Жорданова нормальная форма

Используя матрицу $S$ из примера 4 и выражение для $J(S)$, вычислить определитель матрицы

представив его в виде $\operatorname {det} A=\chi_{S}(m+1)$.

С точностью до подобия ненулевые нильпотентные $4 \times 4$-матрицы исчерпываются следующими:

Матрицы

очевидно, нильпотентны. Каким матрицам $A_{i}$ они подобны?

Пусть $\mathfrak {K}$ — поле характеристики $0, A-n \times n$-матрица с коэффициентами из $\mathfrak {K}$. Доказать, что $A$ нильпотентна в точности тогда, когда $\operatorname {tr}\left(A^{k}\right)=0,1 \leqslant k \leqslant n$.

Доказать, что матрицы $A \in M_{n}(\mathbb {C})$ и ${ }^{t} A$ всегда сопряжены.

Соотношение $A^{N}=E$ для матрицы $A \in M_{n}(\mathbb {C})$ справедливо тогда и только тогда, когда $A$ диагонализируема и её собственные значения являются корнями степени $N$ из 1.

Непосредственно проверяется, что $A^{2} \notin \operatorname {Mag}_{3}(\mathbb {Q})$ для матрицы

т.е. магические квадраты, в отличие от полумагических (см. упр. 9 из § 2), кольца не образуют. Тем более неожиданным является утверждение: если $A \in \operatorname {Mag}_{3}(\mathbb {Q})$, то $A^{m} \in \operatorname {Mag}_{3}(\mathbb {Q})$ для любого нечётного $m \geqslant 1$.

Доказать это, опираясь на теорему Гамильтона-Кэли.

Проверить, что при любом $m \geqslant 2$ матрица $A^{m}$, где

не является магической. Используя матрицу $A$, показать, что для всякого $n \geqslant 4$ существует магическая $n \times n$-матрица, $m$-е степени которой не будут магическими $(m \geqslant 2)$.

Запишем матрицу $A=J_{1}(\lambda ) \dot{+} J_{2}(\mu ), \lambda \neq \mu$, в виде $A=S+N$, где $S=\operatorname {diag}(\lambda , \mu , \mu )$. Более подробно:

Выразить $S$ и $N$ в виде многочленов $s(A), n(A)$ от $A$ (по теореме Гамильтона-Кэли можно считать, что $\operatorname {deg} s(t) \leqslant 2, \operatorname {deg} n(t) \leqslant 2$; как обычно, $A^{0}=E$).

Пусть $V$ - $n$-мерное комплексное пространство, $\mathcal{A}$ — линейный оператор на $V$. Доказать, что $\mathcal{A}$ допускает однозначную запись в виде

где $\mathcal{S}$ — диагонализируемый, а $\mathcal{N}$ — нильпотентный линейный оператор, причём $\mathcal{S}$ и $\mathcal{N}$ выражаются в виде многочленов от $\mathcal{A}(\mathcal{S}$ называется полупростой, а $\mathcal{N}$ — нильпотентной компонентой оператора $\mathcal{A}$).

Вычислить $\left(J_{n}(\lambda )\right)^{k}$ для любого натурального $k$.

Доказать, что $\left[[X, Y]^{2}, Z\right]=0$ для любых трёх матриц $X, Y, Z \in M_{2}(\mathfrak {K})$. Здесь $[X, Y]=X Y-Y X$ — коммутатор матриц $X, Y$.