Множества с алгебраическими операциями

В п. 2 в качестве примера на $\mathbb {Z}$ вводилась операция $*: n * m=-n-m$, коммутативная, но неассоциативная. В алгебраической структуре $(\mathbb {Z}, *)$ выполняются соотношения $(n * m) * m=n, m *(m * n)=n$. Пусть теперь нам дана произвольная алгебраическая структура $(X, *)$, в которой $(x * y) * y=x, y *(y * x)=x$ для любых $x, y \in X$. Доказать, что $x * y=y * x$, т.е. операция * коммутативна.

Показать, что множество

с обычной операцией умножения матриц является полугруппой. Является ли $\left(M_{n}^{0}(\mathbb {R}), \cdot \right)$ моноидом?

В мультипликативном моноиде $M$ выбирается произвольный элемент $t$ и вводится новая операция $*: x * y=x t y$. Показать, что $(M, *)$ — полугруппа и что обратимость элемента $t$ в $M$ — необходимое и достаточное условие, при выполнении которого $(M, *)$ — моноид с нейтральным (единичным) элементом $t^{-1}$.

Показать, что множество $\mathbb {Z}$ с операцией $\circ : n \circ m=n+m+n m=(1+n) \times (1+m)-1$, является коммутативным моноидом. Что служит в $(\mathbb {Z}, \circ )$ нейтральным элементом? Найти в $(\mathbb {Z}, \circ )$ все обратимые элементы.