Банк задач по математике

Задача 1.10.1

Пусть функция $f$ определена в окрестности точки $x_{0}$ . Ее приращение $\Delta f$ является бесконечно малой функцией приращения аргумента $\Delta x$ при $\Delta x \rightarrow 0$ . Верно ли, что функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ ? Верно ли обратное?

?

Задача 1.10.2

Пусть функция $f$ определена в окрестности точки $x_{0}$ . Сформулировать на "языке $\varepsilon -\delta$ " отрицание того, что: а) $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = f\left(x_{0}\right)$ ; б) $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta f = 0$ .

?

Задача 1.10.3

а) Пусть функция $f$ определена на промежутке $\left(a ; x_{0}\right]$ . Сформулировать на "языке $\varepsilon$ - $\delta$ " отрицание того, что $f$ непрерывна слева в точке $x_{0}$ . б) Пусть функция $f$ определена на промежутке $\left[x_{0} ; b\right)$ . Сформулировать на "языке $\varepsilon -\delta$ " отрицание того, что $f$ непрерывна справа в точке $x_{0}$ .

?

Задача 1.10.4

Пусть функция $f$ определена в окрестности точки $x_{0}$ . Может ли функция быть непрерывной в точке $x_{0}$ справа и быть не непрерывной в ней слева?

?

Задача 1.10.5

Доказать, что функция $y(x)$ непрерывна в каждой точке своей области определения, если:

?

(1)

$y = 2 x-1$ ;

(2)

$y = x^{2}$ ;

(3)

$y = \sqrt{x}$ ;

(4)

$y = 1 / x$ ;

(5)

$y = a x+b, a \neq 0$ ;

(6)

$y = \left|x\right|$ ;

(7)

$y = x^{3}$ ;

(8)

$y = \sqrt[3]{x}$ ;

(9)

$y = 1 / x^{2}$ .

Задача 1.10.6

(1)(2)(3)

Доказать, пользуясь неравенством $\left|\sin x\right| \leqslant \left|x\right|$ , непрерывность функции $y$ в каждой точке области определения, если:

?

(1)

$y = \sin x$ ;

(2)

$y = \cos x$ ;

(3)

$y = \sin (a x+b)$ .

Задача 1.10.7

(1)(2)

Сформулировать на "языке $\varepsilon -\delta$ " определение непрерывной:

?

(1)

слева;

(2)

справа в точке $x_{0}$ функции; и записать его, используя символы $\exists , \forall$ .

Задача 1.10.8

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

функция $\sqrt[4]{1-x}$ непрерывна в каждой точке $x_{0} < 1$ и непрерывна слева в точке $x_{0} = 1$ ;

(2)

функция $x \mathbb {E}\left[x\right]$ непрерывна справа в каждой точке $x_{0} = n$ , $n \in \mathbb {Z}$ .

Задача 1.10.9

Доказать, пользуясь свойствами предела и результатами задач 5,6, непрерывность функции $y(x)$ в каждой точке области определения, если:

?

(1)

$y = \frac{2 x-1}{x^{2}+2}$

(2)

$y = \operatorname {tg} x$

(3)

$y = x^{2}+2 \sin x$

(4)

$y = \sqrt{x} \sin 2 x$ ;

(5)

$y = x^{n}, n \in \mathbb {N}$ ;

(6)

$y = 1 / x^{n}, n \in \mathbb {N}$ .

Задача 1.10.10

Доказать, пользуясь монотонностью функции $y = a^{x}, x \in \mathbb {R}$ , и тем, что $\lim_{n \rightarrow \infty } a^{1 / n} = 1$ (см. § 8, пример 9 и задачу 60), непрерывность в каждой точке $x \in \mathbb {R}$ функции $y = a^{x}, x \in \mathbb {R}$ .

?

Задача 1.10.11

Функция $f$ определена в окрестности точки $x_{0}$ , кроме самой точки $x_{0}$ . Доопределить функцию $f$ , задав $f\left(x_{0}\right)$ так, чтобы получившаяся функция была непрерывна в точке $x_{0}$ , если:

?

(1)

$f(x) = \frac{x^{2}-1}{x+1}, x_{0} = -1$ ;

(2)

$f(x) = \frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}, x_{0} = 1$

(3)

$f(x) = \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}, x_{0} = 0$ ;

(4)

$f(x) = \frac{\sin x}{x}, x_{0} = 0$ ;

(5)

$f(x) = x \operatorname {ctg} x, x_{0} = 0$ ;

(6)

$y = \frac{1-\cos x}{x^{2}}, x_{0} = 0$ .

Задача 1.10.12

Сформулировать определение непрерывной в точке функции, используя определение предела функции по Гейне (т. е. на языке последовательностей).

?

Задача 1.10.13

Доказать, что если функция непрерывна в точке, то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки.

?

Задача 1.10.14

Пусть функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ и $f\left(x_{0}\right) \neq 0$ . Доказать, что существуют число $C > 0$ и окрестность точки $x_{0}$ такие, что для любого $x$ из этой окрестности верно неравенство $\left|f(x)\right| \geqslant C$ .

?

Задача 1.10.15

Функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ , и в любой окрестности этой точки имеются как значения $x$ , в которых функция положительна, так и значения $x$ , в которых функция отрицательна. Найти $f\left(x_{0}\right)$ .

?

Задача 1.10.16

Пусть функция определена в окрестности точки $x_{0}$ . Сформулировать, используя символы $\exists , \forall$ , утверждение, что функция не является непрерывной в точке $x_{0}$ .

?

Задача 1.10.17

Доказать, что функция $f$ не является непрерывной в точке $x_{0}$ ; построить график этой функции, если:

?

(1)

$f(x) = \begin{cases} x+1, & x > 0, \\ x^{2}, & x \leqslant 0,\end{cases} \quad x_{0} = 0 ;$

(2)

$f(x) = \begin{cases} 1 / x, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0,\end{cases} \quad x_{0} = 0$

(3)

$f(x) = \operatorname {sign}(x+1), x_{0} = -1$ ;

(4)

$f(x) = \begin{cases} 1 / x^{2}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0,\end{cases} \quad x_{0} = 0 ;$

(5)

$f(x) = \mathbb {E}\left[x\right], x_{0} = 2$ .

Задача 1.10.18

Найти точки разрыва функции, установить их род, найти скачки функции в точках разрыва 1-го рода, построить график функции:

?

(1)

$f(x) = \begin{cases} 1/(x-1), & x < 0, \\ (x+1)^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 2, \\ 1-x, & 2 < x; \end{cases}$

(2)

$y = \dfrac {\left|x+2\right|}{x+2}$ ;

(3)

$y = \frac{1}{x^{2}-4}$ ;

(4)

$y = \frac{\left|x-1\right|}{x^{2}-x^{3}}$ ;

(5)

$y = x-\mathbb {E}\left[x\right]$ ;

(6)

$y = \frac{1}{x-\mathbb {E}\left[x\right]}$ ;

(7)

$y = \frac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{x^{2}-x}$ ;

(8)

$y = \frac{2 \operatorname {sign}(1-x)}{(\operatorname {sign}(x+1))^{2}(x+1+(x-1) \operatorname {sign} x)}$ ;

(9)

$y = \frac{1}{\cos x}$ ;

(10)

$y = \frac{x}{\sin x}$ .

Задача 1.10.19

(1)(2)(3)(4)

Установить, существует или не существует значение $a$ , при котором функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ , если:

?

(1)

$f(x) = \begin{cases} x \sin (1 / x), & x \neq 0, \\ a, & x = 0, \quad x_{0} = 0 ;\end{cases}$

(2)

$f(x) = \begin{cases} \frac{1+x}{1+x^{3}}, & x \neq -1, \\ a, & x = -1,\end{cases} \quad x_{0} = -1 ;$

(3)

$f(x) = \begin{cases} a x^{2}+1, & x \neq 0, \quad x_{0} = 0 ; \\ -x, & x \leqslant 0,\end{cases}$

(4)

$f(x) = \begin{cases} \cos x, & x \leqslant 0, \\ a(x-1), & x > 0, \quad x_{0} = 0.\end{cases}$

Задача 1.10.20

(1)(2)(3)(4)

Установить, существуют или не существуют значения $a$ и $b$ , при которых функция $f$ непрерывна на своей области определения, если:

?

(1)

$f(x) = \begin{cases} (x-1)^{3}, & x \leqslant 0 \\ a x+b, & 0 < x < 1 \\ \sqrt{x}, & x \geqslant 1\end{cases}$

(2)

$f(x) = \begin{cases} x, & \left|x\right| \leqslant 0, \\ x^{2}+a x+b, & \left|x\right| > 1\end{cases}$

(3)

$f(x) = \begin{cases} \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}-1}, & \left|x\right| \neq 1 \\ a, & x = -1 \\ b, & x = 1\end{cases}$

(4)

$f(x) = \begin{cases} \frac{x \cos (x / 2)}{\sin x}, & x \in \left[-\frac{\pi }{2} ; \frac{3 \pi }{2}\right], x \neq 0, \quad x \neq \pi , \\ a, & x = 0, \\ b, & x = \pi .\end{cases}$

Задача 1.10.21

Доказать, что если функция монотонна, то всякая ее точка разрыва является точкой разрыва 1-го рода.

?

Задача 1.10.22

Доказать, что функция

f(x) = \begin{cases} 1, & \text{ если } & x \text{ — рациональное число, } \\ 0, & \text{ если } & x \text{ — иррациональное число, } \end{cases}

разрывна в каждой точке.

?

Задача 1.10.23

Доказать, что функция

f(x) = \begin{cases} x, & \text{ если } & x \text{ — рациональное число, } \\ 0, & \text{ если } & x \text{ — иррациональное число } \end{cases}

непрерывна в точке $x = 0$ и разрывна в остальных точках.

?

Задача 1.10.24

Доказать непрерывность функции в каждой точке ее области определения:

?

(1)

$y = 3 x^{5}+1 / x^{3}$

(2)

$y = \operatorname {sh} x$

(3)

$y = \sqrt[3]{x^{2}-6 x^{3}}$

(4)

$y = \frac{\sin x^{2}}{x^{4}+2 x^{2}}$ ;

(5)

$y = \cos \left(x-\sqrt{1-x^{2}}\right)$ ;

(6)

$y = x e^{(\sin x) / x}$ .

Задача 1.10.25

(1)(2)(3)(4)

Исследовать на непрерывность функции $f(g(x))$ и $g(f(x))$ в точках, где определены эти композиции, если:

?

(1)

$f(x) = \operatorname {sign} x, g(x) = 1+x^{2}$ ;

(2)

$f(x) = \operatorname {sign} x, g(x) = x^{3}-x$ ;

(3)

$f(x) = \operatorname {sign}(x-1), g(x) = \operatorname {sign}(x+1)$ ;

(4)

$f(x) = \operatorname {sign} x, g(x) = 1+x-\mathbb {E}\left[x\right]$ .

Задача 1.10.26

Доказать, что многочлен — непрерывная в каждой точке функция.

?

Задача 1.10.27

Доказать, что функция $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , где $P$ и $Q$ — ненулевые многочлены, непрерывна в каждой точке $x_{0}$ , где $Q\left(x_{0}\right) \neq 0$ .

?

Задача 1.10.28

(1)(2)

?

(1)

Функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ , а функция $g$ разрывна в точке $x_{0}$ . Доказать, что функция $f+g$ разрывна в этой точке.

(2)

Привести пример разрывных в точке $x_{0}$ функций $f$ и $g$ , сумма которых: а) разрывна в точке $x_{0}$ ; б) непрерывна в точке $x_{0}$ .

Задача 1.10.29

(1)(2)

?

(1)

Привести пример непрерывной в точке $x_{0}$ функции $f$ и разрывной в точке $x_{0}$ функции $g$ , произведение которых: a) разрывно в точке $x_{0}$ ; б) непрерывно в точке $x_{0}$ .

(2)

Привести пример разрывных в точке $x_{0}$ функции $f$ и $g$ , произведение которых: а) разрывно в точке $x_{0}$ , б) непрерывно в точке $x_{0}$ .

Задача 1.10.30

Привести пример непрерывных в точке $x_{0}$ функций $f$ и $g$ , частное $f / g$ которых разрывно в точке $x_{0}$ .

?

Задача 1.10.31

Доказать правило замены переменной для пределов непрерывных функций: пусть функция $y = g(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$ , а функция $f(y)$ непрерывна в точке $y_{0} = g\left(x_{0}\right)$ , тогда

\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x)) = \lim _{y \rightarrow y_{0}} f(y)

?

Задача 1.10.32

Доказать перестановочность знака предела и знака непрерывной функции: пусть для функции $y = g(x)$ существует предел $\lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x) = y_{0}$ , а функция $f(y)$ непрерывна в точке $y_{0}$ ; тогда в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , исключая, быть может, саму эту точку, определена композиция $f(g(x))$ и существует

\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x)) = f\left(\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)\right) = f\left(y_{0}\right)

?

Задача 1.10.33

(1)(2)(3)

Исходн из непрерывности показательной функции доказать непрерывность гиперболических функций:

?

(1)

$y = \operatorname {ch} x$

(2)

$y = \operatorname {th} x$

(3)

$y = \operatorname {cth} x$ .

Задача 1.10.34

Исходя из непрерывности показательной функции доказать непрерывность логарифмической функции $y = \log_{a} x, a > 0, a \neq 1$ .

?

Задача 1.10.35

(1)(2)(3)(4)

Исходн из непрерывности тригонометрических функций доказать непрерывность обратных тригонометрических функций:

?

(1)

$y = \arcsin x$

(2)

$y = \arccos x$ ;

(3)

$y = \operatorname {arctg} x$ ;

(4)

$y = \operatorname {arcctg} x$ .

Задача 1.10.36

Исходя из непрерывности показательной функции доказать непрерывность степенной функции $y = x^{\mu }(x > 0, \mu \in \mathbb {R})$ .

?

Задача 1.10.37

Доказать, что если $y = f(x)$ — непрерывная функция, то непрерывны и функции $y = \left|f(x)\right|, y = f(\left|x\right|)$ .

?

Задача 1.10.38

Пусть $f$ — непрерывная на промежутке $X$ функция. Доказать, что функции

$f_{+}(x) = \begin{cases} f(x), & \text{ если } f(x) > 0, \\ 0, & \text{ если } f(x) \leqslant 0,\end{cases} \quad f_{-}(x) = \begin{cases} 0, & \text{ если } f(x) \geqslant 0, \\ f(x), & \text{ если } f(x) < 0,\end{cases}$ непрерывны на промежутке $X$ .

?

Задача 1.10.39

Привести пример функции, непрерывной на каждом из промежутков $X_{1}$ и $X_{2}$ , но не являющейся непрерывной на множестве $X_{1} \cup X_{2}$ .

?

Задача 1.10.40

(1)(2)

Привести пример непрерывной на интервале функции:

?

(1)

неограниченной на этом интервале;

(2)

ограниченной на этом интервале, но не достигающей ни своей верхней, ни нижней грани.

Задача 1.10.41

(1)(2)(3)

?

(1)

Функция $f$ определена и непрерывна на отрезке $[a ; b]$ , и все ее значения положительны. Доказать, что существует число $\mu > 0$ такое, что $f(x) \geqslant \mu$ для любого $x \in [a ; b]$ .

(2)

Привести пример функции $f$ , непрерывной на интервале $(a ; b)$ , принимающей лишь положительные значения и такой, что для любого $\mu > 0$ найдется значение $f(x) < \mu , x \in (a ; b)$ .

(3)

Привести пример функции $f$ , определенной на отрезке $[a ; b]$ , принимающей лишь положительные значения и такой, что для любого $\mu > 0$ найдется значение функции $f(x) < \mu , x \in (a ; b)$ .

Задача 1.10.42

Функция $f$ непрерывна на интервале $(a ; b)$ ,

m = \inf _{(a, b)} f, \quad M = \sup _{(a, b)} f

Доказать, что для любого $y \in (m ; M)$ существует $x \in (a ; b)$ , такое, что $f(x) = y$ .

?

Задача 1.10.43

Доказать, что если функция определена и непрерывна на отрезке, то множество ее значений — отрезок.

?

Задача 1.10.44

Привести пример разрывной функции, определенной на отрезке и имеющей в качестве множества значений отрезок.

?

Задача 1.10.45

Привести пример непрерывной функции, которая принимает значения, равные 1 и 3, но не принимает значения 2.

?

Задача 1.10.46

Пусть функция определена и монотонна на промежутке и множество ее значений — промежуток. Доказать, что эта функция непрерывна.

?

Задача 1.10.47

(1)(2)

Доказать, что уравнение $x^{5}-3 x = 1$ :

?

(1)

имеет хотя бы один корень на $(1 ; 2)$ ;

(2)

имеет не менее трех корней на $\mathbb {R}$ .

Задача 1.10.48

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень;

(2)

если многочлен четной степени принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициенту старшего члена, то он имеет не менее двух действительных корней.

Задача 1.10.49

Доказать, что уравнение $x = y-\varepsilon \sin y$ , где $0 < \varepsilon \leqslant 1$ , задает одну непрерывную функцию $y = f(x)$ .

?

Задача 1.10.50

Доказать, что разрывная функция $y = e^{\left|x\right|} \operatorname {sign} x$ имеет непрерывную обратную.

?

Задача 1.10.51

(1)(2)(3)

Доказать, что данная система уравнений определяет непрерывную функцию $y(x)$ или $x(y)$ ; построить график этой функции:

?

(1)

$x = \operatorname {arctg} t, y = \frac{1}{1+t^{2}}$ ;

(2)

$x = \operatorname {ch} t, y = \operatorname {sh} t$ ;

(3)

$x = \ln \left(1+e^{-t}\right), y = \ln \left(1+e^{t}\right)$ .

Задача 1.10.52

Доказать, что система уравнений

x = \left(t^{2}+1\right) / 2 t, \quad y = \left(t^{2}-1\right) / 2 t

определяет две непрерывные на $\mathbb {R}$ функции $x(y)$ и четыре непрерывные на множестве $\left\{ x:\left|x\right| \geqslant 1\right\}$ функции $y(x)$ .

?

Задача 1.10.53

Пусть функция $f$ определена в окрестности точки $x_{0}$ . Будет ли функцин $f$ непрерывной в точке $x_{0}$ , если:

?

(1)

$\exists \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \quad \left(\left|x-x_{0}\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| < \varepsilon \right)$ ;

(2)

$\forall \delta > 0 \quad \exists \varepsilon > 0 \quad \forall x \quad \left(\left|x-x_{0}\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| < \varepsilon \right)$ ;

(3)

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \quad \left(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| < \varepsilon \Rightarrow \left|x-x_{0}\right| < \delta \right)$ ;

(4)

$\forall \delta > 0 \quad \exists \varepsilon > 0 \quad \forall x \quad \left(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| < \varepsilon \Rightarrow \left|x-x_{0}\right| < \delta \right)$ ;

(5)

$\exists \varepsilon > 0 \forall \delta > 0 \forall x \quad \left(\left|x-x_{0}\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| < \varepsilon \right)$ ?

Задача 1.10.54

Функция $f$ определена в окрестности точки $x_{0}$ , и существует последовательность $\left\{ \varepsilon_{n}\right\}$ такая, что $\varepsilon_{n} > 0, n \in \mathbb {N}, \lim_{n \rightarrow \infty } \varepsilon_{n} = 0$ и для каждого $\varepsilon_{n}$ существует $\delta_{n} > 0$ такое, что если $x \in D(f)$ и $\left|x-x_{0}\right| < \delta_{n}$ , то $\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| < \varepsilon_{n}$ . Доказать, что функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ .

?

Задача 1.10.55

Функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ . Пусть

S(\delta ) = \sup _{\left(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta \right)} f, \quad s(\delta ) = \inf _{\left(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta \right)} f

Доказать, что $\lim_{\delta \rightarrow 0}(S(\delta )-s(\delta )) = 0$ .

?

Задача 1.10.56

Указать множество точек, в которых непрерывна функция, найти ее точки разрыва, установить их род, нарисовать график функции:

?

(1)

$y = \begin{cases} x^{2}+2, & x \leqslant 0 \\ x-1, & x > 0 \end{cases}$

(2)

$y = \begin{cases} 1-x^{3}, & x < 0 \\ (x-1)^{3}, & 0 \leqslant x \leqslant 2, \\ 4-x, & 2 < x\end{cases}$

(3)

$y = \begin{cases} -1 / x, & x < 0 \\ 5 x-x^{2}, & x \geqslant 0\end{cases}$

(4)

$y = \begin{cases} -x, & x \leqslant -1 \\ 2 /(x-1), & x > -1\end{cases}$

(5)

$y = \begin{cases} 2^{x}, & -1 \leqslant x < 1 \\ 1, & x = 1 \\ x-1, & 1 < x \leqslant \infty \end{cases}$

(6)

$y = \begin{cases} \cos x, & -\pi / 2 \leqslant x < \pi / 4 \\ 1, & x = \pi / 4 \\ x^{2}-\pi^{2} / 16, & \pi / 4 < x \leqslant \pi \end{cases}$

Задача 1.10.57

Найти точки разрыва функции, установить их род, доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва.

?

(1)

$y = \frac{x}{x^{2}+x-6}$ ;

(2)

$y = \frac{1}{x^{3}-3 x^{2}-4 x}$ ;

(3)

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ;

(4)

$y = \frac{1+x}{1+x^{3}}$

(5)

$y = \frac{1 / x-1 /(x+1)}{1 /(x-1)-1 / x}$

(6)

$y = \frac{2 x-1}{2 x^{2}+3 x-2}$

(7)

$y = \frac{1-\sqrt{x}}{x^{2}-1}$ .

Задача 1.10.58

Найти точки разрыва функции, установить их род, доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва.

?

(1)

$y = \frac{x}{\cos x}$ ;

(2)

$y = (\sin x) \sin \frac{1}{x}$

(3)

$y = \frac{\arcsin x}{\sin 2 x}$

(4)

$y = \frac{\cos (\pi x / 2)}{x^{3}-x^{2}}$ ;

(5)

$y = \frac{\sin 3 x}{\sin 2 x}$ .

Задача 1.10.59

Найти точки разрыва функции, установить их род, доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва.

?

(1)

$y = \frac{2}{1-2^{x}}$ ;

(2)

$y = \frac{1}{\lg x}$ ;

(3)

$y = \lg \left(x^{2}+3 x\right)$ ;

(4)

$y = \lg (x-1)^{2}$ ;

(5)

$y = 2^{1 / x}$ ;

(6)

$y = \frac{1}{\ln \left|x-1\right|}$

(7)

$y = 3^{x /\left(1-x^{2}\right)}$ ;

(8)

$y = e^{-1 /\left|x\right|}$

(9)

$y = \ln \ln \left(1+x^{2}\right)$ .

Задача 1.10.60

Найти точки разрыва функции, установить их род, найти скачки в точках разрыва 1-го рода:

?

(1)

$y = \operatorname {sign}\left(x^{2}-2 x-3\right)$

(2)

$y = \operatorname {sign} \cos x$

(3)

$y = (-1)^{\mathbb {E}\left[x\right]}$

(4)

$y = (-1)^{E(1 / x)}$ ;

(5)

$y = \arcsin (1 / x)$ ;

(6)

$y = \operatorname {arctg}(1 / x)$ ;

(7)

$y = \operatorname {arcctg}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ ;

(8)

$y = \frac{x+1}{\operatorname {arctg}(1 / x)}$

(9)

$y = \frac{\left|x\right|}{\operatorname {arctg} x}$

(10)

$y = \frac{1}{1+2^{1 /(x-1)}}$ ;

(11)

$y = \frac{3^{1 / x}+2^{1 / x}}{3^{1 / x}-2^{1 / x}}$

(12)

$y = \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x}$ .

Задача 1.10.61

(1)(2)(3)

Доказать, что функция непрерывна в каждой точке своей области определения:

?

(1)

$y = \sin (x-\lg (\sqrt{x}-1))$

(2)

$y = \sqrt[3]{x^{2}-4 \operatorname {ctg} x} 2^{\operatorname {tg}(\pi / x)}$ ;

(3)

$y = \frac{x^{-5 / 3}-\cos \sqrt{x}}{\operatorname {tg} \arcsin \left|x\right|}$ .

Задача 1.10.62

Найти значение $a$ , при котором функция $y(x)$ будет непрерывна, если:

?

(1)

$y = \begin{cases} \frac{(1+x)^{n}-1}{x}, & x \neq 0, \quad n \in \mathbb {N}, \\ a, & x = 0 ;\end{cases}$

(2)

$y = \begin{cases} x \operatorname {ctg} 2 x, & x \neq 0, \quad \left|x\right| < \pi / 2, \\ a, & x = 0 ;\end{cases}$

(3)

$y = \begin{cases} (\pi +2 x) \operatorname {tg} x, & -\pi < x < \pi / 2, \quad x \neq -\pi / 2, \\ a, & x = -\pi / 2\end{cases}$

(4)

$y = \begin{cases} (\arcsin x) \operatorname {ctg} x, & x \neq 0, \\ a, & x = 0,\end{cases}$

(5)

$y = \begin{cases} \frac{c^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x = 0, \quad c > 0\end{cases}$

(6)

$y = \begin{cases} \frac{x}{\ln (1+2 x)}, & x \neq 0, \\ a, & x = 0 ;\end{cases}$

(7)

$y = \begin{cases} \frac{\operatorname {sh} x}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x = 0\end{cases}$

(8)

$y = \begin{cases} x \ln x^{2}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0\end{cases}$

(9)

$y = \begin{cases} e^{-1 / x^{2},} & x \neq 0 \\ a, & x = 0\end{cases}$

(10)

$y = \begin{cases} (1+x)^{1 / x}, & x \neq 0, \\ a, & x = 0.\end{cases}$

Задача 1.10.63

Выяснить, можно ли доопределить функцию в точке разрыва $x_{0}$ так, чтобы она стала непрерывной в этой точке, если:

?

(1)

$y = \frac{1}{x}+\frac{1}{\left|x\right|}, x_{0} = 0$

(2)

$y = 2^{-2^{1 /(1-x)}}, x_{0} = 1$ ;

(3)

$y = \frac{1}{x} e^{-1 / x^{2}}, x_{0} = 0$ ;

(4)

$y = \frac{\operatorname {th}(\sqrt{x}-1)}{x^{2}-1}, x_{0} = 1$ ;

(5)

$y = 2^{-E(1 / x)}, x_{0} = 0$ .

Задача 1.10.64

Исследовать на непрерывность и построить график функции $f$ , если:

?

(1)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x^{2 n}-1}{x^{2 n}+1}$ ;

(2)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{1+x^{2 n+1}}$

(3)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \cos^{n} x$

(4)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x}{1+(2 \sin x)^{2 n}}$

(5)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{x}-n^{-x}}{n^{x}+n^{-x}}$

(6)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x+e^{n x}}{1+x e^{n x}}$

(7)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{1+x^{2 n}}$ ;

(8)

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty }(x \operatorname {arctg}(n \operatorname {ctg} x))$ ;

(9)

$f(x) = \lim_{t \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left(1+e^{x t}\right)}{\ln \left(1+e^{t}\right)}$ ;

(10)

$f(x) = \lim_{t \rightarrow +\infty }(1+x) \operatorname {tg} x t$ .

Задача 1.10.65

В каких точках непрерывна функция

y(x) = \begin{cases} x^{2}-1, & x-\text{ иррациональное число, } \\ 0, & x-\text{ рациональное число? }\end{cases}

?

Задача 1.10.66

(1)(2)

Пусть

y(x) = \begin{cases} 0, & x-\text{ иррациональное число, } \\ 1 / q, & x = p / q, \quad p \in \mathbb {Z}, \quad q \in \mathbb {N}\end{cases}

где $p / q$ — несократимая дробь (эту функцию называют функцией Римана).

Доказать, что:

?

(1)

эта функция непрерывна в каждой иррациональной точке;

(2)

каждая рациональная точка является для данной функции точкой разрыва 1-го рода.

Задача 1.10.67

Исследовать на непрерывность функцию

y(x) = \begin{cases} \left|x\right|, & x-\text{ иррациональное число, } \\ q x /(q+1), & x = p / q, \quad p \in \mathbb {Z}, \quad q \in \mathbb {N}\end{cases}

где $p / q$ — несократимая дробь.

?

Задача 1.10.68

Исследовать на непрерывность композиции $f \circ g$ и $g \circ f$ , если

y(x) = \begin{cases} x, & x \text{ — рациональное число, } \\ 2-x, & x-\text{ иррациональное число. }\end{cases}

?

Задача 1.10.69

(1)(2)

Функция $f$ возрастает на отрезке $[a ; b]$ и разрывна в точке $x_{0} \in [a ; b]$ . Функция $g(x)$ монотонна на отрезке $[f(a) ; f(b)]$ .

?

(1)

Привести пример таких функции $f$ и $g$ , что $g(f(x))$ непрерывна в $x_{0}$ .

(2)

Доказать, что если $g(x)$ строго монотонна в окрестности точки $f\left(x_{0}\right)$ , то $g(f(x))$ разрывна в точке $x_{0}$ .

Задача 1.10.70

(1)(2)

Функция $f$ непрерывна на отрезке $[a ; b]$ . Доказать, что:

?

(1)

$\inf_{(a ; b)} f = \inf_{[a ; b]} f$ ;

(2)

$\sup_{(a ; b)} f = \sup_{[a, b]} f$ .

Задача 1.10.71

(1)(2)

Функция $f$ непрерывна на отрезке $[a ; b]$ . Доказать, что функции $m(x)$ и $M(x)$ непрерывны на $[a ; b]$ , если:

?

(1)

$m(x) = \min_{[a ; x]} f$ ;

(2)

$M(x) = \max_{[a ; x]} f$ .

Задача 1.10.72

(1)(2)

Функция $f$ непрерывна на промежутке $[a ; b)$ . Доказать, что функции $m(x)$ и $M(x)$ непрерывны на $(a, b)$ , если:

?

(1)

$m(x) = \inf_{[a ; x)} f$ ;

(2)

$M(x) = \sup_{[a ; x)} f$ .

Задача 1.10.73

Функция $f$ определена и ограниченна на отрезке $[a ; b]$ . Доказать, что функции

m(x) = \inf _{[a ; x]} f \quad \text{ и } \quad M(x) = \sup _{[a, x)} f

непрерывны слева в каждой точке $x \in (a ; b]$ .

?

Задача 1.10.74

(1)(2)

Пусть $f$ и $g$ — непрерывные.на $X$ функции. Доказать, что функции $M(x)$ и $m(x)$ также непрерывны на $X$ , если:

?

(1)

$M(x) = \max \left\{ f(x), g(x)\right\}$ ;

(2)

$m(x) = \min \left\{ f(x), g(x)\right\}$ .

Задача 1.10.75

(1)(2)

?

(1)

Пусть $f$ — непрерывная на $X$ функция, $a, b \in \mathbb {R}, a < b$ . Доказать, что функция

f(a ; b ; x) = \begin{cases} f(x), & \text{ если } & a \leqslant f(x) \leqslant b, \\ a, & \text{ если } & f(x) < a \\ b, & \text{ если } & f(x) > b \end{cases}

также непрерывна на $X$ .

(2)

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$ . Доказать, что для того, чтобы $f$ была непрерывна на $\mathbb {R}$ , необходимо и достаточно, чтобы для любого $a > 0$ функция $f(-a ; a ; x)$ , определенная в 1 $)$ , была непрерывна на $\mathbb {R}$ .

Задача 1.10.76

Функция $f$ непрерывна на $[a ;+\infty )$ , и существует конечный $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$ . Доказать, что $f$ ограниченна на $[a ;+\infty )$ .

?

Задача 1.10.77

Функция $f$ непрерывна на интервале $(a ; b)$ (конечном или бесконечном), и существуют конечные $\lim_{x \rightarrow a+0} f(x)$ и $\lim_{x \rightarrow b-0} f(x)$ . Доказать, что функция $f$ ограниченна на $(a ; b)$ .

?

Задача 1.10.78

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что функция

y = \begin{cases} (x+1) 2^{-(1 /\left|x\right|+1 / x)}, & x \neq 0, \quad \left|x\right| \leqslant 2 \\ 0, & x = 0\end{cases}

принимает все значения между $f(-2)$ и $f(2)$ , но разрывна. Построить график этой функции.

(2)

Доказать, что функция

f(x) = \begin{cases} \sin (1 / x), & x \neq 0 \\ -1, & x = 0\end{cases}

принимает на любом отрезке $[0 ; a]$ все промежуточные значения между $f(0)$ и $f(a)$ , но не является непрерывной на $[0 ; a]$ .

Задача 1.10.79

(1)(2)

Функция $f$ определена на отрезке $[a ; b]$ и обладает следующим свойством: для любых $x_{1}, x_{2} \in [a ; b]$ и для любого числа $C$ , лежащего между $f\left(x_{1}\right)$ и $f\left(x_{2}\right)$ , существует точка $\xi \in \left(x_{1} ; x_{2}\right)$ такая, что $f(\xi ) = C$ .

?

(1)

Указать функцию, обладающую таким свойством, но не являющуюся непрерывной на $[a ; b]$ .

(2)

Доказать, что функция, обладающая указанным свойством, не может иметь точек разрыва 1 -го рода.

Задача 1.10.80

Доказать, что если функция определена и непрерывна на промежутке, то множество ее значений — промежуток (т. е. отрезок, или интервал, или полуинтервал).

?

Задача 1.10.81

(1)(2)(3)

Привести пример функции, непрерывной на интервале, множеством значений которой является:

?

(1)

отрезок;

(2)

интервал;

(3)

полуинтервал.

Задача 1.10.82

Пусть функция, определенная на отрезке $[a ; b]$ , непрерывна и обратима. Доказать, что эта функция строго монотонна на $[a ; b]$ .

?

Задача 1.10.83

Доказать, что если функция определена и строго монотонна на промежутке, то ее обратная функция непрерывна.

?

Задача 1.10.84

Привести пример функции $f$ , непрерывной в точке $x_{0}$ , имеющей обратную функцию, разрывную в точке $y_{0} = f\left(x_{0}\right)$ .

?

Задача 1.10.85

Привести пример непрерывной, строго возрастающей функции, обратная к которой разрывна.

?

Задача 1.10.86

Доказать, что ограниченная, выпуклая (см. задачу $237, \S 7$ ) на интервале функция непрерывна на этом интервале.

?

Задача 1.10.87

(1)(2)(3)

Доказать, что данная система уравнений определяет непрерывную функцию $y(x)$ или $x(y)$ :

?

(1)

$x = \frac{t-1}{\sqrt{t}}, y = \frac{t+1}{\sqrt{t}}$

(2)

$x = \frac{1}{4}(t-4) e^{t}, y = \sqrt{t} e^{t}$

(3)

$x = \frac{t^{3}}{t^{2}+1}, y = \frac{t}{t^{4}+1}$ .

Задача 1.10.88

Привести пример такой системы уравнений

x = \varphi (t), \quad y = \psi (t)

в которой функции $\varphi$ и $\psi$ необратимы, но которая определяет единственную непрерывную функцию $y(x)$ .

?

Задача 1.10.89

Функция $f$ непрерывна на интервале $(a ; b)$ . Доказать, что для любых чисел $x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n}$ из $(a ; b)$ и любых чисел

\alpha _{i} \geqslant 0, \quad \sum _{i = 1}^{n} \alpha _{i} = 1

найдется число $\xi , x_{1} \leqslant \xi \leqslant x_{n}$ , такое, что $f(\xi ) = \sum_{i = 1}^{n} \alpha_{i} f\left(x_{i}\right)$ .

?

Задача 1.10.90

Функция $f$ определена на отрезке $[a ; b]$ . Для любого отрезка $[c ; d], a < c < d < b$ , множество значений $f(x), x \in [c ; d]$ , является отрезком. Следует ли отсюда непрерывность функции $f$ на $[a ; b]$ ?

?

Задача 1.10.91

Функция $f$ непрерывна и ограниченна на интервале $(a ;+\infty )$ и не имеет предела при $x$ , стремящемся к $+\infty$ . Доказать, что найдется число $a$ , для которого уравнение $f(x) = a$ имеет бесконечно много решений.

?

Задача 1.10.92

Функция $f$ непрерывна на интервале $(a ; b), l = \varliminf_{x \rightarrow b} f(x), L = \varlimsup_{\substack {x \rightarrow b \\ \text{ нение }}} f(x), L > l$ . Доказать, что для любого числа $C, l < C < L$ , урав-

f(x) = C

в любой окрестности $b$ имеет бесконечно много решений.

?

Задача 1.10.93

Функция $f$ непрерывна и ограничена на промежутке $[a ;+\infty )$ . Доказать, что для любого числа $T$ найдется последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ такая, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty$ и

\lim _{n \rightarrow \infty }\left(f\left(x_{n}+T\right)-f\left(x_{n}\right)\right) = 0

?

Задача 1.10.94

(1)(2)

Множество $A \in \mathbb {R}$ называют открытым, если каждая точка из $A$ имеет окрестность, принадлежащую $A$ . Точку $x_{0}$ называют точкой прикосновения множества $A$ , если в любой окрестности $x_{0}$ имеется хотя бы одна точка из $A$ . Множество называют замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения множества $A$ называют замыканием $A$ и обозначают $\bar{A}$ .

Функция $f$ непрерывна на отрезке $[a ; b]$ , число $C$ заключено между $f(a)$ и $f(b), f(a) \neq f(b)$ .

Доказать, что:

?

(1)

открыто каждое из множеств: а) $A = \left\{ x \in (a ; b): f(x) < C\right\}$ , б) $B = \left\{ x \in (a ; b): f(x) > C\right\}$ ;

(2)

множество $\left\{ x \in [a ; b]: f(x) = C\right\}$ имеет и наибольший, и наименьший элементы.

Задача 1.10.95

(1)(2)

Пусть функция $f$ непрерывна на $R, A \subset \mathbb {E}\left[f\right], f^{-1}(A) = \left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x) \in A\right\}$ . Доказать, что:

?

(1)

если $A$ замкнуто, то и $f^{-1}(A)$ замкнуто;

(2)

если $A$ открыто, то и $f^{-1}(A)$ открыто.

Задача 1.10.96

Множество $B$ называют плотным в множестве $A$ , если замыкание $B$ содержит $A$ , т. е. $\bar{B} \supset A$ . Пусть функция $f$ непрерывна на $X$ , множество $A$ плотно в $X, f(X)$ — множество всех значений функции $f(x)$ при $x \in X, f(A)$ — множество всех значений функции при $x \in A$ . Доказать, что $f(A)$ плотно в $f(X)$ .

?

Задача 1.10.97

(1)(2)

?

(1)

Существует ли непрерывное отображение: а) отрезка на интервал; б) интервала на отрезок?

(2)

Построить взаимно однозначное отображение отрезка на интервал.

Задача 1.10.98

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что функция, определенная на $\mathbb {R}$ , не может быть непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных.

(2)

Существует ли функция, непрерывная во всех рациональных точках отрезка $[0 ; 1]$ и разрывная во всех его иррациональных точках?

Задача 1.10.99

Доказать, что уравнение $x^{3}-3 x^{2}+6 x-1$ имеет единственный корень; найти этот корень с точностью до 0,1.

?

Задача 1.10.100

Доказать, что уравнение $x^{4}+3 x^{2}-x-2 = 0$ имеет два (и не более) действительных корня.

?

Задача 1.10.101

Доказать, что уравнение

\sum _{k = 0}^{n} a_{k} x^{2 k+1}+c = 0

где $a_{k} \geqslant 0(k = 0,1, \ldots , n-1), a_{n} > 0$ , имеет лишь один действительный корень.

?

Задача 1.10.102

Доказать, что уравнение $x^{n} = P_{n-1}(x)$ , где $P_{n-1}(x)$ — многочлен $(n-1)$ -й степени с положительными коэффициентами, имеет единственный положительный корень.

?

Задача 1.10.103

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

уравнение

\frac{a_{1}}{x-\lambda _{1}}+\frac{a_{2}}{x-\lambda _{2}}+\frac{a_{3}}{x-\lambda _{3}} = 0

где $a_{1} > 0, a_{2} > 0, a_{3} > 0, \lambda_{1} < \lambda_{2} < \lambda_{3}$ , имеет по одному действительному корню в интервалах $\left(\lambda_{1} ; \lambda_{2}\right)$ и $\left(\lambda_{2} ; \lambda_{3}\right)$ ;

(2)

уравнение

\sum _{j = 1}^{n} \frac{a_{\jmath }}{x-\lambda _{\jmath }} = 0

где $a_{j} > 0(j = 1,2, \ldots , n), \quad \lambda_{1} < \lambda_{2} < \ldots < \lambda_{n}$ , имеет по одному действительному корню в интервалах $\left(\lambda_{j} ; \lambda_{\jmath+1}\right)(j = 1,2, \ldots , n-1)$ .

Задача 1.10.104

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что уравнение имеет и притом единственное решение:

?

(1)

$x \cdot 2^{x} = 1$ ;

(2)

$x e^{x} = 2$ ;

(3)

$x = \varepsilon \sin x+a, 0 < \varepsilon < 1$ ;

(4)

$x^{2} \operatorname {arctg} x = a, a \neq 0$ .

Задача 1.10.105

Доказать, что уравнение $x = a \sin x+b$ , где $0 < a < 1, b > 0$ , имеет по крайней мере один корень на $[0 ; a+b]$ .

?

Задача 1.10.106

Доказать, что уравнение $10^{x-1} = x$ имеет только один корень $x_{0} \neq 1$ .

?

Задача 1.10.107

Доказать, что уравнение $2^{x} = 4 x$ имеет по крайней мере два действительных корня.

?

Задача 1.10.108

Доказать, что уравнение $x \sin x-0,5 = 0$ имеет бесконечно много решений.

?

Задача 1.10.109

(1)(2)(3)(4)

?

(1)

Доказать, что существует бесконечно много функций, определенных на $(a ; b)$ и удовлетворяющих уравнению

y^{2} = 1

(2)

Пусть $f$ — непрерывная и положительная на $(a ; b)$ функция. Доказать, что существует единственная непрерывная на $(a ; b)$ функция $y = \varphi (x)$ , удовлетворяющая уравнению

y^{2} = f(x)

и условию, что $\varphi \left(x_{0}\right) > 0$ в некоторой точке $x_{0} \in (a ; b)$ .

(3)

Сколько существует непрерывных на $\mathbb {R}$ функций, удовлетворяющих уравнению

y^{2} = \left(x^{2}-1\right)^{2}?

(4)

Сколько существует непрерывных на отрезке $[0 ; n], n \in \mathbb {N}$ , функций, удовлетворяющих уравнению

y^{2}+2 y+\cos ^{2} \pi x = 0?

Задача 1.10.110

Доказать, что существует единственная непрерывная функция $y(x)$ , удовлетворяющая уравнению

y = \operatorname {arcctg} x y, \quad x \in \mathbb {R}

?

Задача 1.10.111

Найти все непрерывные на $\mathbb {R}$ функции $f$ , удовлетворяющие условию: для любого $x \in \mathbb {R}$ верно равенство:

?

(1)

$f(x / 3)+f(2 x / 3) = x$ ;

(2)

$f(x)+f(3 x) = x$ ;

(3)

$f(\alpha x)+f(\beta x) = a x+b, \alpha \beta \neq 0$ ;

(4)

$f(3 x)-f(2 x) = x$ ;

(5)

$f\left(x^{2}\right)+f(x) = x^{2}+x$ ;

(6)

$f\left(x^{2}\right)-f(x) = x^{2}-x$ .

Задача 1.10.112

Найти все непрерывные на $\mathbb {R}$ функции $f$ такие, что для любого $x \in \mathbb {R}$ верно равенство

A f(\alpha x)+B f(\beta x) = a x+b,

где $a \alpha \beta A B \neq 0, A \alpha +B \beta \neq 0, A+B \neq 0$ .

?

Задача 1.10.113

(1)(2)

При каких а существуют непрерывные на $\mathbb {R}$ функции $f$ , отличные от постоянной, такие, что для любого $x \in \mathbb {R}$ :

?

(1)

$f\left(x^{2}+a\right) = f(x)$ ;

(2)

$f\left(a x^{2}+1\right) = f(x)$ ?

Задача 1.10.114

При каких $a, b, c$ существует непрерывная на $\mathbb {R}$ функция $f$ , отличная от постоянной, такая, что для любого $x \in \mathbb {R}$

f\left(a x^{2}+b x+c\right) = f(x)?

?

Задача 1.10.115

(1)(2)

?

(1)

Найти все непрерывные на $\mathbb {R}$ функции $f$ , удовлетворяющие для любых $x, y \in \mathbb {R}$ равенству $f(x+y) = f(x)+f(y)$ .

(2)

Привести пример разрывной функции $f$ , удовлетворяющей для любых $x, y \in \mathbb {R}$ равенству $f(x+y) = f(x)+f(y)$ .

Задача 1.10.116

Найти все непрерывные на $\mathbb {R}$ функции, удовлетворяющие для любых $x, y \in \mathbb {R}$ равенству $f(x+y) = f(x) f(y)$ .

?

Задача 1.10.117

(1)(2)

Найти все непрерывные на $(0 ;+\infty )$ функции, удовлетворяющие для любых $x, y \in (0 ;+\infty )$ равенству:

?

(1)

$f(x y) = f(x)+f(y)$ ;

(2)

$f(x y) = f(x) f(y)$ .

Задача 1.10.118

(1)(2)

Найти все непрерывные на $\mathbb {R}$ функции, удовлетворяющие для любых $x, y \in \mathbb {R}$ равенству

f(x+y)+f(x-y) = 2 f(x) f(y)

и условию:

?

(1)

$f(x) \leqslant 1$ ;

(2)

$f(x) \geqslant 1$ .

Задача 1.10.119

Найти все непрерывные на $\mathbb {R}$ решения функционального уравнения

f(x+f(x)) = f(x), \quad x \in \mathbb {R}

?

Задача 1.10.120

Функция $f$ определена и непрерывна на $\mathbb {R}$ , и для любых $x, y \in \mathbb {R}$ верно равенство

f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}(f(x)+f(y))

Доказать, что $f$ — линейная функция, т. е. существуют $a$ и $b$ такие, что $f(x) = a x+b$ .

?

Задача 1.10.121

Доказать, что периодическая, непрерывная на всей числовой оси функция, отличная от постоянной, имеет наименьший положительный период. Привести пример периодической функции, определенной на всей числовой оси и отличной от постоянной, которая не имеет наименьшего положительного периода.

?

Задача 1.10.122

Пусть $f$ и $g$ — непрерывные, периодические с периодом $T$ функции и $\lim_{x \rightarrow \infty }(f(x)-g(x)) = 0$ . Доказать, что $f = g$ .

?

Задача 1.10.123

Непрерывная функция $f$ имеет два несоизмеримых периода, $T_{1}$ и $T_{2}$ (т. е. $T_{1} / T_{2}$ — иррациональное число). Доказать, что $f =$ const.

?

Задача 1.10.124

Построить непрерывные на $\mathbb {R}$ функции $f$ и $g$ такие, что для любого $T > 0$ функции $f(x+T)$ и $g(x)$ различны, но для каждого $\varepsilon > 0$ существует $T_{\varepsilon } > 0$ такое, что для любого $x \in \mathbb {R}$ верно неравенство

\left|f\left(x+T_{\varepsilon }\right)-g(x)\right| < \varepsilon

?

Задача 1.10.125

Пусть функция $f$ непрерывна на $[-1 ; 1]$ и $\left|f(x)\right| < 1, x \in [-1 ; 1]$ . Доказать, что функция

f(x)-\cos (n \arccos x), \quad n \in \mathbb {N}

(см. задачу $227, \S 7$ ), не менее $n$ раз обращается в нуль на отрезке $[-1 ; 1]$ .

?

Задача 1.10.126

Пусть $P(x) = 2^{n-1} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ . Доказать, что найдется $\xi \in [-1 ; 1]$ такое, что $\left|P(\xi )\right| \geqslant 1$ .

?

Задача 1.10.127

Функция $f$ непрерывна на $[0 ; 1]$ и $f(0) = f(1) = 0$ . Доказать, что существует непрерывная, выпуклая вверх (задача $237, \S 7$ ) функция $g$ такая, что $g(0) = g(1) = 0$ и $g(x) \geqslant f(x)$ на $[0 ; 1]$ .

?

Задача 1.10.128

Функция $f$ непрерывна и периодична с периодом $T$ . Доказать, что есть такая точка $x_{0}$ , что

f\left(x_{0}+T / 2\right) = f\left(x_{0}\right)

?

Задача 1.10.129

Функция $f$ непрерывна, монотонна на $[0 ; 1]$ , и $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ . Доказать, что если для некоторого $n \in \mathbb {N}$ при любом $x \in [0 ; 1]$ то и $f(x) = x$ на $[0 ; 1]$ .

\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{n \text{ pas }}(x) = x

?

Задача 1.10.130

Пусть функция $f$ непрерывна на $[0 ; 1]$ и множество ее значений содержится в $[0 ; 1]$ . Доказать, что существует точка $c \in [0 ; 1]$ такая, что $f(c) = c$ (всякое непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку).

?

Задача 1.10.131

Пусть $f$ и $g$ определены и непрерывны на отрезке $[a ; b]$ и $f(a) < g(a)$ и $f(b) > g(b)$ . Доказать, что имеется точка $c \in (a ; b)$ такан, что $f(c) = g(c)$ .

?

Задача 1.10.132

Функции $f$ и $g$ определены и непрерывны на $[0 ; 1]$ и $f \circ g = g \circ f$ . Доказать, что существует точка $c \in [0 ; 1]$ такая, что $f(c) = g(c)$ .

?

Задача 1.10.133

Непрерывные функции $f$ и $g$ отображают отрезок $[0 ; 1]$ на самого себя. Доказать, что существует точка $c \in [0 ; 1]$ такая, что $f(g(c)) = g(f(c))$ .

?

Задача 1.10.134

Функция $f$ непрерывна на $\mathbb {R}$ и $f(f(x)) = x$ для любого $x \in \mathbb {R}$ . Доказать, что существует точка $c$ , в которой $f(c) = c$ .

?

Задача 1.10.135

(1)(2)

Привести пример функции:

?

(1)

непрерывной на интервале $(0 ; 1)$ ;

(2)

непрерывной на $\mathbb {R}$ , для которой уравнение $f(x) = x$ : не имеет решений.

Задача 1.10.136

Функция $f$ монотонна, непрерывна на $[0 ; 1]$ и $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ для любого $x \in [0 ; 1]$ . Доказать, что для любого $a_{1} \in [0 ; 1]$ последовательность $a_{1}, a_{n+1} = f\left(a_{n}\right), n \in \mathbb {N}$ , сходится к одному из решений уравнения $f(x) = x$ .

?

Задача 1.10.137

(1)(2)

Пусть функция $f$ непрерывна на $[a ; b]$ , и пусть определена последовательность $\left\{ x_{n}\right\} : x_{0} \in [a ; b], x_{n} = f\left(x_{n-1}\right), n \in \mathbb {N}$ (т. е. для любого $n \in \mathbb {N} \quad f\left(x_{n-1} \in [a ; b]\right)$ .

Доказать, что:

?

(1)

если $f$ возрастает, то $\left\{ x_{n}\right\}$ — монотонная последовательность и существует $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = c$ такой, что $c = f(c)$ ;

(2)

если $f$ убывает, то $\left\{ x_{2 k}\right\}$ и $\left\{ x_{2 k-1}\right\}$ — монотонные подпоследовательности, имеющие пределы. Получить уравнения для этих пределов.

Задача 1.10.138

(1)(2)

Функция $f$ строго возрастает, а функция $g$ строго убывает на $[a ; b]$ и $\mathbb {E}\left[f\right] \cap \mathbb {E}\left[g\right] \neq \varnothing$ .

?

(1)

Доказать, что уравнение $f(x) = g(x)$ имеет и притом единственное решение.

(2)

Пусть $x_{0} \in [a ; b]$ таково, что $f\left(x_{0}\right) \in \mathbb {E}\left[g\right]$ , и для любого $n \in \mathbb {N}$ уравнение $g\left(x_{n}\right) = f\left(x_{n-1}\right)$ имеет решение $x_{n}$ , т. е. определена последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ . Доказать, что подпоследовательности $\left\{ x_{2 k}\right\}$ и $\left\{ x_{2 k-1}\right\}$ сходятся, каждая к одному из решений уравнения $g^{-1}(f(x)) = f^{-1}(g(x))$ .

Задача 1.10.139

Для последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ , заданной рекуррентным способом: $x_{1} = 1 / 2, x_{n+1} = f\left(x_{n}\right), n \in \mathbb {N}$ , где

f(x) = \begin{cases} (2-3 x) / 5, & x < -1 / 6 \\ -3 x, & \left|x\right| \leqslant 1 / 6 \\ -(2+3 x) / 5, & x > 1 / 6\end{cases}

найти пределы подпоследовательностей $\left\{ x_{2 k}\right\}$ и $\left\{ x_{2 k-1}\right\}$ . Построить график функции $f$ и показать на рисунке построение пяти первых членов последовательности.

?

Задача 1.10.140

Функция $f$ , определенная на $\mathbb {R}$ , удовлетворяет условию Липшица: существует $k > 0$ такое, что для любых $x_{1}, x_{2} \in \mathbb {R}$ верно неравенство

\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant k\left|x_{1}-x_{2}\right|.

Доказать, что если $k < 1$ , то существует и притом только одно решение уравнения $f(x) = x$ .

?

Задача 1.10.141

(1)(2)

Множество значений функции $f$ , определенной на $[a ; b]$ , содержится в $[a ; b]$ . Для любых $x, y \in [a ; b], x \neq y$ , верно неравенство

\left|f(x)-f(y)\right| < \left|x-y\right|

?

(1)

Доказать, что уравнение $f(x) = x$ имеет и притом единственное решение $c$ .

(2)

Пусть $x_{0} \in [a ; b], x_{n} = f\left(x_{n-1}\right), n \in \mathbb {N}$ . Доказать, что: a) последовательность $\left\{ \left|x_{n}-c\right|\right\}$ убывает и имеет предел $\lim_{n \rightarrow \infty }\left|x_{n}-c\right| = \Delta$ б) существует подпоследовательность $\left\{ x_{n_{k}}\right\}$ , сходящаяся к $d$ , равному либо $c+\Delta$ , либо $c-\Delta$ ; в) $\left|f(d)-c\right| = \Delta$ и $\Delta = 0$ , т. е. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = c$ .

Задача 1.10.142

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что уравнение $\operatorname {tg} x = a / x, a > 0$ , имеет на каждом интервале $(-\pi / 2+\pi n ; \pi / 2+\pi n), n \in \mathbb {N}$ , одно решение.

(2)

Пусть $x_{n}$ — решение уравнения $\operatorname {tg} x = a / x, a > 0$ , из интервала $(-\pi / 2+\pi n ; \pi / 2+\pi n), n \in \mathbb {N}$ . Доказать, что

0 < x_{n}-\pi n < \frac{2 a}{\pi n+\sqrt{\pi ^{2} n^{2}+4 a}}, \quad n \in \mathbb {N}

Задача 1.10.143

(1)(2)(3)

?

(1)

Доказать, что уравнение $\operatorname {tg} x = a x, \quad a > 0$ , имеет на каждом интервале $(-\pi / 2+\pi n ; \pi / 2+\pi n), n \in \mathbb {N}$ , одно решение $x_{n}$ .

(2)

Пусть $x_{n}$ — решение уравнения $\operatorname {tg} x = a x, a > 0$ , из интервала $(-\pi / 2+\pi n ; \pi / 2+\pi n), n \in \mathbb {N}$ . Доказать, что при всех достаточно больших $n \in \mathbb {N}$

0 < \frac{\pi }{2}+\pi n-x_{n} < \frac{2 / a}{\pi / 2+\pi n+\sqrt{(\pi / 2+\pi n)^{2}}-4 / a}.

(3)

Найти $\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ , где последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ определена в 1) и 2).

Задача 1.10.144

Для последовательности, заданной рекуррентным способом, доказать существование предела и найти его:

?

(1)

$x_{1} \in \mathbb {R}, x_{n+1} = \sin x_{n}, n \in \mathbb {N}$

(2)

$x_{1} = 0, x_{n+1} = x_{n}-\sin x_{n}+1 / 2, n \in \mathbb {N}$ ;

(3)

$x_{1} = \pi / 2, x_{n+1} = x_{n}+\cos x_{n}-1 / 2, n \in \mathbb {N}$ ;

(4)

$x_{1} \in \mathbb {R}, x_{n+1} = \operatorname {arctg} x_{n}, n \in \mathbb {N}$

(5)

$x_{1} = 0, x_{n+1} = x_{n}-\operatorname {arctg} x_{n}+\pi / 4, n \in \mathbb {N}$ ;

(6)

$x_{1} = 2, x_{n+1} = 1+\ln x_{n}, n \in \mathbb {N}$ .

Задача 1.10.145

(1)(2)

?

(1)

Пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty$ . Доказать, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}} = e$ .

(2)

Пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0, x_{n} \neq 0$ . Доказать, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+x_{n}\right)^{1 / x_{n}} = e$ .

Задача 1.10.146

Пусть $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in \mathbb {R}$ . Исследовать на сходимость последовательность

\left\{ \left(\frac{a_{1} n+b_{1}}{a_{2} n+b_{2}}\right)^{n}\right\}

и найти ее предел, если он существует.

?

Задача 1.10.147

Используя непрерывность соответствующих функций, вычислить предел последовательности:

?

(1)

$\left\{ \left(1+\frac{x_{n}}{n}\right)^{n}\right\}$ , если $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x \in \mathbb {R}$ ;

(2)

$\left\{ \left(\cos \frac{x}{n}+\lambda \sin \frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$ , где $x, \lambda \in \mathbb {R}$ ;

(3)

$\left\{ \left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}\right\}$ , где $a > 0, b > 0$ ;

(4)

$\left\{ \left(\left(1+\frac{a}{n}\right)\left(1+\frac{2 a}{n}\right) \ldots \left(1+\frac{k a}{n}\right)\right)^{n}\right\}$ , где $k \in \mathbb {N}, a \in \mathbb {R}$ ;

(5)

$\left\{ \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right) \ldots \left(1+\frac{n}{n^{2}}\right)\right\}$ ;

(6)

$\left\{ \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^{2}} \ldots \cos \frac{x}{2^{n}}\right\}$ ;

(7)

$\left\{ \sin^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right)\right\}$ ;

(8)

$\left\{ n-\frac{1}{\sin (1 / n)}\right\}$ ;

(9)

$\left\{ n-\operatorname {ctg} \frac{1}{n}\right\}$ ;

(10)

$\left\{ (\cos (x / \sqrt{n}))^{n}\right\}$ .

Задача 1.10.148

Последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$ и $\left\{ b_{n}\right\}$ таковы, что $0 < a_{n} < 1$ , $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = 1,0 < b_{n} < \frac{\pi }{2}, \cos b_{n} = a_{n}$ . Найти $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{\sqrt{1-a_{n}}}$ .

?

Непрерывность функции