
Задача 1.13.17

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=x2ctg⁡x+2y = x^{2} \operatorname {ctg} x+2.

?
Задача 1.13.18

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y={sin⁡x/x,x≠0,1,x=0.y = \begin{cases} \sin x / x, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0.\end{cases} \quad

?
Задача 1.13.19

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=xtg⁡xy = \frac{\sqrt{x}}{\operatorname {tg} x},

?
Задача 1.13.20

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=sin⁡x+cos⁡xcos⁡x−sin⁡xy = \frac{\sin x+\cos x}{\cos x-\sin x}.

?
Задача 1.13.21

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=arctg⁡x+x+arcctg⁡xy = \operatorname {arctg} x+x+\operatorname {arcctg} x.

?
Задача 1.13.22

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=xarcsin⁡xy = x \arcsin x.

?
Задача 1.13.23

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=arctg⁡2xy = \operatorname {arctg}^{2} x.

?
Задача 1.13.24

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=arccos⁡xarcsin⁡xy = \frac{\arccos x}{\arcsin x}.

?
Задача 1.13.25

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=ln⁡x3−9x−272x2y = \ln x^{3}-\frac{9}{x}-\frac{27}{2 x^{2}}.

?
Задача 1.13.26

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=(2)x+(5)−xy = (\sqrt{2})^{x}+(\sqrt{5})^{-x}.

?
Задача 1.13.27

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=(x2−7x+8)exy = \left(x^{2}-7 x+8\right) e^{x}.

?
Задача 1.13.28

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=2xln⁡∣x∣y = 2^{x} \ln \left|x\right|.

?
Задача 1.13.29

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=exlog⁡2xy = e^{x} \log_{2} x.

?
Задача 1.13.30

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=log⁡2x⋅ln⁡x⋅log⁡3xy = \log_{2} x \cdot \ln x \cdot \log_{3} x.

?
Задача 1.13.31

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=log⁡xy = \log_{x}

?
Задача 1.13.32

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=log⁡x2xy = \log_{x} 2^{x}.

?
Задача 1.13.33

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=arcsin⁡xexy = \frac{\arcsin x}{e^{x}}.

?
Задача 1.13.34

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=eax(asin⁡bx−bcos⁡bx)y = e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x).

?
Задача 1.13.35

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=sh⁡x⋅ch⁡xy = \operatorname {sh} x \cdot \operatorname {ch} x.

?
Задача 1.13.36

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=sh⁡2x−ch⁡2xy = \operatorname {sh}^{2} x-\operatorname {ch}^{2} x.

?
Задача 1.13.37

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=th⁡xch⁡2xy = \frac{\operatorname {th} x}{\operatorname {ch}^{2} x}.

?
Задача 1.13.38

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x). Указать область существования производной. y=ln⁡xcth⁡xy = \frac{\ln x}{\operatorname {cth} x}.

?
Задача 1.13.39

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),x0=−3y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4), x_{0} = -3.

?
Задача 1.13.40

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=(x−a)(x−b)(x−c),x0=ay = (x-a)(x-b)(x-c), x_{0} = a.

?
Задача 1.13.41

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=x−ax−b,a≠b,x0=ay = \frac{x-a}{x-b}, a \neq b, x_{0} = a.

?
Задача 1.13.42

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=(1+axb)(1+bxa),x0=1y = \left(1+a x^{b}\right)\left(1+b x^{a}\right), x_{0} = 1.

?
Задача 1.13.43

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=x(x−1)(x−2)…(x−1984)(x−1985),x0=0,x0=1985y = x(x-1)(x-2) \ldots (x-1984)(x-1985), x_{0} = 0, x_{0} = 1985.

?
Задача 1.13.44

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=(2−x2)cos⁡x+2xsin⁡x,x0=0y = \left(2-x^{2}\right) \cos x+2 x \sin x, x_{0} = 0.

?
Задача 1.13.45

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=sin⁡x−xcos⁡xcos⁡x+xsin⁡x,x0=π2y = \frac{\sin x-x \cos x}{\cos x+x \sin x}, x_{0} = \frac{\pi }{2}.

?
Задача 1.13.46

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=(ax+b)cos⁡x+(cx+d)sin⁡x,x0=0y = (a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x, x_{0} = 0.

?
Задача 1.13.47

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=arctg⁡x⋅arccos⁡x,x0=0y = \operatorname {arctg} x \cdot \arccos x, x_{0} = 0

?
Задача 1.13.48

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=log⁡2xln⁡2x,x0=1y = \log_{2} x \ln 2 x, x_{0} = 1.

?
Задача 1.13.49

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=x2ln⁡x,x0=ey = \frac{x^{2}}{\ln x}, x_{0} = e.

?
Задача 1.13.50

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=x5e−x,x0=5y = x^{5} e^{-x}, x_{0} = 5.

?
Задача 1.13.51

Вычислить производную функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_{0}. y=xsh⁡2x,x0=1y = x \operatorname {sh} 2 x, x_{0} = 1.

?
Задача 1.13.52

Найти производную функции. y=(3x−7)10y = (3 x-7)^{10}.

?
Задача 1.13.53

Найти производную функции. y=199(1−x)−99−149(1−x)−98+197(1−x)−97y = \frac{1}{99}(1-x)^{-99}-\frac{1}{49}(1-x)^{-98}+\frac{1}{97}(1-x)^{-97}.

?
Задача 1.13.54

Найти производную функции. y=(a+bx)αy = (a+b x)^{\alpha }.

?
Задача 1.13.55

Найти производную функции. y=(0,4cos⁡(8x+5)−0,6sin⁡0,8x)2y = (0,4 \cos (8 x+5)-0,6 \sin 0,8 x)^{2}.

?
Задача 1.13.56

Найти производную функции. y=cos⁡32x−14sin⁡(2x+3)y = \frac{\cos 3}{2} x-\frac{1}{4} \sin (2 x+3).

?
Задача 1.13.57

Найти производную функции. y=(acos⁡x+bsin⁡x)αy = (a \cos x+b \sin x)^{\alpha }.

?
Задача 1.13.58

Найти производную функции. y=Ae−k2xsin⁡(ωx+α)y = A e^{-k^{2} x} \sin (\omega x+\alpha ).

?
Задача 1.13.59

Найти производную функции. y=(x+1x)12y = \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}.

?
Задача 1.13.60

Найти производную функции. y=2x2+x2+1y = \sqrt{2 x^{2}+\sqrt{x^{2}+1}}

?
Задача 1.13.61

Найти производную функции. y=9+72x513y = \sqrt[13]{9+7 \sqrt[5]{2 x}}.

?
Задача 1.13.62

Найти производную функции. y=1−x31+x33y = \sqrt[3]{\frac{1-x^{3}}{1+x^{3}}}.

?
Задача 1.13.63

Найти производную функции. y=ax+bcx+dny = \sqrt[n]{\frac{a x+b}{c x+d}}.

?
Задача 1.13.64

Найти производную функции. y=11+x4(x2+1+x4)y = \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}\left(x^{2}+\sqrt{1+x^{4}}\right)}.

?
Задача 1.13.65

Найти производную функции. y=x2+4x4+((x2−4)/(2x))2.y = \frac{x^{2}+4}{x \sqrt{4+\left(\left(x^{2}-4\right) /(2 x)\right)^{2}}}.

?
Задача 1.13.66

Найти производную функции. y=x3+xa2−x2a−a3a54+ax44−a4x4−x54y = \frac{\sqrt{x^{3}}+\sqrt{x a^{2}}-\sqrt{x^{2} a}-\sqrt{a^{3}}}{\sqrt[4]{a^{5}}+\sqrt[4]{a x^{4}}-\sqrt[4]{a^{4} x}-\sqrt[4]{x^{5}}}.

?
Задача 1.13.67

Найти производную функции. y=cos⁡(1/x)y = \cos (1 / x).

?
Задача 1.13.68

Найти производную функции. y=ctg⁡x2−(1/3)tg⁡32xy = \operatorname {ctg} x^{2}-(1 / 3) \operatorname {tg}^{3} 2 x.

?
Задача 1.13.69

Найти производную функции. y=1−cos⁡(8x−3π)tg⁡2x−ctg⁡2xy = \frac{1-\cos (8 x-3 \pi )}{\operatorname {tg} 2 x-\operatorname {ctg} 2 x}.

?
Задача 1.13.70

Найти производную функции. y=e−x2/2y = e^{-x^{2} / 2}.

?
Задача 1.13.71

Найти производную функции. y=2sin⁡2xy = 2^{\sin 2 x}.

?
Задача 1.13.72

Найти производную функции. y=12arctg⁡x2−13arctg⁡x3y = \frac{1}{2} \operatorname {arctg} \frac{x}{2}-\frac{1}{3} \operatorname {arctg} \frac{x}{3}.

?
Задача 1.13.73

Найти производную функции. y=sin⁡2x1+ctg⁡x+cos⁡2x1+tg⁡xy = \frac{\sin^{2} x}{1+\operatorname {ctg} x}+\frac{\cos^{2} x}{1+\operatorname {tg} x}.

?
Задача 1.13.74

Найти производную функции. y=1+tg⁡(x2+x−2)y = \sqrt{1+\operatorname {tg}\left(x^{2}+x^{-2}\right)}.

?
Задача 1.13.75

Найти производную функции. y=1+x2arctg⁡x21+x4y = \frac{1+x^{2} \operatorname {arctg} x^{2}}{\sqrt{1+x^{4}}}.

?
Задача 1.13.76

Найти производную функции. y=ln⁡ln⁡(x/2)y = \ln \ln (x/2)

?
Задача 1.13.77

Найти производную функции. y=log⁡23(2x+3)2y = \log_2^3(2x + 3)^2

?
Задача 1.13.78

Найти производную функции. y=ln⁡∣sin⁡x∣y = \ln \left|\sin x\right|

?
Задача 1.13.79

Найти производную функции. y=sin⁡ln⁡∣x∣y = \sin \ln \left|x\right|.

?
Задача 1.13.80

Найти производную функции. y=cos⁡1log⁡2xy = \cos \frac{1}{\log_{2} x}.

?
Задача 1.13.81

Найти производную функции. y=3arctg⁡(2x+π)y = 3^{\operatorname {arctg}(2 x+\pi )}.

?
Задача 1.13.82

Найти производную функции. y=arcctg⁡2xy = \operatorname {arcctg} 2^{x}.

?
Задача 1.13.83

Найти производную функции. y=10x/log⁡3xy = 10^{x / \log_{3} x}.

?
Задача 1.13.84

Найти производную функции. y=231arctg⁡4x−531y = \frac{2}{\sqrt{31}} \operatorname {arctg} \frac{4 x-5}{\sqrt{31}}.

?
Задача 1.13.85

Найти производную функции. y=12arctg⁡x2−12xy = \frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname {arctg} \frac{x^{2}-1}{\sqrt{2} x}.

?
Задача 1.13.86

Найти производную функции. y=ch⁡xy = \sqrt{\operatorname {ch} x}.

?
Задача 1.13.87

Найти производную функции. y=arctg⁡th⁡xy = \operatorname {arctg} \operatorname {th} x.

?
Задача 1.13.88

Найти производную функции. y=12th⁡x+28ln⁡1+2th⁡x1−2th⁡xy = \frac{1}{2} \operatorname {th} x+\frac{\sqrt{2}}{8} \ln \frac{1+\sqrt{2} \operatorname {th} x}{1-\sqrt{2} \operatorname {th} x}.

?
Задача 1.13.89

Найти производную функции. y=sin⁡cos⁡2x⋅cos⁡sin⁡2xy = \sin \cos^{2} x \cdot \cos \sin^{2} x.

?
Задача 1.13.90

Найти производную функции. y=tg⁡2x/(tg⁡x2)y = \operatorname {tg}^{2} x /\left(\operatorname {tg} x^{2}\right).

?
Задача 1.13.91

Найти производную функции. y=ln⁡tg⁡(x/2)−cos⁡x⋅ln⁡tg⁡xy = \ln \operatorname {tg}(x / 2)-\cos x \cdot \ln \operatorname {tg} x.

?
Задача 1.13.92

Найти производную функции. y=x2(sin⁡ln⁡x+cos⁡ln⁡x)y = \frac{x}{2}(\sin \ln x+\cos \ln x).

?
Задача 1.13.93

Найти производную функции. y=cos⁡nx⋅cos⁡nxy = \cos^{n} x \cdot \cos n x.

?
Задача 1.13.94

Найти производную функции. y=12ln⁡(1+x2)−14ln⁡(1+x4)−12(1+x2)y = \frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-\frac{1}{4} \ln \left(1+x^{4}\right)-\frac{1}{2\left(1+x^{2}\right)}.

?
Задача 1.13.95

Найти производную функции. y=ln⁡(x2+x4+1)y = \ln \left(x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}\right).

?
Задача 1.13.96

Найти производную функции. y=2xln⁡(2x+4x2+1)−4x2+1y = 2 x \ln \left(2 x+\sqrt{4 x^{2}+1}\right)-\sqrt{4 x^{2}+1}.

?
Задача 1.13.97

Найти производную функции. y=sin⁡(arcsin⁡x)y = \sin (\arcsin x).

?
Задача 1.13.98

Найти производную функции. y=cos⁡(2arccos⁡x)y = \cos (2 \arccos x).

?
Задача 1.13.99

Найти производную функции. y=cos⁡(3arccos⁡x)y = \cos (3 \arccos x).

?
Задача 1.13.100

Найти производную функции. y=12arcsin⁡(23sin⁡x)y = \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \left(\sqrt{\frac{2}{3}} \sin x\right).

?
Задача 1.13.101

Найти производную функции. y=arccos⁡x2n−1x2n+1y = \arccos \frac{x^{2 n}-1}{x^{2 n}+1}.

?
Задача 1.13.102

Найти производную функции. y=ln⁡(x+3x+2)2−2x+5(x+2)(x+3)y = \ln \left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{2}-\frac{2 x+5}{(x+2)(x+3)}.

?
Задача 1.13.103

Найти производную функции. y=126ln⁡(2+x32−x3)2y = \frac{1}{2 \sqrt{6}} \ln \left(\frac{\sqrt{2}+x \sqrt{3}}{\sqrt{2}-x \sqrt{3}}\right)^{2}.

?
Задача 1.13.104

Найти производную функции. y=12ln⁡(x−2x+2)2−43arctg⁡x3y = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left(\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right)^{2}-\frac{4}{\sqrt{3}} \operatorname {arctg} \frac{x}{\sqrt{3}}.

?
Задача 1.13.105

Найти производную функции. y=2sin⁡x2y = 2^{\sin x^{2}}.

?
Задача 1.13.106

Найти производную функции. y=3cos⁡2xy = 3^{\cos^{2} x}.

?
Задача 1.13.107

Найти производную функции. y=e(1−x)/(1+x)y = e^{\sqrt{(1-x) /(1+x)}}.

?
Задача 1.13.108

Найти производную функции. y=arctg⁡tg⁡2xy = \operatorname {arctg} \operatorname {tg}^{2} x.

?
Задача 1.13.109

Найти производную функции. y=log⁡2log⁡3log⁡5xy = \log_{2} \log_{3} \log_{5} x.

?
Задача 1.13.110

Найти производную функции. y=ln⁡ln⁡ln⁡x2y = \ln \ln \ln x^{2}.

?
Задача 1.13.111

Найти производную функции. y=x2+1−ln⁡(1/x+1+1/x2)y = \sqrt{x^{2}+1}-\ln \left(1 / x+\sqrt{1+1 / x^{2}}\right).

?
Задача 1.13.112

Найти производную функции. y=27ln⁡(x7+1+x7)y = \frac{2}{7} \ln \left(\sqrt{x^{7}}+\sqrt{1+x^{7}}\right).

?
Задача 1.13.113

Найти производную функции. y=tg⁡2x+ln⁡cos⁡2xy = \operatorname {tg}^{2} x+\ln \cos^{2} x.

?
Задача 1.13.114

Найти производную функции. y=ln⁡(2cos⁡x+cos⁡2x)y = \ln (\sqrt{2} \cos x+\sqrt{\cos 2 x}).

?
Задача 1.13.115

Найти производную функции. y=eln⁡(x2+x+1)y = e^{\sqrt{\ln \left(x^{2}+x+1\right)}}.

?
Задача 1.13.116

Найти производную функции. y=ln⁡1−sin⁡x1+sin⁡xy = \ln \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}.

?
Задача 1.13.117

Найти производную функции. y=xe2x−1−arctg⁡e2x−1y = \frac{x}{\sqrt{e^{2 x}-1}}-\operatorname {arctg} \sqrt{e^{2 x}-1}.

?
Задача 1.13.118

Найти производную функции. y=ch⁡x2sh⁡2x2−ln⁡cth⁡x22y = \frac{\operatorname {ch} x^{2}}{\operatorname {sh}^{2} x^{2}}-\ln \operatorname {cth} \frac{x^{2}}{2}.

?
Задача 1.13.119

Найти производную функции. y=ln⁡tg⁡(π4+sin⁡x2)y = \ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\sin x}{2}\right).

?
Задача 1.13.120

Найти производную функции. y=arccos⁡(sin⁡x4−cos⁡x4)y = \arccos \left(\sin x^{4}-\cos x^{4}\right).

?
Задача 1.13.121

Найти производную функции. y=1sin⁡4x+1+ln⁡sin⁡4xsin⁡4x+1y = \frac{1}{\sin^{4} x+1}+\ln \frac{\sin^{4} x}{\sin^{4} x+1}.

?
Задача 1.13.122

Найти производную функции. y=ln⁡3−2cos⁡x3+2cos⁡xy = \ln \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2} \cos x}{\sqrt{3}+\sqrt{2} \cos x}.

?
Задача 1.13.123

Найти производную функции. y=1b2−a2ln⁡b+acos⁡x+b2−a2sin⁡xa+bcos⁡xy = \frac{1}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}} \ln \frac{b+a \cos x+\sqrt{b^{2}-a^{2}} \sin x}{a+b \cos x}.

?
Задача 1.13.124

Найти производную функции. y=x/2+3arctg⁡(tg⁡(x/2))/3y = x / 2+\sqrt{3} \operatorname {arctg}(\operatorname {tg}(x / 2)) / \sqrt{3}.

?
Задача 1.13.125

Найти производную функции. y=arctg⁡ex/2−ln⁡ex/(ex+1)y = \operatorname {arctg} e^{x / 2}-\ln \sqrt{e^{x} /\left(e^{x}+1\right)}.

?
Задача 1.13.126

Найти производную функции. y=arcsin⁡sin⁡α⋅sin⁡x1−cos⁡α⋅cos⁡xy = \arcsin \frac{\sin \alpha \cdot \sin x}{1-\cos \alpha \cdot \cos x}.

?
Задача 1.13.127

Найти производную функции. y=1sin⁡αln⁡1+x1−x−ctg⁡α⋅ln⁡1+xcos⁡α1−xcos⁡αy = \frac{1}{\sin \alpha } \ln \frac{1+x}{1-x}-\operatorname {ctg} \alpha \cdot \ln \frac{1+x \cos \alpha }{1-x \cos \alpha }.

?
Задача 1.13.128

Найти производную функции. y=ln⁡x2−2xcos⁡α+1+ctg⁡α⋅arctg⁡x−cos⁡αsin⁡αy = \ln \sqrt{x^{2}-2 x \cos \alpha +1}+\operatorname {ctg} \alpha \cdot \operatorname {arctg} \frac{x-\cos \alpha }{\sin \alpha }.

?
Задача 1.13.129

Найти производную функции. y=x2a2+x4+a2ln⁡(x2+a2+x4)y = x^{2} \sqrt{a^{2}+x^{4}}+a^{2} \ln \left(x^{2}+\sqrt{a^{2}+x^{4}}\right).

?
Задача 1.13.130

Найти производную функции. y=th⁡x+24ln⁡1+2th⁡x1−2th⁡xy = \operatorname {th} x+\frac{\sqrt{2}}{4} \ln \frac{1+\sqrt{2} \operatorname {th} x}{1-\sqrt{2} \operatorname {th} x}.

?
Задача 1.13.131

Найти производную функции. y=ln⁡x2+ax4+b2+abarctg⁡x2by = \ln \frac{x^{2}+a}{\sqrt{x^{4}+b^{2}}}+\frac{a}{b} \operatorname {arctg} \frac{x^{2}}{b}.

?
Задача 1.13.132

Найти производную функции. y=xa2−x2+a2arcsin⁡x∣a∣y = x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2} \arcsin \frac{x}{\left|a\right|}.

?
Задача 1.13.133

Найти производную функции. y=x+ctg⁡x⋅ln⁡(1+sin⁡x)−ln⁡tg⁡(x/2)y = x+\operatorname {ctg} x \cdot \ln (1+\sin x)-\ln \operatorname {tg}(x / 2).

?
Задача 1.13.134

Найти производную функции. y=x−ln⁡1+e2x+e−xarcctg⁡exy = x-\ln \sqrt{1+e^{2 x}}+e^{-x} \operatorname {arcctg} e^{x}.

?
Задача 1.13.135

Найти производную функции. y=ln⁡1−x231+x23+x43+3arctg⁡1+2x233y = \ln \frac{1-\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}}}}+\sqrt{3} \operatorname {arctg} \frac{1+2 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{3}}.

?
Задача 1.13.136

Найти производную функции. y=ln⁡x4+1−2xx4+1+2x−arctg⁡2xx4+1y = \ln \sqrt{\frac{\sqrt{x^{4}+1}-\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4}+1}+\sqrt{2} x}}-\operatorname {arctg} \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4}+1}}.

?
Задача 1.13.137

Найти производную функции. y=ln⁡2x2+4x+42x2+2x+1+4arctg⁡(x+1)−arctg⁡(2x+1)y = \ln \frac{2 x^{2}+4 x+4}{2 x^{2}+2 x+1}+4 \operatorname {arctg}(x+1)-\operatorname {arctg}(2 x+1).

?
Задача 1.13.138

Найти производную функции. y=5x+2x2+x+1+ln⁡(x−1)2x2+x+13+83arctg⁡2x+13y = \frac{5 x+2}{x^{2}+x+1}+\ln \sqrt[3]{\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+x+1}}+\frac{8}{\sqrt{3}} \operatorname {arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{3}}.

?
Задача 1.13.139

Найти производную функции. y=3−sin⁡x2cos⁡2x−2sin⁡x+2arcsin⁡1+sin⁡x2y = \frac{3-\sin x}{2} \sqrt{\cos^{2} x-2 \sin x}+2 \arcsin \frac{1+\sin x}{\sqrt{2}}.

?
Задача 1.13.140

Найти производную функции. y=exarcsin⁡ex/(ex+1)+arctg⁡ex−exy = e^{x} \arcsin \sqrt{e^{x} /\left(e^{x}+1\right)}+\operatorname {arctg} \sqrt{e^{x}}-\sqrt{e^{x}}.

?
Задача 1.13.141

Найти производную функции. y=xxy = x^{x}.

?
Задача 1.13.142

Найти производную функции. y=x7/ln⁡xy = x^{7 / \ln x}.

?
Задача 1.13.143

Найти производную функции. y=log⁡x7y = \log_{x} 7.

?
Задача 1.13.144

Найти производную функции. y=log⁡2x⋅log⁡xe+log⁡2x⋅ln⁡2y = \log_{2} x \cdot \log_{x} e+\log_{2} x \cdot \ln 2.

?
Задача 1.13.145

Найти производную функции. y=x2/ln⁡x−2xlog⁡xee1+ln⁡x+e1+2/log⁡xey = x^{2 / \ln x}-2 x^{\log_{x} e} e^{1+\ln x}+e^{1+2 / \log_{x} e}.

?
Задача 1.13.146

Найти производную функции. y=xx2y = x^{x^{2}}.

?
Задача 1.13.147

Найти производную функции. y=xexy = x^{e^{x}}.

?
Задача 1.13.148

Найти производную функции. y=2xxy = 2^{x^{x}}.

?
Задача 1.13.149

Найти производную функции. y=xxxy = x^{x^{x}}.

?
Задача 1.13.150

Найти производную функции. y=∣sin⁡x∣cos⁡xy = |\sin x|^{\cos x}.

?
Задача 1.13.151

Найти производную функции. y=(arcsin⁡sin⁡2x)arctg⁡xy = \left(\arcsin \sin^{2} x\right)^{\operatorname {arctg} x}.

?
Задача 1.13.152

Найти производную функции. y=(ch⁡x)exy = (\operatorname {ch} x)^{e^{x}}.

?
Задача 1.13.153

Вычислить производную функции в указанных точках. y=1+x−x21−x+x2,x=0,x=1y = \frac{1+x-x^{2}}{1-x+x^{2}}, x = 0, x = 1.

?
Задача 1.13.154

Вычислить производную функции в указанных точках. y=(1+x)2+x23+x33,x=0y = (1+x) \sqrt{2+x^{2}} \sqrt[3]{3+x^{3}}, x = 0.

?
Задача 1.13.155

Вычислить производную функции в указанных точках. y=2tg⁡(1/x),x=1/πy = 2^{\operatorname {tg}(1 / x)}, x = 1 / \pi.

?
Задача 1.13.156

Вычислить производную функции в указанных точках. y=3cos⁡2x−1−sin⁡2x(sin⁡x+cos⁡x),x=π/6y = 3 \cos 2 x-\sqrt{1-\sin 2 x}(\sin x+\cos x), x = \pi / 6.

?
Задача 1.13.157

Вычислить производную функции в указанных точках. y=log⁡1/2(x−1/2)2+log⁡24x2−4x+1,x=0y = \log_{1 / 2}(x-1 / 2)^{2}+\log_{2} \sqrt{4 x^{2}-4 x+1}, x = 0.

?
Задача 1.13.158

Вычислить производную функции в указанных точках. y=ln⁡x(ln⁡x−log⁡exx)ln⁡x+log⁡xe+2,x=ey = \sqrt{\ln x}\left(\ln x-\log_{e x} x\right) \sqrt{\ln x+\log_{x} e+2}, x = e.

?
Задача 1.13.159

Вычислить производную функции в указанных точках. y=ln⁡(1+sin⁡2x)−2sin⁡x⋅arctg⁡sin⁡x,x=π/2y = \ln \left(1+\sin^{2} x\right)-2 \sin x \cdot \operatorname {arctg} \sin x, x = \pi / 2.

?
Задача 1.13.160

Вычислить производную функции в указанных точках. y=arcsin⁡(2x/(1+x2)),x=0,x=2y = \arcsin \left(2 x /\left(1+x^{2}\right)\right), x = 0, x = 2.

?
Задача 1.13.161

Вычислить производную функции в указанных точках. y=arcsin⁡((1−x2)/(1+x2)),x=−1,x=1,x=0y = \arcsin \left(\left(1-x^{2}\right) /\left(1+x^{2}\right)\right), x = -1, x = 1, x = 0.

?
Задача 1.13.162

Вычислить производную функции в указанных точках. y=ln⁡x4−x2+1x4+2x2+1+23arctg⁡31−2x2,x=1y = \ln \frac{x^{4}-x^{2}+1}{x^{4}+2 x^{2}+1}+2 \sqrt{3} \operatorname {arctg} \frac{\sqrt{3}}{1-2 x^{2}}, x = 1.

?
Задача 1.13.163

Вычислить производную функции в указанных точках. y=arctg⁡cos⁡ln⁡3x53,x=1y = \sqrt[3]{\operatorname {arctg} \sqrt[5]{\cos \ln^{3} x}}, x = 1.

?
Задача 1.13.164

Вычислить производную функции в указанных точках. y=(ch⁡x)sh⁡x,x=0y = (\operatorname {ch} x)^{\operatorname {sh} x}, x = 0.

?
Задача 1.13.165

Вычислить производную функции в указанных точках. y=(1+3x)ln⁡x2,x=1y = \left(\sqrt{1+3^{x}}\right)^{\ln x^{2}}, x = 1.

?
Задача 1.13.166

Вычислить производную функции в указанных точках. y=((sin⁡x)/x)x,x=π/2y = ((\sin x) / x)^{x}, x = \pi / 2.

?
Задача 1.13.167

Решить уравнение y′(x)=0y^{\prime }(x) = 0, если:

?
(1)

y=x3−6x2+9x+12y = x^{3}-6 x^{2}+9 x+12;

(2)

y=x2+x−6x2−10x+25y = \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-10 x+25};

(3)

y=11+sin⁡2xy = \frac{1}{1+\sin^{2} x};

(4)

y=x(x−1)2(x−2)3y = x(x-1)^{2}(x-2)^{3};

(5)

y=e−∣x−1∣/(1+x)y = e^{-\left|x-1\right|} /(1+x);

(6)

y=max⁡(7x−6x2,∣x∣3)y = \max \left(7 x-6 x^{2},|x|^{3}\right).

Задача 1.13.168

Пусть f(x),x∈Rf(x), x \in \mathbb {R}, — всюду дифференцируемая функция. Найти y′(x)y^{\prime }(x), если:

?
(1)

y=f(x),f(x)>0y = \sqrt{f(x)}, f(x) > 0

(2)

y=ln⁡∣f(x)∣,f(x)≠0y = \ln \left|f(x)\right|, f(x) \neq 0

(3)

y=f(x3)y = f\left(x^{3}\right)

(4)

y=f(arcsin⁡f(x)),∣f(x)∣<1y = f(\arcsin f(x)),\left|f(x)\right| < 1.

Задача 1.13.169

Пусть f(x),x∈Rf(x), x \in \mathbb {R}, и g(x),x∈Rg(x), x \in \mathbb {R}, — всюду дифференцируемые функции. Найти y′(x)y^{\prime }(x), если:

?
(1)

y=f2(x)+g2(x)n,f2(x)+g2(x)>0y = \sqrt[n]{f^{2}(x)+g^{2}(x)}, f^{2}(x)+g^{2}(x) > 0

(2)

y=ln⁡∣f(x)/g(x)∣,f(x)g(x)≠0y = \ln \left|f(x) / g(x)\right|, \quad f(x) g(x) \neq 0;

(3)

y=f(sin⁡2x)+g(cos⁡2x)y = f\left(\sin^{2} x\right)+g\left(\cos^{2} x\right);

(4)

y=(f(x))g(x),f(x)>0y = (f(x))^{g(x)}, f(x) > 0.

Задача 1.13.170

Пусть функции fij(1⩽i,j⩽n)f_{i j}(1 \leqslant i, j \leqslant n) дифференцируемы в некоторой точке. Доказать, что в этой точке справедливо равенство

∣f11f12…f1n…………fi1fi2…fin…………fn1fn2…fnn∣=∑i=1n∣f11f12…f1n…………fi1′fi2′…fin′…………fn1fn2…fnn∣. \left|\begin{array}{ccccc} f_{11} & f_{12} & \ldots & f_{1 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{i 1} & f_{i 2} & \ldots & f_{i n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n 1} & f_{n 2} & \ldots & f_{n n} \end{array}\right| = \sum _{i = 1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc} f_{11} & f_{12} & \ldots & f_{1 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{i 1}^{\prime } & f_{i 2}^{\prime } & \ldots & f_{i n}^{\prime } \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n 1} & f_{n 2} & \ldots & f_{n n} \end{array}\right|.
?
Задача 1.13.171

С помощью формулы, приведенной в предыдущей задаче, найти Δ′(x)\Delta^{\prime }(x), если:

?
(1)

Δ(x)=∣123x12xx1∣\Delta (x) = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ x & 1 & 2 \\ x & x & 1\end{array}\right|;

(2)

Δ(x)=∣x−1234x−5678x−9∣\Delta (x) = \left|\begin{array}{ccc}x-1 & 2 & 3 \\ 4 & x-5 & 6 \\ 7 & 8 & x-9\end{array}\right|;

(3)

Δ(x)=∣x10x22x2x33x26x∣\Delta (x) = \left|\begin{array}{ccc}x & 1 & 0 \\ x^{2} & 2 x & 2 \\ x^{3} & 3 x^{2} & 6 x\end{array}\right|.

Задача 1.13.172

Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

?
(1)

если функция имеет производную в неюторой точке, то она непрерывна в этой точке;

(2)

если функция непрерывна в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.

Задача 1.13.173

При каких значениях α\alpha функция

y={∣x∣αsin⁡(1/x), если x≠0,0, если x=0, y = \begin{cases} |x|^{\alpha } \sin (1 / x), & \text{ если } & x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } \quad x = 0, \end{cases}

в точке x=0x = 0:

?
(1)

непрерывна;

(2)

имеет производную;

(3)

имеет непрерывную производную?

Задача 1.13.174

При каких значениях α\alpha и β(β>0)\beta (\beta > 0) функция

y={∣x∣αsin⁡(1/∣x∣β), если x≠00, если x=0 y = \begin{cases} |x|^{\alpha } \sin \left(1 /|x|^{\beta }\right), & \text{ если } \quad x \neq 0 \\ 0, & \text{ если } x = 0 \end{cases}

в точке x=0x = 0:

?
(1)

непрерывна;

(2)

имеет производную;

(3)

имеет непрерывную производную?

Задача 1.13.175

Построить пример функции, имеющей производную всюду, за исключением точек x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}.

?
Задача 1.13.176

Определить значения α\alpha и β\beta, при которых: а) всюду непрерывны; б) всюду дифференцируемы следующие функции:

?
(1)

y={αx+β, если x⩽1,x2, если x>1;y = \begin{cases} \alpha x+\beta , & \text{ если } x \leqslant 1, \\ x^{2}, & \text{ если } x > 1 ;\end{cases}

(2)

y={α+βx2, если ∣x∣⩽1,1/∣x∣, если ∣x∣>1;y = \begin{cases} \alpha +\beta x^{2}, & \text{ если }\left|x\right| \leqslant 1, \\ 1 /\left|x\right|, & \text{ если }\left|x\right| > 1 ; \end{cases}

(3)

y={αx3+βx,∣x∣⩽2,(1/π)arcsin⁡(1/x),∣x∣>2y = \begin{cases} \alpha x^{3}+\beta x, & \left|x\right| \leqslant 2, \\ (1 / \pi ) \arcsin (1 / x), & \left|x\right| > 2 \end{cases}

(4)

y={2x−2, если x⩽1,α(x−1)(x−2)(x−β), если 1<x<2,x/2−1, если x⩾2.y = \begin{cases} 2 x-2, & \text{ если } & x \leqslant 1, \\ \alpha (x-1)(x-2)(x-\beta ), & \text{ если } & 1 < x < 2, \\ x / 2-1, & \text{ если } & x \geqslant 2. \end{cases}

Задача 1.13.177

Определить значения α\alpha и β\beta, при которых функции всюду дифференцируемы:

?
(1)

y={(x+α)e−βx, если x<0,αx2+βx+1, если x⩾0;y = \begin{cases} (x+\alpha ) e^{-\beta x}, & \text{ если } x < 0, \\ \alpha x^{2}+\beta x+1, & \text{ если } x \geqslant 0 ; \end{cases}

(2)

y={αx+β, если x<0,αcos⁡x+βsin⁡x, если x⩾0.y = \begin{cases} \alpha x+\beta , & \text{ если } x < 0, \\ \alpha \cos x+\beta \sin x, & \text{ если } x \geqslant 0. \end{cases}

Задача 1.13.178

Определить значения α\alpha и β\beta, при которых функция

y={arctg⁡αx, если ∣x∣⩽1,βsign⁡x+x−12, если ∣x∣>1, y = \begin{cases} \operatorname {arctg} \alpha x, & \text{ если } & \left|x\right| \leqslant 1, \\ \beta \operatorname {sign} x+\frac{x-1}{2}, & \text{ если } & \left|x\right| > 1, \end{cases}

имеет производную:

?
(1)

в точке x=1x = 1;

(2)

в точке x=−1x = -1.

Задача 1.13.179

Исследовать на дифференцируемость следующие функции:

?
(1)

y=∣x3(x+1)2(x+2)∣y = \left|x^{3}(x+1)^{2}(x+2)\right|;

(2)

y=∣sin⁡x∣y = \left|\sin x\right|

(3)

y=x∣x∣y = x\left|x\right|;

(4)

y=∣π−x∣sin⁡xy = \left|\pi -x\right| \sin x

(5)

y=arccos⁡(cos⁡x)y = \arccos (\cos x)

(6)

y={x3, если x⩽0e−1/x, если x>0y = \begin{cases} x^{3}, & \text{ если } x \leqslant 0 \\ e^{-1 / x}, & \text{ если } x > 0 \end{cases}

(7)

y={x2∣cos⁡(π/x)∣, если x≠0,0, если x=0;y = \begin{cases} x^{2}\left|\cos (\pi / x)\right|, & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0 ; \end{cases}

(8)

y={x, если x− рациональное число, 0, если x− иррациональное число. y = \begin{cases} x, & \text{ если } x-\text{ рациональное число, } \\ 0, & \text{ если } x-\text{ иррациональное число. }\end{cases}

Задача 1.13.180

Вычислить значения производной для функции во всех точках, где производная существует:

?
(1)

y={x2, если x — рациональное число, 0, если x — иррациональное число. y = \begin{cases} x^{2}, & \text{ если } x \text{ — рациональное число, } \\ 0, & \text{ если } x \text{ — иррациональное число. } \end{cases}

(2)

y={x2, если x — рациональное число, 2∣x∣−1, если x — иррациональное число. y = \begin{cases} x^{2}, & \text{ если } x \text{ — рациональное число, } \\ 2\left|x\right|-1, & \text{ если } x \text{ — иррациональное число. } \end{cases}

Задача 1.13.181

Верно ли утверждение: если функция имеет производную в точке, то она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки?

?
Задача 1.13.182

Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

?
(1)

если функция ff имеет, а функция gg не имеет производной в некоторой точке, то функция f+gf+g не имеет производной в этой точке;

(2)

если функции ff и gg не имеют производной в некоторой точке, то и функция f+gf+g не имеет производной в этой точке;

(3)

если функция ff имеет, а функция gg не имеет производной в некоторой точке, то и функция fgf g не имеет производной в этой точке;

(4)

если функции ff и gg не имеют производной в некоторой точке, то и функция fgf g не имеет производной в этой точке.

Задача 1.13.183

Привести пример функции f(x)f(x) такой, что f(x)f(x) и (f(x))3(f(x))^{3} дифференцируемы в точке x0x_{0}, а функция (f(x))2(f(x))^{2} не имеет производной в точке x0x_{0}.

?
Задача 1.13.184

Привести пример функции, не имеющей производной ни в одной точке x∈Rx \in \mathbb {R}, квадрат которой имеет производную в каждой точке x∈Rx \in \mathbb {R}.

?
Задача 1.13.185

Привести пример сложной функции f(g(x))f(g(x)), имеющей производную в точке x0x_{0} и такой, что:

?
(1)

f′(g(x0))f^{\prime }\left(g\left(x_{0}\right)\right) существует, g′(x0)g^{\prime }\left(x_{0}\right) не сушествует;

(2)

f′(g(x0))f^{\prime }\left(g\left(x_{0}\right)\right) не существует, g′(x0)g^{\prime }\left(x_{0}\right) существует;

(3)

f′(g(x0))f^{\prime }\left(g\left(x_{0}\right)\right) и g′(x0)g^{\prime }\left(x_{0}\right) не существуют.

Задача 1.13.186

Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

?
(1)

если для дифференцируемых на интервале (a;b)(a ; b) функций ff и gg верно неравенство f<gf < g, то f′⩽g′f^{\prime } \leqslant g^{\prime } на (a;b)(a ; b);

(2)

если на интервале (a;b)(a ; b) верно неравенство f′<g′f^{\prime } < g^{\prime }, то f<gf < g на (a;b)(a ; b);

(3)

если f(a)=g(a)f(a) = g(a) и f′(x)<g′(x)f^{\prime }(x) < g^{\prime }(x) на интервале (a;b)(a ; b), то f(x)<g(x)f(x) < g(x) на (a;b)(a ; b).

Задача 1.13.187

Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

?
(1)

для того чтобы дифференцируемая функция y(x),x∈(a;b)y(x), x \in (a ; b), имела монотонную на интервале (a;b)(a ; b) производную, необходимо, чтобы y(x)y(x) была монотонна на (a;b)(a ; b);

(2)

для того чтобы дифференцируемая функция y(x),x∈(a;b)y(x), x \in (a ; b), имела монотонную на интервале (a;b)(a ; b) производную, достаточно, чтобы y(x)y(x) была монотонна на интервале (a;b)(a ; b);

(3)

для того чтобы дифференцируемая функция имела периодическую производную, необходимо, чтобы функция была периодической;

(4)

для того чтобы дифференцируемая функция имела периодическую производную, достаточно, чтобы функция была периодической.

Задача 1.13.188

Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

?
(1)

для того чтобы производная дифференцируемой функции была четной функцией, достаточно, чтобы функция была нечетной;

(2)

для того чтобы производная дифференцируемой функции была четной функцией, необходимо, чтобы функция была нечетной;

(3)

для того чтобы производная дифференцируемой функции была нечетной функцией, необходимо, чтобы функция была четной;

(4)

для того чтобы производная дифференцируемой функции была нечетной функцией, достаточно, чтобы функция была четной.

Задача 1.13.189

Верно ли утверждение: если функция ff имеет производную в точке x0x_{0}, то последовательность {n(f(x0+1/n)−f(x0))}\left\{ n\left(f\left(x_{0}+1 / n\right)-f\left(x_{0}\right)\right)\right\} сходится? Верно ли обратное утверждение?

?
Задача 1.13.190

Верны ли следующие утверждения:

?
(1)

если функция y(x)y(x) дифференцируема на интервале (a;b)(a ; b) и lim⁡x→a+0y′(x)=∞\lim_{x \rightarrow a+0} y^{\prime }(x) = \infty, то lim⁡x→a+0y(x)=∞\lim_{x \rightarrow a+0} y(x) = \infty;

(2)

если функция y(x)y(x) дифференцируема на интервале (a;b)(a ; b) и lim⁡x→a+0y(x)=∞\lim_{x \rightarrow a+0} y(x) = \infty, то lim⁡x→a+0y′(x)=∞\lim_{x \rightarrow a+0} y^{\prime }(x) = \infty;

(3)

если функция y(x)y(x) дифференцируема на интервале (a;+∞)(a ;+\infty ) и lim⁡x→+∞y(x)\lim_{x \rightarrow +\infty } y(x) существует, то существует и lim⁡x→+∞y′(x)\lim_{x \rightarrow +\infty } y^{\prime }(x);

(4)

если функция y(x)y(x) дифференцируема на интервале (a;+∞)(a ;+\infty ) и существует lim⁡x→+∞y′(x)\lim_{x \rightarrow +\infty } y^{\prime }(x), то существует конечный или бесконечный lim⁡x→+∞y(x)\lim_{x \rightarrow +\infty } y(x)?

Задача 1.13.191

Найти правую и левую производные в указанных точках для функции f(x)f(x), если:

?
(1)

f(x)=∣x∣,x=0f(x) = \left|x\right|, x = 0;

(2)

f(x)=∣x2−5x+6∣,x=2,x=3f(x) = \left|x^{2}-5 x+6\right|, x = 2, x = 3;

(3)

f(x)=∣2x−2∣,x=1f(x) = \left|2^{x}-2\right|, x = 1;

(4)

f(x)=sin⁡πx3,x=k,k∈Zf(x) = \sqrt[3]{\sin \pi x}, x = k, k \in \mathbb {Z};

(5)

f(x)=sin⁡x2,x=0,x=πf(x) = \sqrt{\sin x^{2}}, x = 0, x = \sqrt{\pi }

(6)

f(x)=sin⁡x∣cos⁡x∣+cos⁡x∣sin⁡x∣,x=πk/2,k∈Zf(x) = \sin x\left|\cos x\right|+\cos x\left|\sin x\right|, x = \pi k / 2, k \in \mathbb {Z};

(7)

f(x)=x∣cos⁡(π/x)∣,x=2/(2k+1),k∈Zf(x) = x\left|\cos (\pi / x)\right|, x = 2 /(2 k+1), k \in \mathbb {Z};

(8)

f(x)=arccos⁡(1/x),x=−1,x=1f(x) = \arccos (1 / x), x = -1, x = 1

(9)

f(x)=arcsin⁡sin⁡x,x=(2k+1)π/2,k∈Zf(x) = \arcsin \sin x, x = (2 k+1) \pi / 2, k \in \mathbb {Z}.

Задача 1.13.192

Найти f−′(0)f_{-}^{\prime }(0) и f+′(0)f_{+}^{\prime }(0) для функции f(x)f(x), если:

?
(1)

f(x)={x, если x⩽0,x43ln⁡x, если x>0;f(x) = \begin{cases} x, & \text{ если } x \leqslant 0, \\ \sqrt[3]{x^{4}} \ln x, & \text{ если } x > 0 ; \end{cases}

(2)

f(x)={2x, если x<0ln⁡(1+x75), если x⩾0f(x) = \begin{cases} 2 x, & \text{ если } \quad x < 0 \\ \ln \left(1+\sqrt[5]{x^{7}}\right), & \text{ если } \quad x \geqslant 0 \end{cases}

(3)

f(x)={1+e1/x, если x<0,1+x43, если x⩾0.f(x) = \begin{cases} 1+e^{1 / x}, & \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{1+\sqrt[3]{x^{4}}}, & \text{ если } x \geqslant 0. \end{cases}

Задача 1.13.193

Найти правую и левую производные в точках разрыва функции f(x)f(x), если:

?
(1)

f(x)={x(1−x2)/∣x∣, если x≠01, если x=0f(x) = \begin{cases} x\left(1-x^{2}\right) /\left|x\right|, & \text{ если } x \neq 0 \\ 1, & \text{ если } x = 0 \end{cases}

(2)

f(x)=(1−x2)sign⁡xf(x) = \left(1-x^{2}\right) \operatorname {sign} x

(3)

f(x)={11+e1/x, если x≠00, если x=0f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+e^{1 / x}}, & \text{ если } & x \neq 0 \\ 0, & \text{ если } & x = 0 \end{cases}

(4)

f(x)={arctg⁡((1+x)/(1−x)), если x≠0,π/2, если x=1;f(x) = \begin{cases} \operatorname {arctg}((1+x) /(1-x)), & \text{ если } x \neq 0, \\ \pi / 2, & \text{ если } x = 1 ; \end{cases}

(5)

f(x)={arctg⁡(1/x), если x≠0,−π/2, если x=0.f(x) = \begin{cases} \operatorname {arctg}(1 / x), & \text{ если } x \neq 0, \\ -\pi / 2, & \text{ если } x = 0. \end{cases}

Задача 1.13.194

Найти f+′(x0)f_{+}^{\prime }\left(x_{0}\right) и f−′(x0)f_{-}^{\prime }\left(x_{0}\right) для функции f(x)=∣x−x0∣φ(x)f(x) = \left|x-x_{0}\right| \varphi (x), где φ(x)\varphi (x) — заданная функция, непрерывная в точке x0x_{0}.

?
Задача 1.13.195

Привести пример функции, имеющей в точке разрыва бесконечную отрицательную производную.

?
Задача 1.13.196

Привести пример функции, непрерывной в некоторой точке и не имеющей в этой точке ни левой, ни правой производной.

?
Задача 1.13.197

Найти производную обратной функции в указанных точках:

?
(1)

y=x+x5/5,y=0,y=6/5y = x+x^{5} / 5, y = 0, y = 6 / 5;

(2)

y=2x−cos⁡x/2,y=−1/2y = 2 x-\cos x / 2, y = -1 / 2;

(3)

y=0,1x+e0,1x,y=1y = 0,1 x+e^{0,1 x}, y = 1;

(4)

y=2x2−x4,x>1,y=0y = 2 x^{2}-x^{4}, x > 1, y = 0;

(5)

y=2x2−x4,0<x<1,y=3/4y = 2 x^{2}-x^{4}, 0 < x < 1, y = 3 / 4.

Задача 1.13.198

Найти производную обратной функции. Указать область существования производной:

?
(1)

y=x+ln⁡x,x>0y = x+\ln x, x > 0

(2)

y=x+exy = x+e^{x};

(3)

y=x2/(1+x2),x<0y = x^{2} /\left(1+x^{2}\right), x < 0;

(4)

y=ch⁡x,x>0y = \operatorname {ch} x, x > 0.

Задача 1.13.199

Найти производную функции, обратной для гиперболического тангенса.

?
Задача 1.13.200

Дана функция y=x+sin⁡x,x∈Ry = x+\sin x, x \in \mathbb {R}. В каких точках обратная функция имеет бесконечную положительную производную?

?
Задача 1.13.201

Найти yx′y_{x}^{\prime } для функции y=y(x)y = y(x), заданной параметрически:

?
(1)

x=sin⁡2t,y=cos⁡2t,0<t<π/2x = \sin^{2} t, y = \cos^{2} t, 0 < t < \pi / 2

(2)

x=e−t,y=t3,−∞<t<+∞x = e^{-t}, y = t^{3},-\infty < t < +\infty;

(3)

x=acos⁡t,y=bsin⁡t,0<t<πx = a \cos t, y = b \sin t, 0 < t < \pi

(4)

x=ach⁡t,y=bsh⁡t,−∞<t<0x = a \operatorname {ch} t, y = b \operatorname {sh} t,-\infty < t < 0

(5)

x=t2+6t+5,y=(t3−54)/t,0<t<+∞x = t^{2}+6 t+5, y = \left(t^{3}-54\right) / t, 0 < t < +\infty;

(6)

x=(t−1)2(t−2),y=(t−1)2(t−3),5/3<t<+∞x = (t-1)^{2}(t-2), y = (t-1)^{2}(t-3), 5 / 3 < t < +\infty;

(7)

x=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t),−∞<t<+∞x = a(t-\sin t), y = a(1-\cos t),-\infty < t < +\infty;

(8)

x=ln⁡sin⁡(t/2),y=ln⁡sin⁡t,0<t<πx = \ln \sin (t / 2), y = \ln \sin t, 0 < t < \pi.

Задача 1.13.202

Найти xy′x_{y}^{\prime } для функции x=x(y)x = x(y), заданной параметрически:

?
(1)

x=t+2t2+t3,y=−2+3t−t3,1<t<+∞x = t+2 t^{2}+t^{3}, y = -2+3 t-t^{3}, 1 < t < +\infty;

(2)

x=(t3−2t2+3t−4)et,y=(t3−2t2+4t−4)et,1<t<+∞x = \left(t^{3}-2 t^{2}+3 t-4\right) e^{t}, y = \left(t^{3}-2 t^{2}+4 t-4\right) e^{t}, 1 < t < +\infty;

(3)

x=ctg⁡2t,y=(2cos⁡2t−1)/(2cos⁡t),0<t<π/2x = \operatorname {ctg} 2 t, y = (2 \cos 2 t-1) /(2 \cos t), 0 < t < \pi / 2.

Задача 1.13.203

Для функции y=y(x)y = y(x), заданной параметрически x=2t+∣t∣x = 2 t+\left|t\right|, y=5t2+4t∣t∣,−∞<t<∞y = 5 t^{2}+4 t\left|t\right|,-\infty < t < \infty, вычислить производную в точке x=0x = 0.

?
Задача 1.13.204

Найти yx′y_{x}^{\prime } для функции y=y(x)y = y(x), заданной параметрически:

x={t, если t− рациональное число, −t, если t — иррациональное число, y=t2. x = \begin{cases} t, & \text{ если } t-\text{ рациональное число, } \\ -t, & \text{ если } t \text{ — иррациональное число, } \end{cases} \quad y = t^{2}.
?
Задача 1.13.205

Вычислить y′(x0)y^{\prime }\left(x_{0}\right) для функции y=y(x)y = y(x), заданной уравнением r=r(φ)r = r(\varphi ), где rr и φ\varphi — полярные координаты точки (x;y)(x ; y) :

?
(1)

r=aφ,4π/3<φ<2π,x0=0r = a \varphi , 4 \pi / 3 < \varphi < 2 \pi , x_{0} = 0

(2)

r=eφ,−π/6<φ<π/6,x0=1r = e^{\varphi },-\pi / 6 < \varphi < \pi / 6, x_{0} = 1;

(3)

r=acos⁡2φ,0<φ<π/4,x0=a6/4r = a \sqrt{\cos 2 \varphi }, 0 < \varphi < \pi / 4, x_{0} = a \sqrt{6} / 4.

Задача 1.13.206

Для функции y=y(x)y = y(x), заданной уравнением r=acos⁡2φr = a \sqrt{\cos 2 \varphi }, 0⩽φ⩽π/40 \leqslant \varphi \leqslant \pi / 4, вычислить y+′(0)y_{+}^{\prime }(0) и y−′(a)y_{-}^{\prime }(a).

?
Задача 1.13.207

Найти y′y^{\prime } для дифференцируемой функции y=y(x)y = y(x), заданной неявно уравнением:

?
(1)

y5+y3+y−x=0y^{5}+y^{3}+y-x = 0;

(2)

y−x=εsin⁡y,∣ε∣<1y-x = \varepsilon \sin y,\left|\varepsilon \right| < 1;

(3)

y2=2px,y>0y^{2} = 2 p x, y > 0;

(4)

x2/a2−y2/b2=1,y>0x^{2} / a^{2}-y^{2} / b^{2} = 1, y > 0;

(5)

(2a−x)y2=x3,y<0(2 a-x) y^{2} = x^{3}, y < 0

(6)

x+y=2\sqrt{x}+\sqrt{y} = 2

(7)

x2/3+y2/3=a2/3,y>0x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = a^{2 / 3}, y > 0

(8)

5x2+9y2−30x+18y+9=0,y<−15 x^{2}+9 y^{2}-30 x+18 y+9 = 0, y < -1;

(9)

x2−4xy+4y2+4x−3y−7=0;x<2y−1x^{2}-4 x y+4 y^{2}+4 x-3 y-7 = 0 ; x < 2 y-1.

Задача 1.13.208

Для дифференцируемой функции y=y(x)y = y(x), заданных неявно, вычислить y′(x0)y^{\prime }\left(x_{0}\right) :

?
(1)

x2+y2−6x+10y−2=0,y>−5,x0=0x^{2}+y^{2}-6 x+10 y-2 = 0, y > -5, x_{0} = 0

(2)

6xy+8y2−12x−26y+11=0,y<2,x0=11/126 x y+8 y^{2}-12 x-26 y+11 = 0, y < 2, x_{0} = 11 / 12;

(3)

ey+xy=e,y>0,x0=0e^{y}+x y = e, y > 0, x_{0} = 0;

(4)

xy+ln⁡y=1,y<e2,x0=0x y+\ln y = 1, y < e^{2}, x_{0} = 0.

Задача 1.13.209

Найти A(x0)A\left(x_{0}\right) и α(Δx)\alpha (\Delta x) в формуле (5), если:

?
(1)

y=x3−2x,x0=1y = x^{3}-2 x, x_{0} = 1;

(2)

y=x10,x0=0y = x^{10}, x_{0} = 0.

Задача 1.13.210

Найти разность между приращением и дифференциалом функции y=(x−1)3y = (x-1)^{3}.

?
Задача 1.13.211

При каких значениях xx дифференциал функции y=cos⁡xy = \cos x не эквивалентен при Δx→0\Delta x \rightarrow 0 ее приращению?

?
Задача 1.13.212

Какой порядок при Δx→0\Delta x \rightarrow 0 имеет бесконечно малая Δy−dy\Delta y-d y, если y=x3−3xy = x^{3}-3 x?

?
Задача 1.13.213

Найти дифференциал:

?
(1)

d(e−x+ln⁡x)d\left(e^{-x}+\ln x\right);

(2)

d(x+2x+x)d(\sqrt{x}+2 \sqrt{x+\sqrt{x}});

(3)

d(2x3(3ln⁡x−2))d\left(2 \sqrt{x^{3}}(3 \ln x-2)\right);

(4)

d(arccos⁡ex)d\left(\arccos e^{x}\right);

(5)

dln⁡(1+2sin⁡x+2sin⁡x−1)d \ln (\sqrt{1+2 \sin x}+\sqrt{2 \sin x-1});

(6)

d(5sh⁡7(x35)+7sh⁡5(x35))d\left(5 \operatorname {sh}^{7}\left(\frac{x}{35}\right)+7 \operatorname {sh}^{5}\left(\frac{x}{35}\right)\right);

(7)

d(arcsin⁡x1−x2+ln⁡1−x1+x)d\left(\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right);

(8)

d(ln⁡1+sin⁡x1−sin⁡x+2arctg⁡sin⁡x)d\left(\ln \frac{1+\sqrt{\sin x}}{1-\sqrt{\sin x}}+2 \operatorname {arctg} \sqrt{\sin x}\right);

(9)

d(xx2)d\left(x^{x^{2}}\right).

Задача 1.13.214

Найти дифференциал в указанных точках:

?
(1)

d(1x+ln⁡x−1x),x=−1d\left(\frac{1}{x}+\ln \frac{x-1}{x}\right), x = -1;

(2)

darctg⁡ln⁡xx,x1=1e,x2=ed \operatorname {arctg} \frac{\ln x}{x}, x_{1} = \frac{1}{e}, x_{2} = e;

(3)

d((2x−1)32+3x(5x+4)21−x3),x=0d\left(\frac{(2 x-1)^{3} \sqrt{2+3 x}}{(5 x+4)^{2} \sqrt[3]{1-x}}\right), x = 0

(4)

d(x22xxx),x1=1,x2=2d\left(\frac{x^{2} 2^{x}}{x^{x}}\right), x_{1} = 1, x_{2} = 2.

Задача 1.13.215

В указанных точках найти дифференциал функции y=y(x)y = y(x), заданной неявным или параметрическими уравнениями:

?
(1)

y3−y=6x2,(1;2)y^{3}-y = 6 x^{2},(1 ; 2);

(2)

x4+y4−8x2−10y2+16=0,(1;3)x^{4}+y^{4}-8 x^{2}-10 y^{2}+16 = 0,(1 ; 3);

(3)

y5+x4=xy2,(x0;y0)y^{5}+x^{4} = x y^{2},\left(x_{0} ; y_{0}\right);

(4)

x+yln⁡y=0,(x0;y0)x+y \ln y = 0,\left(x_{0} ; y_{0}\right);

(5)

xy−xy2+63=0,(2;1)x y-\sqrt[3]{x y^{2}+6} = 0,(2 ; 1);

(6)

xe(x/y2−1)−2y=0,(4;2)x e^{\left(x / y^{2}-1\right)}-2 y = 0,(4 ; 2);

(7)

3sin⁡yx2−3x(y−π)−1=0,(1;π)3^{\sin y x^{2}}-3 x(y-\pi )-1 = 0,(1 ; \pi );

(8)

4xy3+ln⁡x/(x+y)3=0,(1;0)4 x y^{3}+\ln \sqrt[3]{x /(x+y)} = 0,(1 ; 0)

(9)

x=(t−1)2(t−2),y=(t−1)2(t−3),(4;0)x = (t-1)^{2}(t-2), y = (t-1)^{2}(t-3),(4 ; 0);

(10)

x=et/t,y=(t−1)2et,(−2/e;9/(4e))x = e^{t} / t, y = (t-1)^{2} e^{t},(-2 / \sqrt{e} ; 9 /(4 \sqrt{e})).

Задача 1.13.216

В точке (0;a)(0 ; a) найти дифференциал функции y=y(x)y = y(x), заданной в полярной системе координат уравнением r=a(1+cos⁡φ)r = a(1+\cos \varphi ), 0<φ<π0 < \varphi < \pi.

?
Задача 1.13.217

Найти дифференциал функции yy, считая известными дифференциалы функций uu и vv :

?
(1)

y=u2vy = u^{2} v

(2)

y=u2/vy = u^{2} / v

(3)

y=uv/(u2+v2)y = u v /\left(u^{2}+v^{2}\right)

(4)

y=euvy = e^{u v}

(5)

y=u2+v2y = \sqrt{u^{2}+v^{2}};

(6)

y=ln⁡tg⁡(v/u)y = \ln \operatorname {tg}(v / u)

(7)

y=uvy = u^{v}.

Задача 1.13.218

Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное значение функции y=y(x)y = y(x) в указанных точках:

?
(1)

y=x3y = \sqrt[3]{x} a) x=65x = 65 б) x=125,1324x = 125,1324

(2)

y=x4y = \sqrt[4]{x} a) x=90x = 90 б) x=15,8x = 15,8

(3)

y=sin⁡xy = \sin x a) x=29∘x = 29^{\circ } б) x=359∘x = 359^{\circ }

(4)

y=tg⁡x,x=44∘50′y = \operatorname {tg} x, x = 44^{\circ } 50^{\prime }

(5)

y=arcsin⁡x,x=0,51y = \arcsin x, x = 0,51;

(6)

y=arctg⁡x,x=1,05y = \operatorname {arctg} x, x = 1,05;

(7)

y=ln⁡tg⁡x,x=47∘15′y = \ln \operatorname {tg} x, x = 47^{\circ } 15^{\prime };

(8)

y=2−x2+x,x=0,15y = \sqrt{\frac{2-x}{2+x}}, x = 0,15.

Задача 1.13.219

Доказать, что для всех малых по сравнению с x0x_{0} значений Δx\Delta x верна приближенная формула

x0+Δxn≈x0n+x0nnx0Δx,x0>0 \sqrt[n]{x_{0}+\Delta x} \approx \sqrt[n]{x_{0}}+\frac{\sqrt[n]{x_{0}}}{n x_{0}} \Delta x, \quad x_{0} > 0

C помощью этой формулы приближенно вычислить:

?
(1)

640\sqrt{640}

(2)

2003\sqrt[3]{200}

(3)

243,455\sqrt[5]{243,45}

(4)

100010\sqrt[10]{1000}

Задача 1.13.220

Определить, на сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус R=15R = 15 см увеличить на 0,2 см.

?
Задача 1.13.221

Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила 1%1 \%.

?
Задача 1.13.222

На сколько приблизительно изменится (в процентах) сила тока в проводнике, если его сопротивление увеличится на 1%1 \%?

?
Задача 1.13.223

На сколько приблизительно следует изменить длину маятника l=20 cml = 20 \mathrm{~ cm}, чтобы период колебаний маятника увеличился на 0,05c0,05 \mathrm{c}? Период TT определяется формулой T=2πl/gT = 2 \pi \sqrt{l / g}.

?