Инвариантные подпространства и собственные векторы

Пусть $\left\{ A_{i} \mid 1 \leqslant i \leqslant m-1\right\}$ — ортогональная система идемпотентных матриц (см. замечание в конце п. 1). Показать, что $A^{2}=A, A A_{i}=A_{i} A=A_{i}$, $1 \leqslant i \leqslant m-1$ для $A=A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{m-1}$, и если положить $A_{m}=E-A$, то $\left\{ A_{i} \mid 1 \leqslant i \leqslant m\right\}$ будет полной ортогональной системой.

Пусть $\mathcal{D}: M_{n}(\mathfrak {K}) \rightarrow M_{n}(\mathfrak {K})$ — не тождественно равный $\mathcal{O}$ линейный оператор на пространстве квадратных матриц, обладающий свойством мультипликативности:

для всех $A, B \in M_{n}(\mathfrak {K})$. Доказать, что тогда $\mathcal{D}=f_{C}$ для некоторой невырожденной $n \times n$-матрицы $C$ (см. упр. 3 из § 1).

Пусть $\mathcal{A}: V \rightarrow V$ — линейный оператор такой, что $\operatorname {Im} \mathcal{A}^{p}=\operatorname {Im} \mathcal{A}^{p+1}$ для некоторого натурального числа $p$. Доказать, что в этом случае $V=\operatorname {Ker} \mathcal{A}^{p} \oplus \operatorname {Im} \mathcal{A}^{p}$ — прямая сумма двух $\mathcal{A}$-инвариантных подпространств.

Доказать, что если линейные операторы $\mathcal{E}, \mathcal{A}, \mathcal{A}^{2}, \ldots , \mathcal{A}^{n-1}$, действующие на векторном пространстве $V$ размерности $n$, линейно независимы, то существует такой вектор $\mathbf{v} \in V$, что

(в этом случае говорят, что $V$ ииклично).

Пусть $A$ — вещественная $n \times n$-матрица без вещественных собственных значений, так что, в частности, $n$ чётно и $A$ обратима. Показать, что существует вещественная матрица $B$ такая, что $A B=B A$ и $B^{2}=-E$ — единичная матрица (Д. Джокович).

Доказать, что для любых $A, B \in M_{n}(\mathbb {R})$ характеристические многочлены матриц $A B$ и $B A$ совпадают.

Найти характеристические корни "циклической" матрицы

используя легко проверяемое соотношение

Доказать, что пространство $\operatorname {SMag}_{n}(\mathbb {Q})$ полумагических квадратов (см. пример 8 из § 1 гл. 1) является $\mathbb {Q}$-подалгеброй в $M_{n}(\mathbb {Q})$.

Пусть $A, B \in M_{n}(\mathfrak {K})$, $\operatorname {char} \mathfrak {K} \neq 2$. Будем писать $B \sim A$, если $B=D A$, где $D=\operatorname {diag}\left(\theta_{1}, \ldots , \theta_{n}\right), \theta_{i}= \pm 1$. Очевидно, что $\sim$ — отношение эквивалентности. Если $S(A)$ — класс эквивалентности с представителем $A$, то $\operatorname {Card} S(A) \leqslant 2^{n}$.

Доказать, что по крайней мере одна из матриц в $S(A)$ не имеет собственного значения 1.

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор на $n$-мерном векторном пространстве $V$. Показать, что