§ II.6.2

Свёртка, симметризация и альтернирование тензоров

[3/0%]
Показать
LaTeX
Задача II.6.2.1

Поднятие и опускание индексов. Пусть по-прежнему (V,g)(V, g) — евклидово векторное пространство, TT — тензор типа (p,q)(p, q) с координатами Ti1i2…ipj1j2…jqT_{i_{1} i_{2} \ldots i_{p}}^{j_{1} j_{2} \ldots j_{q}}. Построим тензор с координатами ∑kgikTki2…ipj1j2…jq\sum_{k} g^{i k} T_{k i_{2} \ldots i_{p}}^{j_{1} j_{2} \ldots j_{q}} и у координат полученного тензора индекс ii обозначим через i1i_{1}, а затем положим

Ti2…ipi1j1j2…jq=∑kgi1kTki2…ipj1j2…jq T_{i_{2} \ldots i_{p}}^{i_{1} j_{1} j_{2} \ldots j_{q}}=\sum _{k} g^{i_{1} k} T_{k i_{2} \ldots i_{p}}^{j_{1} j_{2} \ldots j_{q}}

Говорят, что тензор в левой части этого равенства суть результат применения к TT операции поднятия индекса i1i_{1}. Операция опускания индекса при помощи метрического тензора GG определяется аналогично. Например,

Ti1…ipj2j1j3…jq=∑kgj2kTi1…ipj1kj3…jq T_{i_{1} \ldots i_{p} j_{2}}^{j_{1} j_{3} \ldots j_{q}}=\sum _{k} g_{j_{2} k} T_{i_{1} \ldots i_{p}}^{j_{1} k j_{3} \ldots j_{q}}
  • координаты тензора, полученного в результате опускания у тензора TT индекса j2j_{2} на последнее место в ряду нижних индексов.

В общем, подъём ss-го индекса и опускание tt-го индекса — это линейные отображения

Tpq(V)→Tp−1q+1,Tpq→Tp+1q−1 \mathbb {T}_{p}^{q}(V) \rightarrow \mathbb {T}_{p-1}^{q+1}, \quad \mathbb {T}_{p}^{q} \rightarrow \mathbb {T}_{p+1}^{q-1}

в результате применения которых получаются тензоры с компонентами

Ti1…is−1 is+1…ipis j1…jq+1,Ti1…ip itj1…jt−1 jt+1…jq. T_{i_1\ldots i_{s-1}\, i_{s+1}\ldots i_p}^{i_s\, j_1\ldots j_{q+1}}, \qquad T_{i_1\ldots i_p\, i_t}^{j_1\ldots j_{t-1}\, j_{t+1}\ldots j_q}.

Мы здесь воспользовались "блочным расположением" сложных индексов у координат тензора. Например, тензор T∈V⊗V∗T \in V \otimes V^{*} можно задавать компонентами, которые обозначаются TijT_{i}^{j}, а T∈V⊗V∗⊗V⊗VT \in V \otimes V^{*} \otimes V \otimes V — компонентами Ti1j1i2i3T_{i_{1}}{ }^{j_{1}}{ }_{i_{2} i_{3}}.

Операции подъёма и опускания индексов можно применять несколько раз, причём и к самому метрическому тензору.

Показать, что

gikgjlgkl=gij,gikgjlgkl=gij g^{i k} g^{j l} g_{k l}=g^{i j}, \quad g_{i k} g_{j l} g^{k l}=g_{i j}

Убедиться в справедливости равенства gikxk=xig^{i k} x_{k}=x^{i}, означающего, что контравариантные координаты xix^{i} вектора x\mathbf{x} получаются применением операции поднятия индекса у ковариантных координат xix_{i} того же вектора.

?
Задача II.6.2.2

Пусть dim⁡V>1\operatorname {dim} V>1. Показать, что T(V)\mathbb {T}(V) — некоммутативное кольцо без делителей нуля. Единственными обратимыми элементами в T(V)\mathbb {T}(V) являются ненулевые скаляры.

?
Задача II.6.2.3

Вычислить в явном виде тензорные инварианты J2,J3J_{2}, J_{3} в примере 2.

?
Примечание.
?

Пример 2: тензор инерции J=(Jij)J = (J_{ij}) вращающегося вокруг неподвижной точки o˙\dot{o} твёрдого тела — это симметричная матрица порядка 3, где JiiJ_{ii} — осевой момент инерции твёрдого тела относительно оси ei\mathbf{e}_i, а JijJ_{ij}, i≠ji \neq j, — центробежные моменты инерции, взятые с обратными знаками. Если тело состоит из точечных масс mkm_k с положением [xk,yk,zk][x_k, y_k, z_k], 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n (в случае непрерывно распределённой массы суммирование заменяется интегрированием), то

J=∥∑kmk(yk2+zk2)−∑kmkxkyk−∑kmkxkzk−∑kmkxkyk∑kmk(xk2+zk2)−∑kmkykzk−∑kmkxkzk−∑kmkykzk∑kmk(xk2+yk2)∥. J=\left\Vert \begin{smallmatrix} \sum _{k} m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}) & -\sum _{k} m_{k} x_{k} y_{k} & -\sum _{k} m_{k} x_{k} z_{k} \\ -\sum _{k} m_{k} x_{k} y_{k} & \sum _{k} m_{k}(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}) & -\sum _{k} m_{k} y_{k} z_{k} \\ -\sum _{k} m_{k} x_{k} z_{k} & -\sum _{k} m_{k} y_{k} z_{k} & \sum _{k} m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}) \end{smallmatrix}\right\Vert .

С матрицей JJ ассоциируются три тензорных инварианта (не меняющихся при ортогональной замене репера):

J1=tr⁡J=2∑kmk(xk2+yk2+zk2),J3=det⁡J, J_{1}=\operatorname {tr} J=2\sum _{k} m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}), \qquad J_{3}=\operatorname {det} J,

а J2J_{2} — сумма трёх главных миноров 2×22 \times 2 матрицы JJ,

J2=∣J11J12J21J22∣+∣J11J13J31J33∣+∣J22J23J32J33∣. J_{2}=\begin{vmatrix} J_{11} & J_{12} \\ J_{21} & J_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} J_{11} & J_{13} \\ J_{31} & J_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} J_{22} & J_{23} \\ J_{32} & J_{33} \end{vmatrix}.