§ II.5.2

Квадрики в аффинном и евклидовом пространствах

[7/57%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача II.5.2.1

Убедиться, что в аффинном пространстве $\mathbb {A}$ размерности 3 над $\mathbb {R}$ любая квадрика может быть задана в надлежащей системе координат одним из следующих уравнений:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=1$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=-1$ ;
$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=2 x_{3}$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2 x_{3}$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=-1$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-1$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ ;
$x_{1}^{2}=2 x_{2}$ ;
$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=1$ ;
$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$ ;
$x_{1}^{2}-1=0$ ;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0=0$ ;
$x_{1}^{2}+1=0$ ;
$x_{1}^{2}=0$ .

Задача II.5.2.2

(а)(б)

Пусть $S$ — квадрика в евклидовом точечном пространстве $\mathbb {E}$ . Если её уравнением в ортонормированном репере $\left\{ \dot{o} ; \mathbf{e}_{1}, \ldots , \mathbf{e}_{n}\right\}$ будет

\sum _{i=1}^{n} \lambda _{i} x_{i}^{2}+2 \sum _{i=1}^{n} \mu _{i} x_{i}+\mu _{0}=0

то говорят о репере главных направлений квадрики $S$ (вспомним о "главных осях" квадратичной формы). Найти главные направления квадрик:

(а)

$2 x^{2}+y^{2}-3 z^{2}+12 x y+4 x z+8 y z+18=0$

(б)

$6 x^{2}+5 y^{2}+7 z^{2}+4 x y-4 x z-8 x-10 y+14 z-6=0$ .

Задача II.5.2.3

Упражнению 3.3 .8 на экстремальные значения вещественной квадратичной формы $q(\mathbf{x})$ можно придать больший геометрический смысл. Напомним, что речь идёт о значениях $q(\mathbf{v})$ при $\left\| \mathbf{v}\right\| =1$ , или, что то же самое, о значениях $q(\mathbf{v}) /\left\| \mathbf{v}\right\|^{2}$ . Убедиться в том, что

\max _{\left\| \mathbf{v}\right\| =1} q(\mathbf{v})=\min _{q(\mathbf{v})}\left\| \mathbf{v}\right\| ^{2}

(аналогично — при перемене местами $\max$ и min). Пусть, скажем, $n=2$ и $q(\mathbf{v})=\alpha x^{2}+2 \beta x y+\gamma y^{2}=1$ — уравнение эллипса. Если $\lambda_{i}, i=1,2$ , — корни характеристического многочлена $\lambda^{2}-(\alpha +\gamma ) \lambda +\left(\alpha \gamma -\beta^{2}\right)=0$ и $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ — соответствующие точки экстремума, то $x_{i}^{2}+y_{i}^{2}=1 / \lambda_{i}$ , т.е. один из корней отвечает квадрату минимального (а второй — максимального) расстояния от начала координат до эллипса. Заодно получаются условие перпендикулярности главных осей (направлений) эллипса и формула $\pi / \sqrt{\alpha \gamma -\beta^{2}}$ для площади эллипса (обосновать!).