§ I.5.4

Поле отношений

[4/0%]
LaTeX
Задача I.5.4.1

Построить поле отношений R((X))\mathbb {R}((X)) кольца R[[X]]\mathbb {R}{}[[X]] формальных степенных рядов от XX с коэффициентами в поле R\mathbb {R}. Опираясь на упр. 6 из §3\S 3, показать, что каждый элемент поля R((X))\mathbb {R}((X)) имеет вид так называемого мероморфного степенного ряда

φ(X)=a−mX−m+a−m+1X−m+1+……+a−1X−1+a0+a1X+a2X2+…,ai∈R \begin{aligned} \varphi (X)=a_{-m} X^{-m}+a_{-m+1} & X^{-m+1}+\ldots \\ & \\ & \ldots +a_{-1} X^{-1}+a_{0}+a_{1} X+a_{2} X^{2}+\ldots , \quad a_{i} \in \mathbb {R} \end{aligned}

в котором допускается конечное число отрицательных показателей. Другими словами, φ(X)=X−mf(X)\varphi (X)=X^{-m} f(X), где f(X)f(X) — обычный степенной ряд из R[[X]]\mathbb {R}{}[[X]].

?
Задача I.5.4.2

Пусть бесконечная последовательность вещественных чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots периодична, начиная с некоторого члена. Показать, что степенной ряд f(X)=a0+a1X+a2X2+…f(X)=a_{0}+a_{1} X+a_{2} X^{2}+\ldots записывается в виде рациональной дроби из R(X)\mathbb {R}(X).

?
Задача I.5.4.3

Показать, что множество простейших дробей вида f/pn,n⩾1f / p^{n}, n \geqslant 1 (и их линейных комбинаций), является подкольцом кольца P0(X)P_{0}(X) (см. замечание в конце п. 2).

?
Задача I.5.4.4

Показать, что в соответствии с упр. 3 простейшие дроби над P=Z3P=\mathbb {Z}_{3}

a1X+b1X2+1+a2X+b2(X2+1)2+…,ai,bi∈Z3 \frac{a_{1} X+b_{1}}{X^{2}+1}+\frac{a_{2} X+b_{2}}{\left(X^{2}+1\right)^{2}}+\ldots , \quad a_{i}, b_{i} \in \mathbb {Z}_{3}

образуют кольцо KK с бесконечно убывающей цепью

K=K1⊃K2⊃…⊃KN⊃… K=K_{1} \supset K_{2} \supset \ldots \supset K_{N} \supset \ldots

подколец KNK_{N}, натянутых на дроби (aX+b)/(X2+1)n,n⩾N(a X+b) /\left(X^{2}+1\right)^{n}, n \geqslant N.

?