Кольцо многочленов

Многочлены $f(X)=X^{5}+3 X^{4}+X^{3}+4 X^{2}-3 X-1, g(X)=X^{2}+X+1$ можно считать принадлежащими кольцу $\mathbb {Z}{}[X]$ или, скажем, кольцу $\mathbb {Z}_{5}[X]$ в зависимости от того, как интерпретировать их коэффициенты. Применяя алгоритм деления с остатком, показать, что в первом случае $f(X)$ не делится на $g(X)$, а во втором делится. Возможна ли реализация противоположного варианта?

Доказать при помощи теоремы 3, что если $F$ — поле, то группа всех автоморфизмов кольца $F[X]$, тождественных на $F$, изоморфна группе преобразований $X \mapsto a X+b$, где $a, b \in F$ и $a \neq 0$.

Показать, что многочлен $f \in F\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$ является формой степени $m$ (см. доказательство теоремы 4) тогда и только тогда, когда $f\left(t X_{1}, \ldots , t X_{n}\right)=t^{m} f\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$, где $t$ — новая переменная.

Показать, что число различных одночленов от $n$ независимых переменных полной степени $m$ равно $\binom {m+n-1}{m}$.

Возвращаясь к определениям п. 1, рассмотрим совокупность $A[[X]]$ так называемых формальных степенных рядов $f(X)=\sum_{i \geqslant 0} a_{i} X^{i}$ от переменной (неизвестной) $X$ или, если угодно, последовательностей $\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots \right)$ с любым, возможно, бесконечным, числом коэффициентов $a_{i} \neq 0$, принадлежащих коммутативному кольцу $A$. Действия с формальными степенными рядами из $A[[X]]$ проводятся по тем же правилам, что и действия с многочленами:

Показать, что множество $A[[X]]$, рассматриваемое вместе с этими операциями, является ассоциативным и коммутативным кольцом с единицей $1=(1,0$, $0, \ldots )$.

Так как в степенной ряд $f=\sum a_{i} X^{i}$ входят сколь угодно высокие степени $X^{i}$ переменной $X$, то вместо степени $\operatorname {deg} f$, не имеющей теперь смысла, естественно рассматривать порядок $\omega (f)$ — целое число, равное наименьшему индексу $n$, для которого $a_{n} \neq 0$ (полагают ещё $\omega (0)=+\infty$).

Показать, что: i) $\omega (f-g) \geqslant \min \left\{ \omega (f), \omega (g)\right\}$; ii) $\omega (f g) \geqslant \omega (f)+\omega (g)$.

Если $A$ — целостное кольцо, то $\omega (f g)=\omega (f)+\omega (g)$. В частности, вместе с $A$ целостным является и кольцо $A[[X]]$.

Показать также, что $A[X]$ — подкольцо в $A[[X]]$.

Многочлены и степенные ряды часто используются в качестве производящих функций различных числовых величин. Смысл оперирования с ними поясним на двух простых примерах.