§ II.1.4

Билинейные и квадратичные формы

[5/40%]
Показать
LaTeX
Задача II.1.4.1

Пусть Δ1,…,Δn=F\Delta_{1}, \ldots , \Delta_{n}=F — главные миноры вещественной квадратичной формы qq с матрицей FF. Доказать, что qq и FF отрицательно определены в точности тогда, когда (−1)kΔk>0(-1)^{k} \Delta_{k}>0 для k=1,2,…,nk=1,2, \ldots , n.

?
Задача II.1.4.2

Привести пример:

?
(а)

положительно определённой матрицы A=(aij)A=\left(a_{i j}\right) с aij<0a_{i j}<0 для некоторых пар (i,j)(i, j);

(б)

матрицы A=(aij)A=\left(a_{i j}\right) с aij>0a_{i j}>0 для всех индексов i,ji, j, которая не была бы положительно определённой.

Задача II.1.4.3

Указать λ,μ∈R\lambda , \mu \in \mathbb {R}, для которых матрицы

∥1λλλ1λλλ1∥,∥11μ1μ1μ11∥ \left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & \lambda & \lambda \\ \lambda & 1 & \lambda \\ \lambda & \lambda & 1 \end{smallmatrix}\right\Vert , \quad \left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & 1 & \mu \\ 1 & \mu & 1 \\ \mu & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right\Vert

являются положительно определёнными.

?
Задача II.1.4.4

Пусть x=[x1,x2,x3]∈C,Q(x)=x13+x23+x33−3x1x2x3\mathbf{x}=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}\right] \in \mathbb {C}, Q(\mathbf{x})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-3 x_{1} x_{2} x_{3}, ε\varepsilon — примитивный корень степени 3 из 1. Используя выражение

Q(x)=(x1+x2+x3)(x1+εx2+ε2x3)(x1+ε2x2+εx3), Q(\mathbf{x})=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)\left(x_{1}+\varepsilon x_{2}+\varepsilon ^{2} x_{3}\right)\left(x_{1}+\varepsilon ^{2} x_{2}+\varepsilon x_{3}\right),

убедиться в том, что Q(x)Q(y)=Q(z)Q(\mathbf{x}) Q(\mathbf{y})=Q(\mathbf{z}), где z=[z1,z2,z3],zi=zi(x,y)=∑j,kajk(i)xjyk\mathbf{z}=\left[z_{1}, z_{2}, z_{3}\right], z_{i}=z_{i}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\sum_{j, k} a_{j k}^{(i)} x_{j} y_{k} — билинейные симметричные формы. Найти их явный вид.

?
Задача II.1.4.5

Пусть AA — произвольная вещественная симметричная матрица, ε=ε(A)\varepsilon =\varepsilon (A) достаточно малое вещественное число. Доказать, что матрица B=E+εAB=E+\varepsilon A положительно определена.

?