Норма и функции линейного оператора

Проверить, что

$\operatorname {dim} \mathfrak {s l}(n, \mathfrak {K})=n^{2}-1, \quad \operatorname {dim} \mathfrak {s o}(n, \mathfrak {K})=n(n-1) / 2, \quad \operatorname {dim} \mathfrak {s u}(n)=n^{2}-1$.

Построить изоморфизм групп $U(1)$ и $S O(2, \mathbb {R})$.

Следующие матрицы над $\mathbb {C}$ называются матрицами Паули:

Положим

Очевидно,

Проверить, что

Установить изоморфизм алгебр Ли $\mathfrak {s o}(3, \mathbb {R})$ и $\mathfrak {s u}(2)$ с алгеброй Ли векторов в трёхмерном евклидовом пространстве относительно векторного произведения.

Доказать, что если $A, B-n \times n$-матрицы и $\operatorname {det} B \neq 0$, то

Найти $\exp A$ для матрицы

Доказать, что каждый унитарный оператор $\mathcal{A}$ представляется в виде $\mathcal{A}=e^{i \mathcal{B}}$, где $\mathcal{B}$ — эрмитов оператор.

Доказать, что $\left\| \mathcal{A B}\right\| =\left\| \mathcal{B}\right\|$, если $\mathcal{A}$ — унитарный, а $\mathcal{B}$ — произвольный линейный оператор.

Доказать, что $\left\| \mathcal{A}^{k}\right\| =\left\| \mathcal{A}\right\|^{k}, k=1,2,3, \ldots$, для каждого нормального оператора $\mathcal{A}$.

Доказать, что $\lim_{k \rightarrow \infty } \mathcal{A}^{k}=\mathcal{O} \Longleftrightarrow r(\mathcal{A})<1$.