Двойственное пространство

Как легко вытекает из определения (см. упр. 1 из § 1), функция следа $\operatorname {tr}: X \mapsto \operatorname {tr} X$ линейна на пространстве $V=M_{n}(\mathfrak {K})$ всех квадратных матриц порядка $n$ над полем $\mathfrak {K}$. Доказать, что каждая линейная функция $f$ на $V$ имеет вид $f(X)=\operatorname {tr} A X$, причём матрица $A=A_{f}$ однозначно определена.

Пусть $a(t)$ — фиксированный многочлен из $\mathbb {R}{}[t], P_{n}$ — подпространство вещественных многочленов степени $\leqslant n-1$. Рассмотрим следующие функции на $P_{n}$ :

Пусть $V$ — векторное пространство, и пусть функции $f, g \in V^{*}$ таковы, что $\operatorname {Ker} f=\operatorname {Ker} g$. Доказать, что тогда $g=\lambda f$ для некоторого скаляра $\lambda$.

Пусть $\mathbf{x}$ — ненулевой вектор пространства $V$. Однозначно ли определяется функция $f \in V^{*}$ условием $f(\mathbf{x})=1$?

Доказать, что для всякой ненулевой линейной функции $f$ на $n$-мерном векторном пространстве $V$ над $\mathfrak {K}$ найдётся базис $\left(\mathbf{e}_{1}, \ldots , \mathbf{e}_{n}\right)$ пространства $V$ такой, что