§ II.2.1

Линейные отображения векторных пространств

[3/33%]
Показать
LaTeX
Задача II.2.1.1

Записав столбец координат X=[x1,x2,x3,x4]X=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right] в виде матрицы (x1x2x3x4)∈M2(K)\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in M_{2}(\mathfrak {K}), а затем взяв фиксированную матрицу A=(a1a2a3a4)∈M2(K)A=\left(\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4}\end{array}\right) \in M_{2}(\mathfrak {K}), мы определим два линейных преобразования:

fL:X↦A(x1x2x3x4)=(x1′x2′x3′x4′)=X′,fR:X↦(x1x2x3x4)A=(x1′′x2′′x3′′x4′′)=X′′, \begin{gathered} f_{L}: X \mapsto A\left(\begin{smallmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix} x_{1}^{\prime } & x_{2}^{\prime } \\ x_{3}^{\prime } & x_{4}^{\prime } \end{smallmatrix}\right)=X^{\prime }, \\ f_{R}: X \mapsto \left(\begin{smallmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{smallmatrix}\right) A=\left(\begin{smallmatrix} x_{1}^{\prime \prime } & x_{2}^{\prime \prime } \\ x_{3}^{\prime \prime } & x_{4}^{\prime \prime } \end{smallmatrix}\right)=X^{\prime \prime }, \end{gathered}

которым отвечают матрицы MfLM_{f_{L}} и MfRM_{f_{R}}.

Предлагается проверить, что

MfL=(a10a200a10a2a30a400a30a4),MfR=(a1a300a2a40000a1a300a2a4) M_{f_{L}}=\left(\begin{smallmatrix} a_{1} & 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & a_{1} & 0 & a_{2} \\ a_{3} & 0 & a_{4} & 0 \\ 0 & a_{3} & 0 & a_{4} \end{smallmatrix}\right), \quad M_{f_{R}}=\left(\begin{smallmatrix} a_{1} & a_{3} & 0 & 0 \\ a_{2} & a_{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{1} & a_{3} \\ 0 & 0 & a_{2} & a_{4} \end{smallmatrix}\right)
?
Задача II.2.1.2

Проверить линейность следующих отображений:

?
(а)

VV — векторное пространство, W=V/LW=V / L — факторпространство, ff отображает каждый вектор x∈V\mathbf{x} \in V на смежный класс x‾=x+L\overline{\mathbf{x}}=\mathbf{x}+L;

(б)

f:Pn→Pnf: P_{n} \rightarrow P_{n} — отображение, определённое по правилу f(u(t))=tu′(t)−u(t)f(u(t))=t u^{\prime }(t)-u(t).

Найти Ker⁡f\operatorname {Ker} f и вычислить rank⁡f\operatorname {rank} f.

Задача II.2.1.3

Показать, что отображение fC:X↦C−1XCf_{C}: X \mapsto C^{-1} X C, определённое невырожденной матрицей C∈Mn(K)C \in M_{n}(\mathfrak {K}), линейно на Mn(K)M_{n}(\mathfrak {K}) и обладает свойством fC(XY)=fC(X)fC(Y)f_{C}(X Y)=f_{C}(X) f_{C}(Y).

?