Банк задач по математике

Задача 1.9.1

(1)(2)(3)(4)

Определить, при каких положительных значениях $\delta$ из неравенства $0 < \left|x-x_{0}\right| < \delta$ следует неравенство $\left|f(x)-a\right| < \varepsilon$ , если:

?

(1)

$f(x) = x^{2} ; x_{0} = 2 ; a = 4 ; \varepsilon = 0,001$ ;

(2)

$f(x) = \frac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-2 x-3} ; x_{0} = 3 ; a = \frac{1}{2} ; \varepsilon = 0,01$ ;

(3)

$f(x) = \sin x ; x_{0} = \pi / 2 ; a = 1 ; \varepsilon = 0,01$ ;

(4)

$f(x) = \operatorname {sign} x ; x_{0} = 0 ; a = 1 ; \varepsilon = 1,5$ .

Задача 1.9.2

(1)(2)(3)(4)

Определить, при каких положительных значениях $\delta$ из неравенства $\left|x-1\right| < \delta$ следует неравенство:

?

(1)

$\left|\lg x\right| < 2$

(2)

$\left|\lg x\right| < 1$

(3)

$\left|\lg x\right| < 0,1$

(4)

$\left|\lg x\right| < 0,01$ .

Задача 1.9.3

Для каждого числа $\varepsilon > 0$ найти такое число $\delta > 0$ , при котором из неравенств $0 < \left|x-1\right| < \delta$ следует неравенство

\left|\frac{3 x^{2}-4 x+1}{x-1}-2\right| < \varepsilon

?

Задача 1.9.4

Для каждого числа $\varepsilon > 0$ найти такое число $\delta > 0$ , при котором из неравенств $0 < \left|x-3\right| < \delta$ следует неравенство

\left|\frac{x^{3}-3 x^{2}}{x-3}-9\right| < \varepsilon

?

Задача 1.9.5

При каких $\delta$ из неравенства $\left|x\right| > \delta$ следует неравенство $1 /(1+x^{2}) < \varepsilon$ , где $\varepsilon$ — некоторое положительное число?

?

Задача 1.9.6

При каких $\delta$ из неравенства $x < \delta$ следует неравенство $\operatorname {arctg} x + \pi / 2 < \varepsilon$ , где $\varepsilon$ — некоторое положительное число? Чему равен $\lim_{x \rightarrow -\infty } \operatorname {arctg} x?$

?

Задача 1.9.7

(1)(2)

Доказать, что $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ не существует, если:

?

(1)

$f(x) = \operatorname {arcctg}(1 / x)$ ;

(2)

$f(x) = \operatorname {sign} \sin (1 / x)$ .

Задача 1.9.8

(1)(2)

Доказать, что $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$ не существует, если:

?

(1)

$f(x) = \cos x$ ;

(2)

$f(x) = x-\mathbb {E}\left[x\right]$ .

Задача 1.9.9

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ не имеют предела в точке $x_{0}$ . Следует ли отсюда, что $f(x)+g(x)$ и $f(x) g(x)$ также не имеют предела в этой точке?

?

Задача 1.9.10

Доказать, что если для любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ , сходящейся к точке $x_{0}$ , последовательность $\left\{ f\left(x_{n}\right)\right\}$ сходится, то $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ существует.

?

Задача 1.9.11

Доказать, что если из любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ , сходящейся к точке $x_{0}$ , можно выделить подпоследовательность $\left\{ x_{n_{k}}\right\}$ , для которой $\lim_{k \rightarrow \infty } f\left(x_{n_{k}}\right) = a$ , то $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = a$ .

?

Задача 1.9.12

Доказать, что если функция $f(x)$ в точке $x_{0}$ имеет конечный предел, то $f(x) = O(1)$ при $x \rightarrow x_{0}$ .

?

Задача 1.9.13

Доказать, что если функция $f(x)$ удовлетворяет неравенству $f(x) \geqslant C, x \in (\alpha ; \beta ), x \neq x_{0} \in (\alpha ; \beta ), C$ — постоянная, и существует $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ , то справедливо неравенство

\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant C

?

Задача 1.9.14

Доказать, что если функция $f(x)$ в точке $x_{0}$ имеет конечный положительный предел, равный числу $a$ , то существует такой интервал $(\alpha ; \beta )$ , содержащий точку $x_{0}$ , что

f(x) > a / 2, \quad x \in (\alpha ; \beta ), \quad x \neq x_{0}

?

Задача 1.9.15

Доказать, что если на интервале $(\alpha ; \beta )$ , содержащем точку $x_{0}$ , справедливы неравенства

g_{1}(x) \leqslant f(x) \leqslant g_{2}(x), \quad x \neq x_{0},

и функции $g_{1}(x)$ и $g_{2}(x)$ в точке $x_{0}$ имеют один и тот же конечный предел, равный $a$ , то

\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) = a

?

Задача 1.9.16

(1)(2)(3)(4)

Сформулировать утверждения:

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow x_{0}-0} f(x) = a$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow x_{0}+0} f(x) = \infty$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow -\infty } f(x) = +\infty$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow \infty } f(x) = -\infty$ .

Задача 1.9.17

(1)(2)(3)(4)

Используя логические символы, записать утверждения:

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow -0} f(x) = 0$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow \infty } f(x) = 4$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 1+0} f(x) = -\infty$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow -\infty } f(x) = \infty$ .

Задача 1.9.18

(1)(2)(3)(4)

Используя логические символы, записать утверждения:

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow -0} f(x) \neq 0$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow \infty } f(x) \neq 4$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 1+0} f(x) \neq -\infty$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow -\infty } f(x) \neq \infty$ .

Задача 1.9.19

(1)(2)

Используя логические символы, записать утверждения:

?

(1)

функция $f(x)$ в точке $x_{0}$ имеет конечный предел;

(2)

функция $f(x)$ не имеет конечного предела в точке $x_{0}$ .

Задача 1.9.20

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+4 x-5}{x^{2}-1}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+4 x-5}{x^{2}-1}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{2 x^{2}-x-1}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^{3}+3 x^{2}+2 x}{x^{2}-x-6}$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x^{3}-3 x-2}$

(6)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}-2 x^{2}+x-1}{x^{3}-x^{2}+3 x-3}$

(7)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$

(8)

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-5 x^{2}+3 x+9}{x^{3}-8 x^{2}+21 x-18}$ .

Задача 1.9.21

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{7}+5 x^{6}+4 x^{3}}{x^{7}+2 x^{3}}$

(2)

$\lim_{x \rightarrow 7} \frac{2 x^{2}-11 x-21}{x^{2}-9 x+14}$

(3)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-x^{3}+x^{2}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-2 x+1}{x^{8}-2 x+1}$

(5)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{101}-101 x+100}{x^{2}-2 x+1}$

(6)

$\lim_{x \rightarrow -5} \frac{\left(x^{2}+2 x\right)^{2}-14\left(x^{2}+2 x\right)-15}{x^{4}-29 x^{2}+100}$

(7)

$\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{3}{1-x^{3}}+\frac{1}{x-1}\right)$ ;

(8)

$\lim_{x \rightarrow 2}\left(\frac{2}{2 x-x^{2}}+\frac{1}{x^{2}-3 x+2}\right)$ ;

(9)

$\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{2}-4 x+6}{x^{2}-5 x+4}+\frac{x-4}{3 x^{2}-9 x+6}\right)$ .

Задача 1.9.22

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{(x+5)^{5}+(x+6)^{5}+(x+7)^{5}}{x^{5}+5^{5}}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{(x+1)^{2}(3-7 x)^{2}}{(2 x-1)^{4}}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{\left(2 x^{3}+7 x-1\right)^{6}}{\left(2 x^{6}-13 x^{2}+x\right)^{3}}$

(4)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{\left(1+x^{11}+7 x^{13}\right)^{3}}{\left(1+x^{4}\right)^{10}}$

(5)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\frac{x^{3}+3 x^{2}}{x^{2}+1}-x\right)$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\frac{x^{2}}{2 x+1}+\frac{x^{3}+4 x^{2}-2}{1-2 x^{2}}\right)$ .

Задача 1.9.23

Найти предел функции. $\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{P_{n}(x)}{Q_{k}(x)}, P_{n}(x) = a_{0} x^{n}+\ldots +a_{n}, Q_{k}(x) = b_{0} x^{k}+\ldots +b_{k}-$ многочлены $a_{0} \neq 0, b_{0} \neq 0$ .

?

Задача 1.9.24

(1)(2)(3)(4)

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{x^{k}-1}, n, k \in \mathbb {N}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n+1}-x^{k+1}+x^{k}-n x+n-1}{(x-1)^{2}}, n, k \in \mathbb {N}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n-1}-1\right) \ldots \left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)\left(x^{2}-1\right) \ldots \left(x^{k}-1\right)}, n, k \in \mathbb {N}, k \leqslant n$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{n}{1-x^{n}}-\frac{k}{1-x^{k}}\right), n, k \in \mathbb {N}$ .

Задача 1.9.25

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 6} \frac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt[3]{1+x}-1}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[5]{x}}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sqrt{x^{2}+x+1}-2-x}{x^{2}}$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}}$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{7+2 x-x^{2}}-\sqrt{1+x+x^{2}}}{2 x-x^{2}}$ ;

(7)

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x^{2}-2 x+6}-\sqrt{x^{2}+2 x-6}}{x^{2}-4 x+3}$ ;

(8)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{\sqrt{1+2 x}-1}$ ;

(9)

$\lim_{x \rightarrow -8} \frac{\sqrt[3]{9+x}+x+7}{\sqrt[3]{15+2 x}+1}$ ;

(10)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[5]{2 x^{2}+10 x+1}-\sqrt[7]{x^{2}+10 x+1}}{x}$ .

Задача 1.9.26

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{1+14 x}{2 x+\sqrt[3]{x^{2}}}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{5 x^{6}-1}{\sqrt{x^{12}+5 x^{5}-1}}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{\sqrt{4 x^{2}+\sqrt{x^{3}+x^{4}}}}{\sqrt{x^{2}+4}}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{\sqrt{9 x^{2}+1}-\sqrt[3]{x^{2}-1}}{\sqrt[4]{x^{4}+1}-\sqrt[5]{x^{4}-1}}$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{\sqrt{x^{2}+6}+\left|x\right|}{\sqrt[6]{x^{4}+2}-\left|x\right|}$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{\sqrt[3]{1+4 / x}-\sqrt[4]{1+3 / x}}{1-\sqrt[5]{1-5 / x}}$ .

Задача 1.9.27

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x^{2}+1}\right)$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\sqrt{x^{4}+2 x^{2}-1}-\sqrt{x^{4}-2 x^{2}-1}\right)$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\sqrt{4 x^{4}+13 x^{2}-7}-2 x^{2}\right)$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}+4 x}-\sqrt[3]{x^{3}-3 x^{2}+4}\right)$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}}}}-\sqrt{x^{2}}\right)$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\sqrt{x^{4}+x^{2} \sqrt{x^{4}+1}}-\sqrt{2 x^{4}}\right)$ .

Задача 1.9.28

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[k]{x}-1}, n, k \in \mathbb {N}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{a+x}-\sqrt[n]{a-x}}{x}, n \in \mathbb {N}, a > 0$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+a x}-\sqrt[k]{1+b x}}{x}, n, k \in \mathbb {N}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt[n]{1+a x} \sqrt[k]{1+b x}-1}, n, k \in \mathbb {N}$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)^{n}-\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)^{n}}{x}, n \in \mathbb {N}$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\sqrt[n]{\left(1+x^{2}\right)\left(2+x^{2}\right) \ldots \left(n+x^{2}\right)}-x^{2}\right), n \in \mathbb {N}$ .

Задача 1.9.29

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{x}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname {tg} 4 x}{\sin x}$

(3)

$\lim_{x \rightarrow 0} x \operatorname {ctg} 5 x$

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x}, \beta \neq 0$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sin 6 x-\sin 7 x}$

(6)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2}{\sin 2 x \sin x}-\frac{1}{\sin^{2} x}\right)$ ;

(7)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 3 x^{3}-1}{\sin^{6} 2 x}$ ;

(8)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4 \sin (\pi / 6+x) \sin (\pi / 6+2 x)-1}{\sin x}$ ;

(9)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname {tg}(1+x) \operatorname {tg}(1-x)-\operatorname {tg}^{2} 1}{\operatorname {tg}^{2} x}$ .

Задача 1.9.30

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin 7 \pi x}{\sin 2 \pi x}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow \pi } \frac{\sin x}{\pi^{2}-x^{2}}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow \infty } x \sin \frac{\pi }{x}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow \infty } x^{2}\left(\cos \frac{1}{x}-\cos \frac{3}{x}\right)$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow \pi / 4} \frac{1-\operatorname {tg}^{2} x}{\sqrt{2} \cos x-1}$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow \pi / 6} \frac{\cos (2 \pi / 3-x)}{\sqrt{3}-2 \cos x}$ ;

(7)

$\lim_{x \rightarrow \pi / 2}\left(\frac{\pi }{\cos x}-2 x \operatorname {tg} x\right)$ ;

(8)

$\lim_{x \rightarrow \pi } \frac{1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x}{1+\cos x}$ .

Задача 1.9.31

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname {tg}^{2} x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\operatorname {tg} x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 \sin 3 x}-\sqrt{1-4 \sin 5 x}}{\sin 6 x}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname {tg} 3 x}{\sqrt{1+\sin^{2} 2 x}-\sqrt{1+\sin^{2} x}}$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{\cos 4 x}-\sqrt[3]{\cos 5 x}}{1-\cos 3 x}$

(6)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}}{\operatorname {tg} x^{2}}$

(7)

$\lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\sqrt[4]{\sin x}-\sqrt[3]{\sin x}}{\cos^{2} x}$

(8)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\sin \sqrt{x^{2}+1}-\sin \sqrt{x^{2}-1}\right)$ .

Задача 1.9.32

(1)(2)(3)(4)

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin 2 x}{x}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname {tg} 2 x-3 \arcsin 4 x}{\sin 5 x-6 \operatorname {arctg} 7 x}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi -4 \operatorname {arctg} 1 /(1+x)}{x}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\arcsin x}-\sqrt[3]{1+\operatorname {arctg} 2 x}}{\sqrt{1+\operatorname {arctg} 3 x}-\sqrt{1-\arcsin 4 x}}$ .

Задача 1.9.33

(1)(2)(3)(4)

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\frac{x}{2 x+1}\right)^{x^{2}}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{x /(2 x+1)}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\frac{x}{2 x+1}\right)^{x}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}$ .

Задача 1.9.34

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 10} \frac{\lg x-1}{x-10}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+3 x+x^{2}\right)+\ln \left(1-3 x+x^{2}\right)}{x^{2}}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow \infty } x \log_{2} \frac{10+x}{5+x}$

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-1-\sin x}{\ln (1+x)}$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \operatorname {tg}(\pi / 4+4 x)}{x}$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos 5 x}{\ln \cos 4 x}$

(7)

$\lim_{x \rightarrow 1 / 4} \frac{1-\operatorname {ctg} \pi x}{\ln \operatorname {tg} \pi x}$

(8)

$\lim_{x \rightarrow \infty } x^{2} \ln \cos \frac{\pi }{x}$ .

Задача 1.9.35

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{10^{x}-1}{2^{x}-1}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow \infty } x\left(3^{1 / x}-1\right)$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow \infty } x^{2}\left(4^{1 / x}-4^{1 /(x+1)}\right)$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{7 x}-e^{2 x}}{\operatorname {tg} x}$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin 5 x}-e^{\sin x}}{\ln (1+2 x)}$

(6)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-1}{\sqrt{1+\sin x^{2}}-1}$ ;

(7)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-\cos x}{\sin^{2} x}$ ;

(8)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+3 x}-\sqrt[5]{1+2 x}}{\sqrt{1+5 x}-\sqrt[4]{1+2 x}}$

Задача 1.9.36

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}\right)^{x^{2}}$

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0}(\sqrt{1+x}-x)^{1 / x}$

(3)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(1+3 x^{4}\right)^{1 / \sin^{2} x}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow \pi / 2}(1+\operatorname {ctg} x)^{\operatorname {tg} x}$

(5)

$\lim_{x \rightarrow 0}(\cos x)^{-1 / x^{2}}$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow \pi / 2}(\sin x)^{\operatorname {tg}^{2} x}$ ;

(7)

$\lim_{x \rightarrow 0}(\cos 6 x)^{\operatorname {ctg}^{2} x}$ ;

(8)

$\lim_{x \rightarrow 0}(\ln (e+x))^{\operatorname {ctg} x}$ ;

(9)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{x e^{x}+1}{x \pi^{x}+1}\right)^{1 / x^{2}}$

(10)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\cos x+\operatorname {arctg}^{2} x\right)^{1 / \operatorname {arctg} x^{2}}$ .

Задача 1.9.37

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname {sh} x}{x}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname {ch} 2 x-1}{\cos x-1}$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \operatorname {ch} 5 x}{x^{2}}$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname {sh} 3 x}-e^{\operatorname {sh} x}}{\operatorname {tg} x}$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow \infty }\left(x^{2}-\ln \operatorname {ch} x^{2}\right)$ ;

(6)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname {ch} 2 x}{\operatorname {ch} x}\right)^{1 / x^{2}}$ ;

(7)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x \operatorname {arctg} x}{\operatorname {ch} x}\right)^{1 / \operatorname {tg}^{2} x}$ ;

(8)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x \ln (1+x)}{1-x \arcsin x}\right)^{1 / \sin^{2} x}$ .

Задача 1.9.38

(1)(2)(3)(4)

Найти предел функции.

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{a^{a^{x}}-a^{x^{a}}}{a^{x}-x^{a}}, a > 0$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left(a^{x}-b^{x}\right)^{2}}{a^{x^{2}}-b^{x^{2}}}, a > 0, b > 0, a \neq b$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{2}}{2}\right)^{1 / x^{2}}, a > 0, b > 0$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}\right)^{1 / x}, a > 0, b > 0$ .

Задача 1.9.39

(1)(2)(3)(4)

Найти: а) $f(-0)$ ; б) $f(+0)$ ; если:

?

(1)

$f(x) = \frac{x-\left|x\right|}{2 x}$

(2)

$f(x) = \arccos (x-1)$ ;

(3)

$f(x) = e^{-1 / x^{2}}$

(4)

$f(x) = 2^{\operatorname {ctg} x}$ .

Задача 1.9.40

(1)(2)(3)(4)

Найти: а) $f\left(x_{0}-0\right)$ ; б) $f\left(x_{0}+0\right)$ ; если:

?

(1)

$f(x) = \frac{2\left(1-x^{2}\right)+\left|1-x^{2}\right|}{3\left(1-x^{2}\right)-\left|1-x^{2}\right|}, x_{0} = 1$ ;

(2)

$f(x) = \operatorname {sign} \cos x, x_{0} = \pi / 2$ ;

(3)

$f(x) = \operatorname {arctg} \operatorname {tg} x, x_{0} = \pi / 2$ ;

(4)

$f(x) = \frac{1}{x+3^{1 /(3-x)}}, x_{0} = 3$ .

Задача 1.9.41

(1)(2)(3)(4)

Найти: а) $f\left(x_{0}-0\right)$ ; б) $f\left(x_{0}+0\right)$ ; если:

?

(1)

$f(x) = \frac{1}{x-[x]}, x_{0} = -1$ ;

(2)

$f(x) = x+\left[x^{2}\right], x_{0} = 10$ ;

(3)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x^{n}}{1+x^{n}}, x_{0} = 1$ ;

(4)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{2 x^{n}-3}{x^{n}-1}, x_{0} = 1$ .

Задача 1.9.42

Найти: а) $\lim_{x \rightarrow -\infty } f(x)$ ; б) $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$ ; если:

?

(1)

$f(x) = \operatorname {arctg} x$ ;

(2)

$f(x) = \operatorname {arcctg} x$ ;

(3)

$f(x) = e^{x}$ ;

(4)

$f(x) = \arcsin \frac{1+x}{1-x}$ ;

(5)

$f(x) = \left(\frac{1+x}{1+2 x}\right)^{x}$ ;

(6)

$f(x) = \left(1+\frac{1}{\left|x\right|}\right)^{x}$ ;

(7)

$f(x) = \sqrt{1+7 x+x^{2}}-\sqrt{1-x+x^{2}}$ ;

(8)

$f(x) = \frac{\ln \left(1+4^{x}\right)}{x}$ .

Задача 1.9.43

Вычислить предел:

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow -\infty }\left(\sqrt{x^{2}+8 x+3}-\sqrt{x^{2}+4 x+3}\right)$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow -\infty }\left(x+\sqrt{\frac{x^{3}+2 x^{2}}{x+1}}\right)$ ;

(3)

$\lim_{x \rightarrow +\infty }\left(2 x-\sqrt{4 x^{2}-7 x+4}\right)$ ;

(4)

$\lim_{x \rightarrow -\infty } \arcsin \left(\sqrt{x^{2}+x}+x\right)$ ;

(5)

$\lim_{x \rightarrow +0} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x-x \cos \sqrt{x}}$

(6)

$\lim_{x \rightarrow +0}\left(\frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin 4 x-\cos 4 x}\right)^{1 / x}$ ;

(7)

$\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{\ln (2+\sqrt{x})}{\ln (6+\sqrt[6]{x})}$

(8)

$\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left(4+5 e^{6 x}\right)}{\ln \left(1+2 e^{3 x}\right)}$ ;

(9)

$\lim_{x \rightarrow +0} \frac{\arccos (1-x)}{\sqrt{x}}$ ;

(10)

$\lim_{x \rightarrow -1+0} \frac{\sqrt{\pi }-\sqrt{\arccos x}}{\sqrt{x+1}}$ .

Задача 1.9.44

Выяснить, какие из следующих функций являются бесконечно малыми:

?

(1)

$f(x) = \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{3}-x}, x \rightarrow 1$ ;

(2)

$f(x) = \sqrt{x^{2}+1}-x:$ a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(3)

$f(x) = \frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos \sqrt{x}}, x \rightarrow +0$ ;

(4)

$f(x) = \frac{1}{1+2^{x}}$ : a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(5)

$f(x) = \sin \ln \left(x^{2}+1\right)-\sin \ln \left(x^{2}-1\right), x \rightarrow \infty$ ;

(6)

$f(x) = \frac{\ln \left(x^{2}-x+1\right)}{\ln \left(x^{4}+x+1\right)}, x \rightarrow \infty$ .

Задача 1.9.45

Выяснить, какие из следуюших функций являются бесконечно большими:

?

(1)

$f(x) = \frac{1}{x^{3}-4 x^{2}+4 x}-\frac{1}{x^{2}-3 x+2}, x \rightarrow 2$ ;

(2)

$f(x) = x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$ a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(3)

$f(x) = \frac{\cos x}{\sqrt[3]{(1-\sin x)^{2}}}, x \rightarrow \frac{\pi }{2}$

(4)

$f(x) = \operatorname {ch} x-\operatorname {sh} x:$ a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(5)

$f(x) = \left(\frac{x+1}{2 x-1}\right)^{x}$ a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(6)

$f(x) = (1-x)^{1 / x^{2}}$ a) $x \rightarrow +0$ , б) $x \rightarrow -0$ .

Задача 1.9.46

Найти значения $\alpha$ и $\beta$ , при которых функция $f(x)$ является бесконечно малой:

?

(1)

$f(x) = \frac{x^{2}(x-1)}{(x+1)^{2}}-\alpha x-\beta , x \rightarrow \infty$ ;

(2)

$f(x) = \sqrt{4 x^{2}+x+1}-\alpha x-\beta$ : a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(3)

$f(x) = \sqrt[3]{x^{2}-x^{3}}-\alpha x-\beta , x \rightarrow \infty$ ;

(4)

$f(x) = \frac{x e^{x}}{e^{x}-1}-\alpha x-\beta$ : а) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(5)

$f(x) = (x+4) e^{1 / x}-\alpha x-\beta :$ a) $x \rightarrow \infty$ , б) $x \rightarrow -0$ ;

(6)

$f(x) = \ln \left(1+e^{3 x}\right)-\alpha x-\beta$ : a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(7)

$f(x) = x \operatorname {arctg} x-\alpha x-\beta$ : a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ .

Задача 1.9.47

(1)(2)(3)(4)

Найти значения $\alpha$ и $\beta$ , при которых функция $f(x)$ является бесконечно малой при $x \rightarrow +0$ :

?

(1)

$f(x) = x^{\alpha } \sin \frac{1}{x^{\beta }} ;$

(2)

$f(x) = \frac{\ln \left(1+x^{\alpha }\right)}{x^{\beta }}$ ;

(3)

$f(x) = x^{\alpha } \operatorname {arctg} \frac{1}{x^{\beta }}$ ;

(4)

$f(x) = \left(1-x^{\alpha }\right)^{x^{\beta }}$ .

Задача 1.9.48

Показать, что $f(x)$ бесконечно малая функция при $x \rightarrow 0$ , и найти функцию $g(x)$ вида $A x^{n}$ такую, что $f(x) \sim g(x)$ при $x \rightarrow 0$ :

?

(1)

$f(x) = 3 \sin^{2} x^{2}-5 x^{5}$ ;

(2)

$f(x) = \sqrt{4-x^{4}}+x^{2}-2$ ;

(3)

$f(x) = 1-x^{4}-\cos x^{2}$ ;

(4)

$f(x) = 2 \sin x-\operatorname {tg} 2 x$ ;

(5)

$f(x) = \sin \left(\sqrt{x^{2}+9}-3\right)$ ;

(6)

$f(x) = 2^{x^{2}}-1$ .

Задача 1.9.49

Показать что $f(x)$ бесконечно большая функция при $x \rightarrow x_{0}$ и найти функцию $g(x)$ вида $A x^{n}$ такую, что $f(x) \sim g(x)$ при $x \rightarrow x_{0}$ :

?

(1)

$f(x) = \frac{x^{5}}{2 x^{2}+x+1}, x_{0} = \infty$ ;

(2)

$f(x) = \sqrt{x^{4}+x+1}, x_{0} = \infty$ ;

(3)

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}, x_{0} = +\infty$ ;

(4)

$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-2 \sqrt{x+1}+\sqrt{x}}, x_{0} = +\infty$ ;

(5)

$f(x) = (\sqrt{1+2 x}-1) \operatorname {ctg}^{2} x^{3}, x_{0} = 0$ ;

(6)

$f(x) = \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}}{x^{5}}, x_{0} = 0$ .

Задача 1.9.50

(1)(2)(3)(4)

Установить, какие из следующих утверждений верны:

?

(1)

$x^{2} = o(x)$ при: а) $x \rightarrow 0$ , б) $x \rightarrow \infty$ ;

(2)

$x = o\left(x^{2}\right)$ при: a) $x \rightarrow 0$ б) $x \rightarrow \infty$

(3)

$\sqrt{x^{2}+x}-x = o(1)$ при: а) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ ;

(4)

$\ln \left(1+e^{x}\right) = o(1)$ при: a) $x \rightarrow +\infty$ , б) $x \rightarrow -\infty$ .

Задача 1.9.51

(1)(2)

Пусть $x \rightarrow 0, n \in \mathbb {N}, k \in \mathbb {N}, n \geqslant k$ . Показать, что:

?

(1)

$o\left(x^{n}\right)+o\left(x^{k}\right) = o\left(x^{k}\right)$

(2)

$o\left(x^{n}\right) \cdot o\left(x^{k}\right) = o\left(x^{n+k}\right)$ .

Задача 1.9.52

(1)(2)(3)(4)

Найти функцию $g(x)$ вида $A x^{n}$ такую, что $f(x) \sim g(x)$ при $x \rightarrow x_{0}$ :

?

(1)

$f(x) = \frac{x^{2} \operatorname {arctg} x}{x^{5}+x^{2}+1}, x_{0} = 0, x_{0} = +\infty$ ;

(2)

$f(x) = \sqrt{x^{2}+1}-x, x_{0} = +\infty , x_{0} = -\infty$ ;

(3)

$f(x) = \sqrt[3]{1+x^{2}}-\sqrt[3]{1-x^{2}}, x_{0} = 0, x_{0} = \infty$ ;

(4)

$f(x) = \frac{\sin (1 /(x+1))}{\sqrt[3]{x+\sqrt{x}}}, x_{0} = 0, x_{0} = \infty$ .

Задача 1.9.53

Установить, какие из следующих утверждений верны при $x \rightarrow \infty$ :

?

(1)

$100 x+x \sin x = O(x)$ ;

(2)

$x = O(100 x+x \sin x)$ ;

(3)

$x+x \sin x = O(x)$ ;

(4)

$x = O(x+x \sin x)$ ;

(5)

$\sqrt{x^{2}+1}-\left|x\right| = O(1 / x)$ ;

(6)

$1 / x = O\left(\sqrt{x^{2}+1}-\left|x\right|\right)$ .

Задача 1.9.54

Доказать, что при $x \rightarrow x_{0}$ :

?

(1)

$O(O(f)) = O(f)$ ;

(2)

$o(O(f)) = o(f)$ ;

(3)

$O(o(f)) = o(f)$ ;

(4)

$o(f)+O(f) = O(f)$ ;

(5)

$o(f) \cdot O(f) = o\left(f^{2}\right)$ .

Задача 1.9.55

(1)(2)

Пусть $x \rightarrow 0, n \in \mathbb {N}, k \in \mathbb {N}, n > k$ . Показать, что:

?

(1)

$O\left(x^{n}\right)+O\left(x^{k}\right) = O\left(x^{k}\right)$ ;

(2)

$O\left(x^{n}\right) \cdot O\left(x^{k}\right) = O\left(x^{n+k}\right)$ .

Задача 1.9.56

(1)(2)

Пусть $x \rightarrow \infty , n \in \mathbb {N}, k \in \mathbb {N}, n > k$ . Показать, что:

?

(1)

$O\left(x^{n}\right)+O\left(x^{k}\right) = O\left(x^{n}\right)$ ;

(2)

$O\left(x^{n}\right) \cdot O\left(x^{k}\right) = O\left(x^{n+k}\right)$ .

Задача 1.9.57

Определить, при каких значениях $\alpha$ и $\beta$ функции $f(x)$ и $g(x) = \alpha x^{\beta }$ эквивалентны:

?

(1)

$f(x) = \sqrt{2 x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$ ; а) $x \rightarrow +0$ , б) $x \rightarrow +\infty$ ;

(2)

$f(x) = \sqrt{1-2 x}-\sqrt[3]{1-3 x}, x \rightarrow 0$ ;

(3)

$f(x) = 2 e^{x^{4}}+(\cos x-1)^{2}+x^{5}-2, x \rightarrow 0$

(4)

$f(x) = \sin^{2} 2 x+\arcsin 2 x+2 \operatorname {arctg} x^{2}, x \rightarrow 0$ ;

(5)

$f(x) = 1-\cos (1-\cos (1 / x)), x \rightarrow \infty$ ;

(6)

$f(x) = E(1 / x), x \rightarrow \infty$ .

Задача 1.9.58

(1)(2)(3)(4)

Вычислить:

?

(1)

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\operatorname {arctg}(2-x)+\sin (x-2)^{2}}{x^{2}-4}$ ;

(2)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{1+x^{2}}+x^{3}-1}{\ln \cos x}$

(3)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}(\sqrt[3]{1+3 x}-1)+\sin^{3} x}{1-\sqrt{1+x^{3}}}$

(4)

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sin 2 x-2 \operatorname {tg} x)^{2}+(1-\cos 2 x)^{3}}{\operatorname {tg}^{7} 6 x+\sin^{6} x}$ .

Задача 1.9.59

(1)(2)

Пусть $\lim_{t \rightarrow t_{0}} \varphi (t) = a$ , причем $\varphi (t) \neq a$ при $t \neq t_{0}$ в некоторой окрестности точки $t_{0}$ . Доказать, что:

?

(1)

если $f(x) = o(g(x))$ при $x \rightarrow x_{0}$ , то $f(\varphi (t)) = o(g(\varphi (t)))$ при $t \rightarrow t_{0}$

(2)

если $f(x) = O(g(x))$ при $x \rightarrow x_{0}$ , то $f(\varphi (t)) = O(g(\varphi (t)))$ при $t \rightarrow t_{0}$ .

Задача 1.9.60

Найти $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x), x \in \mathbb {R}$ , если

f(x) = \begin{cases} 1 / q \text{ при } x = p / q \\ 0 \text{ при } x \text{ иррациональном, } \end{cases}

где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа.

?

Задача 1.9.61

Пусть $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = a$ и $\lim_{t \rightarrow t_{0}} g(t) = x_{0}$ . Следует ли отсюда, что $\lim_{t \rightarrow t_{0}} f(g(t)) = a$ ?

?

Задача 1.9.62

Доказать, что если функция $f(x), x \in \left(x_{0} ;+\infty \right)$ , ограниченна в каждом интервале $\left(x_{0} ; x_{1}\right)$ и существует конечный или бесконечный то

\lim _{x \rightarrow +\infty } \frac{f(x+1)-f(x)}{x^{n}} \quad (n = 0,1,2, \ldots )

\lim _{x \rightarrow +\infty } \frac{f(x)}{x^{n+1}} = \frac{1}{n+1} \lim _{x \rightarrow +\infty } \frac{f(x+1)-f(x)}{x^{n}}

?

Задача 1.9.63

(1)(2)(3)(4)

Найти $\varlimsup_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ и $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ , если:

?

(1)

$f(x) = e^{\cos \left(1 / x^{2}\right)}$

(2)

$f(x) = \frac{1}{x^{2}} \sin^{2} \frac{1}{x}$

(3)

$f(x) = \operatorname {arcctg} \frac{1}{x}$

(4)

$f(x) = \sqrt{1 / x^{2}-1 / x}-1 / x$ .

Задача 1.9.64

(1)(2)(3)(4)

Найти $\varlimsup_{n \rightarrow \infty } f(x)$ и $\varliminf_{n \rightarrow \infty } f(x)$ , если:

?

(1)

$f(x) = \frac{\pi }{2} \cos^{2} x+\operatorname {arctg} x ;$

(2)

$f(x) = \frac{1+x+6 x^{2}}{1-x+2 x^{2}} \sin x^{2}$ ;

(3)

$f(x) = \left(\sqrt{4 x^{2}+x+1}-\sqrt{4 x^{2}-x+1}\right)(1+\cos 2 x)$ ;

(4)

$f(x) = \left(1+\cos^{2} x\right)^{1 / \cos^{2} x}$ .

Задача 1.9.65

Доказать, что

\varlimsup _{n \rightarrow \infty }(\cos x+\sin \sqrt{2} x) = 2.

?

Предел функции